Expériences numériques simulant une perturbation du second ordre dans un plasma

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Submitted on 1 Jan 1969

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Expériences numériques simulant une perturbation du second ordre dans un plasma

Jean-Claude Braun

To cite this version:

Jean-Claude Braun. Expériences numériques simulant une perturbation du second ordre dans un plasma. Journal de Physique, 1969, 30 (11-12), pp.927-932. �10.1051/jphys:019690030011-12092700�.

�jpa-00206860�

EXPÉRIENCES NUMÉRIQUES

SIMULANT UNE PERTURBATION DU SECOND ORDRE DANS UN PLASMA

Par

JEAN-CLAUDE BRAUN,

Laboratoire de Physique des Milieux Ionisés, 2, ^rue de la Citadelle, 54-Nancy, ^OI.

(Reçu

le 16 avril

1969.)

Résumé. 2014 On vérifie, ^{à l’aide}

d’expériences numériques,

^{une théorie}

analytique

^du

second ordre sur les oscillations dans un

plasma

que ^nous

prendrons

^d’abord maxwellien,

puis

dont la fonction de distribution sera une forme en double faisceau. Pour ces calculs

numériques,

on utilise un

développement

^de Fourier-Hermite de la fonction de distribution dans

l’espace

des

phases.

^{L’accord entre les deux méthodes est}

remarquable lorsque

^la

longueur

^{d’onde des}

oscillations $$ 0 ⁼

03BB0/203C0

^{est du} même ordre de

grandeur

que la distance de

Debye

^{D ; il est un}

peu moins bon dans le cas où $$0 ^est

plus grand

que ^D.

Abstract. ²⁰¹⁴ We check,

by

computer

experiments,

^an

analytic

second-order

theory

^of

oscillations in a

plasma,

^{which we} first take maxwellian ; ^{then the} distribution function will be a double stream case. For this computer

experiments,

^{we use a} Fourier-Hermite

expansion

of the distribution function in the

phase space.

^The agreement ^is

apprecially

^{fit when the}

wave

length $$ 0

⁼

03BB0/203C0

^{has the same order of}

magnitude

^{as the}

Debye length

^D.

Nous allons considerer ^un

plasma

constitue d’un _gaz d’61ectrons

homogene, unidimensionnel,

^{non relati-}

viste et sans

collisions,

neutralise a

l’ équi1ibre

par des ions immobiles. Puis nous allons

creer,

^{a 1’instant}

initial,

^une

petite perturbation

sinusoidale de la fonc- tion de distribution

correspondant

^{a une excitation}

d’ondes

d’amplitude

^{s, sur les}

^{modes ±} ko

^{== :I::}

Ao 1 :

ou

fo(v)

^est la fonction de distribution des electrons a

l’ équi1ibre.

L’evolution du

systeme

^{est donn6e} par la solution des

equations

^{de Vlasov et} de Poisson. ^En utilisant un

d6veloppement

^de

Montgomery-Gorman

pour la fonc- tion de

distribution,

^une th6orie r6cente

[2]

^{a montre}

que la

perturbation

^{du second}

ordre,

^en

E2,

^tendait

vers une limite finie

lorsque t

devenait infini. Ceci ne

fait

qu’exprimer

^{un transfert}

d’6nergie : 1’6nergie potentielle

de l’onde initiale 6tant totalement absorbee

(amortissement

^de

Landau)

^se transforme en

6nergie cin6tique communiqu6e

^aux

particules,

^cela

implique

par

consequent

^une modification de la fonction de distribution

qui,

^{a son} tour,

r6agira

^sur l’amortissement de Landau. 11

s’agit

^{la d’un effet}

quasi

^lin6aire

puisque

nous utiliserons la th6orie lin6aire _pour calculer la modification

de f( v), puis

^nous

injecterons

^{cette distri-}

bution modifi6e _pour determiner le nouvel amortis-

sement. Une telle

decomposition

^n’est

permise

que dans le cas ou les effets ^non lin6aires restent

petits.

1. Fonction de distribution maxwellienne a

l’equi-

libre. ^- La fonction de distribution

6lectronique

^est

alors de la forme :

oil vT

^est la vitesse thermale :

11 nous faut donc r6soudre le

systeme

^{de Vlasov-}

Poisson :

On utilise _pour cela le

d6veloppement

^{de Mont-}

gomery-Gorman [3] :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019690030011-12092700

928

On

reporte

^ce

d6veloppement

^{dans les}

equations pr6c6dentes

^{et on} utilise la transformation de Fourier

sur x :

et : ^o

La th6orie linéaire

[1] indique que f11) (v, t)

^existe

uniquement

pour les modes k = ±

ko.

^De

même, f(2) (V, t )

^n’existe que

pour k

^{= -}

2ko, ^0, 2ko.

1.1. THfORIE _QUASI LINEAIRE DE GARY. ^- R6cem- ment,

Gary [2]

^a

propose

^{une forme}

analytique

^{a la}

limite

def,(f=,(w, t ) lorsque t

---> oo :

ou west la vitesse r6duite

vl1l2

vT ^et ou K

depend

^de

la

longueur

^de

Debye

^{D : K}

= ko D.

Dans

1’equation (1), z est

la fonction de

dispersion

de

plasma [4] qui,

^d6finie pour ^tout

complexe § [5],

a la forme suivante :

A(§, K)

^est la fonction

di6lectrique

^de

plasma qui, exprim6e

^en fonction de

z(§) ,

^{a la forme :}

1.2. EXPERIENCES

NUMERIQUES.

^- Pour r6soudre

numeriquement

^les

equations

^{non lin6aires}

(A),

^une

m6thode

dej a

^utilis6e par Grant et Feix

[6]

^et par

Armstrong [7]

^{consiste a}

d6velopper

la fonction de distribution en

appliquant

^une transformation de Fourier sur x et en utilisant un

d6veloppement

^en

polynomes

^{d’Hermite sur w :}

ou

Hs(w)

^{est le}

polynome

d’Hermite d’ordre s :

En utilisant la relation

d’orthogonalite

^{de ces}

polynomes :

chaque

coefficient

hs(t)

^{est défini} par :

ou L ⁼

27r/ko

^{est la}

longueur

^d’onde fondamentale.

En

reportant 1’expression de f

^donn6e par la rela- tion

(2)

^{dans le}

systeme (A),

^en

multipliant

par :

et en

integrant

^{sur x et sur w, le}

systeme (A)

^est

remplace

par ^une infinite de

syst6mes

de la forme :

Les calculs ne

peuvent

etre faits _{que pour} un nombre limit6 de

polynomes d’Hermite,

ainsi la validite des resultats

d6pendra

^{de 1’effet de} coupure du nombre de

polynomes ;

^il

s’agit d’adopter

^un

compromis qui permette

^{une bonne}

representation

pour des temps raisonnables.

Grant et Feix

[6]

^{ont montre}

qu’au temps t

^tel que k. w. t --

dN,

ou N est l’ordre du

plus

^haut

polynome

^d’Hermite

^utilis6,

^on

peut

considerer que 1’oscillation

de f

^n’est

plus representee

fidèlement.

L’influence de cette troncature sur le traitement nume-

rique

^est caract6ris6e _par des instabilités

num6riques qui

^se

propagent jusqu’aux

coefficients des

polynomes

d’Hermite d’ordres les

plus

^bas.

1.3. RESULTATS. ^- Nous avons d’abord v6rifi6 _que pour ^e tres

petit (10-6),

^le

comportement de f(2)

^6tait

identique

^{dans la th6orie}

quasi

^lin6aire

(k

^{= 0 et}

:I::

ko)

^{et dans une th6orie non lin6aire}

complete (k

⁼

0,

FIG. 1. ^- Perturbation

f o (w, oo )

pour ^une fonction de distribution maxwellienne a

1’equilibre

^et pour ^e = 10-6

et a)

^{K = 0,7,}

ou b)

^{K = 1. -}

a)

^et

b)

^trait

plein :

^r6sultats

th6oriques.

a)

^{o ou}

b)

+ : resultats des

experiences num6riques.

±

ko

^{et ±}

2ko) ;

l’introduction des termes du second ordre ne modifie

pas f(2) (V, t),

^{et cela}

quel

que soit le temps ^t.

D’autre part, les resultats ^sont

identiques

pour N ⁼ 100 et N ⁼ 160

polynomes d’Hermite,

^{N =100}

6tant suffisamment

grand

pour éviter une erreur nume-

rique trop importante,

^{due a la} coupure a l’ordre N.

Nos calculs

[9]

different de ceux

d’Armstrong

^sur

les

points

^{suivants :}

1)

^{Nous avons}

pris e

suffisamment

petit (10-6)

pour éviter un

m6lange

des effets des 2e et 3e ordres.

2)

^{Nous avons}

pris

^K suffisamment

grand (> 0,7)

pour avoir un amortissement

complet

^du

champ

^elec-

trostatique

self-consistant

Eko(1)

^{dans un}

^temps wp t = 15,

temps

apr6s lequel

1’erreur de _coupure

peut

^devenir

importante.

Les calculs ont ete effectues sur CDC 6600 et nous avons

compare

les deux valeurs de

f(2) (W, oo) analy- tique

^et

num6rique

pour :

Nous avons constate _que 1’accord

deja

^bon pour K ⁼

0,7

était excellent _{pour K} ⁼ 1

( f ig. 1).

Nous ^avons de

plus

^v6rifi6 que

1’6nergie

^{était conser-}

vee.

L’6nergie potentielle

^{due a la}

perturbation

^initiale

vaut :

La

composante

d’ordre k du

champ

6lectrosta-

tique

self-consistant nous est donn6e _par la th6orie linéaire

[1] :

Soit a l’instant initial :

Ainsi :

Ep

⁼

neE2j4K2.

Cette

6nergie potentielle

^{initiale se} transforme en

6nergie cin6tique communiquée

^aux

particules

^dont

la vitesse ^est voisine de la vitesse de

phase :

Les valeurs

num6riques

calcul6es pour

E,

^et

E,

concordent a mieux _que

10-6, permettant

de conclure a la conservation de

1’energie.

Nous avons aussi

compare

les valeurs du decrement y du

pole

de Landau obtenues des deux mani6res suivantes :

1)

^Par

l’analyse

^{continue en} r6solvant la relation de

dispersion

^de

plasma A(03BE,K)

^{= 0.}

2)

^Par

1’experience numerique

^{en traçant} les courbes donnant le

champ

self-consistant

Eko(1)(t)

^{en fonction}

du temps, ^sachant que c’est le

pole

^{de Landau}

qui

^est

1 e

plus

^excite.

L’accord est

bon,

^ainsi

pour K

⁼

0,7,

^{nous avons}

obtenu _y

= - 0,398 graphiquement

^et

- 0,394 analytiquement.

Les resultats

analytiques

^et

num6riqucs

^concordent

donc _pour une distribution

maxwellienne,

^{nous allons}

voir

qu’il

^{en est de} meme pour ^une distribution double faisceau.

2. Fonction de distribution double faisceau. ^- Envi- sageons maintenant une fonction de distribution elec-

tronique,

^a

1’equilibre,

de la forme :

Une th6orie

analytique,

que ^nous

d6veloppons

^dans

l’appendice

^et

qui

^{est semblable a celle de}

Gary

pour le cas

maxwellien,

^{conduit a} la limite

f&2)(w, oo)

suivante :

ouy(03BE)

^est la fonction de

dispersion

^de

plasma

^{modifi6e :}

La resolution

num6rique

^se

poursuit

de la meme

faqon

que pour le cas maxwellien.

Les valeurs du

param8tre r

doivent etre

prises

^de

telle

façon

que 1’evolution du

systeme

^reste

stable,

^car

le resultat

analytique

n’est 6videmment valable _que dans ce cas. La

valour 7)

^{= 1}

correspond

^a la fonction de distribution maxwellienne et le

systeme

^devient

instable _pour une valeur _~l

qui

^est

comprise

^{entre 0}

et

0,5,

^{cette valeur} "I)z

dependant

^{du mode}

ko

^choisi

[8].

Pour ~,

~l, le

systeme

^{est donc}

instable,

^cela

signifie

que le decrement _y d’un

pole

de la relation de

dispersion A* (ç, K)

⁼ 0 devient

positif.

^Ce

pole

ne

correspond

^{a aucun des}

poles

^du

plan complexe

determines _pour le cas

maxwellien,

^ces

poles,

^en

particulier

^le

pole

^de

Landau,

^ne subissant d’ailleurs que de tres

petites

variations

lorsque ,

^{varie de 1 a}

0;

mais il

apparait,

^des que 7) ^{est un} peu inf6rieur a

1,

un

pole

^{sur 1’axe}

imaginaire (y

^{0 et w =}

0) ;

^ce

pole

^{tend donc vers - oo}

quand n

--->

1,

passe par y ⁼ 0 pour 7) = "I)l ^et devient ensuite

positif.

Le tableau I donne _pour différentes valeurs de K 1’evolution de ce

pole

^en fonction de _7].

On

peut

remarquer que pour K ⁼ 1 l’instabilit6 double faisceau

disparait completement quel

que

soit~.

Comme dans le cas d’une fonction de distribution

maxwellienne,

nous avons ensuite

compare

^{les deux}

valeurs de

fó2)(w, oo) analytique

^et

numérique

pour :

930

TABLEAU I

les

experiences num6riques

^se

poursuivant

^{de la meme}

façon

que

précédemment,

^{en utilisant un}

d6velop-

pement Fourier-Hermite de la fonction de distri- bution.

Comme le montre la

figure 2,

nous avons constate

un accord entre les

résu1tats;

^cet

accord,

^bon pour

20

⁼

D,

^{1’est un} peu moins _pour

Ao - D/0,7,

^en par- ticulier aux faibles vitesses ou la courbe issue des

exp6-

riences

num6riques

^{ne semble} pas ^encore stabilis6e.

Dans ce cas, ^comme dans le cas

maxwellien,

^{nous avons}

encore v6rifi6 la conservation de

1’energie.

I

FIG. 2. ^- Perturbation

/(2) (W, oo )

pour ^une fonction de distribution double faisceau à

1’6quilibre

^et pour

e; = 10-6eta) K = 0,7, 7J = 0,5, ou b) K = 1, 7J = 0,7.

a)

^et

b)

^trait

plein :

^résultats

théoriques.

a)

^{o ou}

b)

^{+ :} résultats des

expériences numériques.

Les r6sultats

analytiques

^montrent que dans le cas

ou K est suffisamment

petit

^et

ou ~

^est voisin de la valeur limite _~l, outre la

perturbation defo(w)

^{due au}

pole

^de

Landau,

^autour de la vitesse de

phase lin6aire,

un trou

apparait

^{autour de w =}

0,

imm6diatement suivi d’un

pic

pour w -

0,035

^ainsi que le montre la

figure 3,

pour

laquelle

^{K =}

0,2 et ~

⁼

0,5; 1’appa-

rition du

pole

^« instable >> ^a donc _pour effet de commu-

niquer

^{une vitesse a des}

particules

^{de tres faibles}

FIG. 3. ^- Courbe

th6orique

donnant la

perturbation

t&2)(w, m )

pour ^une fonction de distribution double fais-

ceau a

1’6quilibre

^et pour ^{K =}

0,2, r,

⁼ 0,5 ^{et E = 10-6.}

vitesses,

^{mais cela ne}

correspond

^{en fait}

qu’a

^une

petite

fraction de

1’energie potentielle initiale,

dans les meil- leurs cas cette fraction ne

d6passe

pas

quelques

pour cent.

Les

experiences num6riques

^{sont encore en accord}

avec la th6orie

analytique,

^{en ce}

qui

^{concerne la}

determination du

pole

^{« instable »; dans ce cas, sa}

valeur

num6rique

^{s’obtient en} traçant ^la compo- sante

EkfJ(t)

^du

champ 6lectrique

self consistant. Ainsi le tableau suivant montre cette concordance _pour deux valeurs

de 7]

^telles que y soit

n6gatif

pour l’une et

positif

pour 1’autre :

Conclusion. ^- Les

expériences numeriques

^verifient

bien la th6orie dans le cas d’une distribution maxwel- lienne comme dans celui d’une distribution double faisceau. Une

légère divergence

subsiste dans les r6sul-

tats

lorsque

^la

longueur

^d’onde

20

^est

plus grande

que la

longueur

^de

Debye (c’est

^{le cas K ==}

0,7);

^cette

divergence

^{se manifeste aux} faibles vitesses et semble etre due a une stabilisation

imparfaite

^des

experiences numeriques;

^ainsi pour la

supprimer,

^il serait souhai- table de

prolonger

^ces

experiences num6riques

^dans

le temps, ^ce

qui,

^{en raison de} 1’effet de coupure, ^n6ces- siterait de

prendre

^{un nombre de}

polynomes

^d’Hermite

beaucoup plus grand

pour

representer

^la fonction de distribution.

Remerciements. ^- Nous tenons a remercier M. Feix pour les discussions fructueuses _que nous avons eues

a propos de ce travail. Nos remerciements vont aussi a MM. A. Cordaillat et G. Baumann _pour l’aide

qu’ils

nous ont

apport6e

dans la realisation des

experiences numériques.

Appendice.

^{- En}

partant

^du

systeme (A)

^{et en ne}

s’int6ressant

qu’au premier terme f (1) (x, v, t )

^{du d6ve-}

loppement

^de

Montgomery-Gorman,

^la

composante

sur le mode k de la fonction de distribution est solution du

systeme :

où

fo(v)

^est la fonction de distribution des 6lectrons à

1’equilibre, qui,

^{dans ce cas, est a} double faisceau.

Cette th6orie lin6aire conduit alors ^aux

expressions

suivantes :

et

f (1),, k (w, ’1")

^{est la}

quantité conjuguée

^de

fko (1) (w, ^{T) ;}

’1" est le temps ^reduit

V2-

COP ^Kt.

Ces

expressions

^sont semblables a celles obtenues pour le ^cas

maxwellien;

la fonction de

dispersion

^de

plasma z(03BE)

^est

remplac6e

par :

et la relation de

dispersion

s’écrit alors :

En partant ^du

systeme (A)

^{et en} s’int6ressant au

deuxi6me terme

f(2)(x, v, t)

^en

E2,

^la composante ^de Fourier continue

(k

⁼

0)

^{est donn6e} par la relation :

B71(2) _at

_m ^{e lc(J}

^(t) afij _Bv’ ⁾ _{m ko}

^/’

cl

_av

af (02) (v, t) E()(t) k(, (v, t + e E(’)(,(t) ^{( t) )}

en choisissant les conditions aux limites de telle

faqon

que la composante

E 0 (2)

^du

champ

self-consistant soit nulle.

A

partir

^des relations de la th6orie

lin6aire,

^en

utilisant les variables reduites ^{et en}

integrant

^{la rela-}

tion

pr6c6dente

par

rapport

^au temps :

L’int6gration

^se

poursuit

^{en tenant} compte ^des

prolongements analytiques correspondant

^aux

singularity

introduits _par les

p61es + w

dans la deuxieme

int6grale.

^Les calculs conduisent ainsi ^au resultat suivant :

_2 o {r A.f-..B"l2 I

932

BIBLIOGRAPHIE

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