Instabilités liées à la longueur finie d'un plasma

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Submitted on 1 Jan 1969

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To cite this version:

J. Olivain. Instabilités liées à la longueur finie d’un plasma. Journal de Physique, 1969, 30 (2-3),

pp.187-191. �10.1051/jphys:01969003002-3018700�. �jpa-00206776�

INSTABILITÉS LIÉES

A LA LONGUEUR FINIE D’UN PLASMA

Par

J. ^OLIVAIN,

Association Euratom-C.E.A., Département ^{de la} Physique ^{du Plasma et de la Fusion} Contrôlée,

Centre d’Études Nucléaires, ^{B.P. n°} 6, 92-Fontenay-aux-Roses (France).

(Reçu

^{le 28}

juin

1968, révisé le 8 novembye

1968. )

Résumé. 2014 En ^{nous limitant au cas du}

système

double faisceau et en introduisant des conditions aux limites, ^{nous mettons en} évidence l’existence d’instabilités liées ^au temps ^de transit des

particules

^{dans la}

configuration. Après

^{avoir obtenu}

l’équation régissant

^ces ondes,

nous étudions

numériquement

l’influence de chacun des

paramètres (densité, longueur

^d’inter- action, vitesse des

faisceaux...).

Abstract. ²⁰¹⁴ We consider a system of two

counterstreaming

^{electron beams of finite}

length, including boundary

conditions for both

particles

^{and waves. We describe a mechanism for}

instability

^with

frequencies

^{connected with the} transit time of the

particles

^{in the}

configuration.

The

dispersion

relation of these waves is discussed

taking

into account the parameters ^{of the} system

(electron density,

interaction

length, velocity

^{of the}

beams).

1. Introduction. ^- Au cours des derni6res

ann6es,

il s’est manifeste un int6r6t croissant _pour les instabi- lit6s li6es a la

longueur

finie d’un

plasma.

^{Des 6tudes}

expérimentales

^r6centes

[1], [2], [3],

^ont 6tabli 1’exis-

tence d’instabilités dont la

frequence

^{est li6e au temps}

de transit des

particules

^{dans la}

configuration.

^{Le but de}

ce travail est

d’étudier,

^{dans le cas}

simple

^du

systeme

double faisceau decrit r6f.

[4],

^une instabilite de ce type.

II.

Équations

^du

probleme.

^{- Nous} consid6rons

un

plasma

constitue d’un nombre fini de classes de

particules, chaque

^{classe etant} caract6ris6e _par une masse ml" ^une

charge qx

^{et une vitesse}

dirig6e U zÀ.

Le milieu ^est decrit _par les

equations

^{fluides et}

1’ap- proximation quasi électrostatique (E, - - V(D,).

^A

chaque

^{extremite du}

systeme

^{se trouve un}

plan

^refle-

chissant les ondes et les

particules,

^ce

qui

^introduit

les conditions aux limites :

ot 6tant un coefficient de reflexion

qui

^{sera discut6}

plus

^loin.

III.

equation

^de

dispersion

du milieu. ^- Nous cherchons des solutions de la forme

(fig. 1) :

^:

Pour un

systeme sym6trique

double faisceau dans le cas d’un

champ magn6tique ^fort,

la relation de

dispersion

^{des ondes}

quasi électrostatiques

^{s’écrit :}

Les

quatre

^modes

correspondants (modes

^«

plasmas 6lectroniques »)

^ont pour

equation (fig. 2) :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003002-3018700

2. CONDITIONS AUX LIMITES. ^- Notre

dispositif experimental fig. 3)

^est constitue de deux canons à electrons en

regard.

^{Les anodes sont} constitu6es par

des

grilles.

^{Dans une telle}

geometrie,

^les

particules qui

^{ont traverse} la chambre se trouvent d6c6l6r6es

entre 1’anode et la

cathode, puis

^sont r6acc6l6r6es en sens inverse dans le deuxi6me faisceau.

Le temps de transit dans le canon 6tant court devant le temps de transit dans la chambre

(r 2zlj Uo),

nous pouvons

négliger

l’action du

champ

^oscillant

dans le canon et nous ne tenons

compte

que du

champ

non

perturb6.

L’effet du canon est donc de r6fl6chir les

particules

^{avec un}

d6phasage :

De

plus,

nous avons fait

1’hypoth6se

que, ^aux

limites,

n’intervenaient que les modes directs

(mjk

^{de meme}

signe

que

Uo), ayant

^observe

expérimentalement

que ^ces modes se

couplaient preferentiellement

^aux

faisceaux.

La solution

complete

^du

syst6me

^sera

possible

^si

nous connaissons

quatre

conditions aux limites. Aux deux conditions

(4),

^nous

ajouterons :

qui

traduit le fait que le

potentiel

^{est nul aux deux}

extremites. En

posant :

le

systeme complet

^{s’6crit :}

V.

Équatíon

^de

dispersion.

^{- I1 existe une solution}

non nulle si le determinant des coefficients de CP{K-l, _w)j

est nul.

Apr6s quelques calculs, compte

^{tenu des}

sym6tries

^{existant entre les}

Kj,

le determinant 4 X 4

se

decompose

^{en un}

produit

de deux determinants 2 X 2

(Dl

^et

D2) :

En substituant dans ces

expressions Kl

^et

K2

^{par leur}

expression

tir6e de la

premiere partie,

^{nous obtenons}

les deux relations de

dispersion :

Les solutions instables sont d6finies _par les

6qua-

tions

(8)

^ou

(9).

Nous cherchons des solutions de la forme :

En posant :

et en

s6parant

^les

parties

^{r6elles et}

imaginaires

^de

(8),

nous obtenons :

La solution est instable _{si wI} est

n6gatif,

^c’est-a-

dire :

0,x,l.

En combinant les deux

expressions pr6c6dentes

^et

_n+1

en faisant

l’approximation x --n x (n » 1,

^{et de}

plus,

les valeurs de x que l’on retient ^sont de l’ordre de

1 - E,

^{il en r6sulte} que 1’erreur commise est tres

faible),

^{nous obtenons :}

Pour

0 x 1,

^les

fréquences

^{instables sont solu-}

tion de :

Un calcul

analogue

permet ^{de r6soudre}

D2

^{= 0}

et conduit aux resultats :

Nous remarquons que ^les solutions

D1=

^{0 et}

D2

^{= 0} peuvent ^{etre rendues}

6quivalentes

^{a condi-}

tion de

changer

^le

signe

^de

1’expression cos ^FT ( ’Te

^cos

⁰

En

cons6quence,

^{toutes les} racines instables peuvent etre d6duites de l’une

quelconque

^{des deux}

expressions

a condition de faire varier

cos ^wpe

^cos

e)

^{entre + 1}

et -1.

FT

Remarque.

^- Si l’on étudie les solutions instables

en fonction de la

densite, chaque

^{solution trouv6e}

correspondra

^{a deux} valeurs de la densite : Õpo’

+ 1tFT

Wp0

cos 6

VI. Solution

approchée.

^-

L’équation

^de

dispersion pr6c6dente ayant

^{une forme assez}

complexe,

les racines

ne

peuvent

^etre d6termin6es _{que par} un calcul a la machine. C’est ce que nous avons

entrepris

^{et nous en}

donnerons les résultats

plus

^loin.

Toutefois,

^{en faisant}

quelques hypotheses simplificatrices

que le calcul

numérique justifie,

^{il est}

possible

de d6terminer l’ordre de

grandeur

des racines.

Puisque

^{n » 1 et}

co,/co, 1,

^{nous obtenons}

pour

D1 les

^racines

approch6es :

La resolution

graphique

^du

syst6me :

en fonction de _CõR, wpe 6tant ^un

parametre,

^{avec :}

permet de definir les domaines ou vont

apparaitre

les

frequences

instables. Les

points

d’intersection des deux courbes définissent les solutions dont il convient de verifier la stabilite

(A,

^{0 ou} >

0).

^Un

exemple

d’une telle

representation

^{est montre sur la}

figure

¹

dans le cas ou n ⁼ 12

(r

⁼

1/12F,).

Nous pouvons faire

plusieurs

remarques :

- Il existe

plusieurs

solutions instables.

- Les instabilités

apparaissent

pour des

frequences

voisines d’un

multiple

^{de la}

demi-frequence

de transit.

-

Chaque frequence

^{instable varie}

16g6rement

^avec

la densite

(quand F

^{varie de 0 a}

’Fl ,

^{F varie au}

maximum

de Sl

^a

S2) ( fig. 4).

⁴

- Il existe des domaines tres 6troits pour

lesquels

n’existe aucune solution instable :

Ces remarques ^{ne sont} valables _{que pour} les

frequences

^les

plus basses,

^{car, aux}

frequences 6lev6es,

les

d6veloppements

limites utilises ne sont

plus justifies.

VII.

Ptude numérique.

^{- Nous avons}

entrepris

une etude

num6rique

de la relation

(12).

^{Les valeurs}

Frequences

instables dans _{la gamme} 0 - F - 200 MHz

parametres

^{du calcul}

FT

⁼ 17,6 MHz ; z

= 1

de cope3 ^n,

FT

^6tant

d6finies,

^{nous obtenons une s6rie}

de solutions discr6tes. Sur la

figure 5,

nous avons

porte

^{les resultats} pour ^un choix donne _{des para-} m6tres

(cope,

^n,

FT) .

^{Nous avons}

6galement porte

^le

taux de croissance :

Lorsque

^{le taux} de croissance est

faible,

^{il est rai-}

sonnable de penser que 1’instabilite

n’apparaitra

pas

ou que ^son niveau restera tres faible. Il existe en

general plusieurs frequences auxquelles

^{sont associ6s}

des taux de croissance

plus

^{6lev6s mais du meme ordre}

de

grandeur,

^de

^telle

^sorte que ^notre calcul ne peut pas

pr6dire

^si l’une d’entre elles

apparaitra

^s6lec-

tivement.

FIG. 6. ^- Variation de la

f requence

^des instabilités

en fonction de la densite.

1. INFLUENCE DE LA DENSITE. ^- En laissant inchan-

g6s

^{les autres}

param6tres,

nous avons mis en evidence l’influence de la densite

lorsdue ne

varie dans 1’ex-

pression (12).

^{Nous avons}

porte

^{sur la}

figure

^{6 les}

résultats relatifs a un choix de

paramètres.

^Nous

pouvons faire les remarques suivantes :

- Les

fréquences

^{instables sont} des fonctions len- tement variables de la densite.

- Il existe des

petits

^{domaines centres autour des}

densit6s :

k

d6signant

^{un entier}

positif,

^dans

lesquels

^n’existe

aucune instabilite.

2. INFLUENCE DE LA LONGUEUR D’INTERACTION. ^- Nous 6tudions la variation de la

frequence

^{des insta-}

bilit6s en fonction de la

longueur

d’interaction L.

Nous

d6duisons,

pour

chaque

^mode

instable,

^{une loi}

de

proportionnalite

de la forme :

3. INFLUENCE DE LA VITESSE DES FAISCEAUX. ^- En fonction de la vitesse des

faisceaux,

^les

fréquences

instables satisfont une loi de la forme :

(les

coefficients k’ et

F1 dependent

du mode instable

considere) .

4. INFLUENCE DU TEMPS DE TRANSIT DANS LE CANON.

- Dans la limite ou r

1/Fr

^est

v6rifi6,

^{les fr6-}

quences instables

dependent

tres peu de r

(par exemple :

^une variation de r d’un facteur 4 entraine une

variation relative de

frequence AF/F egale

^{a 2 X}

10-2) .

Conclusion. ^- Dans 1’6tude

qui

^{vient d’6tre}

pr6- sent6e,

^{nous montrons} que l’introduction des effets de

longueur finie,

^{dans le cas d’un}

syst6me

^multi-

faisceau,

^{met en} evidence de nouvelles instabilités

qui n’apparaissent

pas par ^un traitement dans

1’ap- proximation

^de

longueur

^infinie.

Ces resultats confirment une conclusion donn6e ant6rieurement _par Cotsaftis

[5], [6] qui

^{utilisait un}

mod6le assez

general

^mais

16g6rement

different du notre. D’une

part,

^{il utilisait une condition aux limites}

sur les

densites;

^d’autre part, 1’6criture du coefficient de reflexion des vitesses 6tait diff6rente :

Notre modele permet ^de

pr6voir

^{la valeur des}

fréquences

^instables

susceptibles

^{de se}

developper

^dans

le milieu.

Toutefois,

^{il ne tient} pas compte ^{des dimen-} sions transversales finies ni des effets non lin6aires

susceptibles

^de modifier de

facon appreciable

^les

spectres ^des

fréquences

^{instables en}

^faisant,

par

exemple, apparaitre

^des

harmoniques

^des

fréquences

calculees dans cette etude.

Nous avons

repris

^{cette etude en} consid6rant

qu’in-

tervenaient aux limites les

quatre

^modes pour chacun des faisceaux. Les

premi6res

conclusions montrent que, dans ce cas, le mod6le fait

apparaitre

^{une suite de}

solutions instables dont les

fréquences

r6elles coincident

avec les solutions

pr6c6dentes,

mais dont les taux de

croissance,

^{dans le cas ou w} > wp,

quoique toujours proportionnels

^{a la}

frequence

^de

transit,

^montrent

quelques divergences

^{avec le cas}

precedent.

Une confrontation de ces resultats

th6oriques

^avec

ceux de

1’exp6rience

^est

entreprise

actuellement sur

le

dispositif

^«

^{Eclair »} [4].

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