Structure et bases des suites d'espaces modulaires $(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ et $(S_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ - Partie I : Les unités modulaires fortes

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Structure et bases des suites d’espaces modulaires (M _2k(Γ_0(N )))_k ∈ N ^∗ et (S_2k(Γ_0(N )))_k ∈ N ^∗ -

Partie I : Les unités modulaires fortes

Jean-Christophe Feauveau

To cite this version:

Jean-Christophe Feauveau. Structure et bases des suites d’espaces modulaires

_2k(Γ_0(N

et

- Partie I : Les unités modulaires fortes.

2018. �hal-01817966v2�

Structure et bases des suites d’espaces modulaires (M

(Γ

(N )))

et (S

(Γ

(N )))

Partie I : Les unités modulaires fortes

Jean-Christophe Feauveau

4 juillet 2018 Abstract.

Le discriminant modulaire ∆ est connu pour structurer la famille de formes modulaires de niveau 1, (M2k(SL2(Z)))k∈N∗. Pour tout entierN, nous définissons une unité modulaire forte de niveauN notée

∆N, qui permet de structurer la famille(M2k(Γ0(N)))k∈N∗ de manière identique. Nous appliquerons ce résultat à la recherche de bases pour chacun des espaces(M2k(Γ0(N)))k∈N∗.

Cet article est la première partie d’une série de trois. Dans la seconde partie nous proposerons des bases explicites de (M2k(Γ0(N)))k∈N∗ pour 1⁶N ⁶10. Finalement, dans une troisième partie, nous appliquerons à(S2k(Γ0(N)))k∈N∗ les résultats obtenus dans les deux premières parties.

Key words.formes modulaires, unités modulaires, fonction de Dedekind.

Classification A.M.S. 2010 : 11F11, 11G16, 11F33, 33E05.

Introduction

Lorsque l’on aborde l’étude des formes modulaires, un résultat important concerne la structure de la suite des espaces (M2k(SL2(Z)))k∈N∗ obtenue grace à la fonction ∆, et la possibilité de fournir une base explicite pour chaque sous-espace [14] pages 143-144.

Un tel résultat semble faire défaut pour les espaces(M2k(Γ0(N)))k∈N∗, lorsqueN ^>2. Nous proposons dans cet article une décomposition explicite des espaces de formes modulaires(M2k(Γ0(N)))(k,N)∈N∗2. Une telle réduction ne peut être simple, les formules donnant la dimension de ces espaces [2], [15] en sont un indice suffisant. On montrera pourtant que, pour un niveauN fixé, il existe une fonction∆N

qui jouera pour(M2k(Γ0(N)))k∈N∗ le rôle de∆ = ∆1dans l’étude de(M2k(SL2(Z)))k∈N∗.

Plus précisément, pour tout entier strictement positifN et en notantρN le poids de∆N, nous établirons en précisant ce résultat :

La connaissance de bases de M2k(Γ0(N)) pour 1 ⁶ k ^{6 1}₂ρN + 1 entraîne celle de bases de M2k(Γ0(N))pour tout entierk.

Dans la partie II, nous verrons comment décrire explicitement des bases B2k(N)de M2k(Γ0(N))pour 1 6 k 6 ¹₂ρN + 1 lorsque N est compris entre 1 et 10, ceci à l’aide de fonctions elliptiques de type Weierstrass.

Par ailleurs, et pour tout N, ce résultat est algorithmique. Il permet d’obtenir des développements de Fourier de bases (B2k(N))k∈N∗ à un ordre de précision donné dès lors que l’on dispose de tels développements pour1⁶k^{6 1}₂ρN+ 1, ce qu’il est possible d’obtenir à l’aide de SAGE par exemple.

Dans un premier temps, la structure des familles (M2k(Γ0(N)))k∈N∗ sera étudiée sous l’hypothèse de l’existence d’une unité modulaire forte ∆N. Celle-ci sera démontrée lorsque N est un nombre premier, puis généralisée pourN quelconque.

1. Jean-Christophe Feauveau,

Professeur en classes préparatoires au lycée Bellevue,

135, route de Narbonne BP. 44370, 31031 Toulouse Cedex 4, France, email : Jean-Christophe.Feauveau@ac-toulouse.fr

1 – Rappels sur les formes modulaires

Nous rappelons quelques définitions et notations usuelles. Pour un cours riche et structuré sur les formes modulaires, on pourra consulter [Apos] ou, plus avancé, [Diam]. Nous ne rappelons que ce qui nous sera nécessaire par la suite.

Définition I- 1.1. On appelle demi-plan de Poincaré l’ensembleH={τ∈C / Im(τ)>0}.

Dans ce qui suit,τ est une variable complexe à valeurs dansH, et on noteq=e^2iπτ. Définition I- 1.2. Pour un entierN >1, on poseΓ0(N) ={

a b c d

∈SL2(Z)/ c≡ 0 modN}.

Il s’agit d’un sous-groupe deSL2(Z)d’indice fini dont on dira qu’il est de niveauN.

Définition I- 1.3. Soit k un entier positif non nul. Une forme modulaire de poids k selon Γ0(N) est une fonction holomorphe Φ :H →Cvérifiant

(i)

Φ

aτ +b cτ+d

= (cτ+d)^kΦ(τ)pour tout a b

c d

∈Γ0(N). (1) (ii) Pour tout

a b c d

∈SL2(Z), la fonction τ 7→(cτ+d)^−kΦ

aτ+b cτ+d

admet une limite dans C lorsqueτ tend vers i∞, c’est à dire Im(τ)tend vers +∞.

On note M2k(Γ0(N))l’espace des formes modulaires de poidsk selonΓ0(N).

La condition (i) indique la faible modularité de Φ, alors que (ii) est équivalente à l’existence d’une limiteà toutes les pointes, c’est à dire :

(ii)^′ En la pointe infinie, on demande l’existence de lim

τ→i∞Φ(τ+b)pour toutb∈Z. (ii)^′′ En la pointe r = −d

c ∈ Q avec pgcd(c, d) = 1, soit (a, b)∈ Z² tel que a b

c d

∈SL2(Z), on demande l’existence de lim

τ→−d/c τ∈H

(cτ+d)^−kΦ

aτ+b cτ+d

.

L’équivalence entre(ii)et [(ii)^′∪(ii)^′′]provient du fait queA7→ −A⁻¹est une bijection surSL2(Z).

Bien entendu, il suffit de vérifier(ii)sur un système de représentants des classes deSL2(Z)/Γ0(N). On parle d’annulation en une pointe en cas de limite nulle à cette pointe, et de non annulation sinon.

Par la suite, nous ne considérons que les poids k pairs car la définition I-1.3 conduit à des espaces nuls pour des poids impairs. Il est bien connu, et non trivial, que les espacesM2k(Γ0(N))sont tous de dimension finie. On noterad2k(N)la dimension deM2k(Γ0(N)).

Pour k^>2et τ∈ H, on définit la série d’Einsenstein normalisée : E2k(τ) = 1 +c2k

+∞

X

n=1

σ2k−1(n)qⁿ

= 1

2ζ(2k) X

(m,n)∈Z² (m,n)6=(0,0)

1 (mτ+n)^2k

(2)

avecc2k= (2iπ)^2k

(2k−1)!ζ(2k). Les coefficientsσr(n)ont un contenu arithmétique, il s’agit de la somme des

On montre facilement que E2k ∈ M2k(SL2(Z)), ce qui assure d’ailleurs la non trivialité de l’espace.

C’est néanmoins la fonction ∆∈M12(SL2(Z))qui va structurer la famille(M2k(SL2(Z)))k∈N∗ :

∀τ ∈ H, ∆(τ) =q

+∞

Y

n=1

(1−qⁿ)²⁴=q−24q²+ 252q³+. . . (3) La fonction ∆ est holomorphe, ne s’annule pas surH mais lim

τ→∞∆(τ) = 0, elle s’annule en la pointe infinie.

On rappelle le résultat bien connu de structure des formes modulaires selonSL2(Z) = Γ0(1):

∀k>6, M2k(Γ0(1)) =V ect(E2k)⊕∆.M2k−12(Γ0(1)). (4) En effet, l’application Φ7→Φ.∆⁻¹est un isomorphisme entre l’espace des formes modulaires de poids 2kqui s’annulent à l’infini (les formes paraboliques) et M2k−12(Γ0(1))[14]. C’est ce résultat que nous allons généraliser.

2 – Structure de (M

(Γ

(N )))

Définition I- 2.1. Soient k et N deux entiers non nuls, etΦ ∈M2k(Γ0(N)). On dit que Φ est une unité modulaire forte de poids 2k^>2 selon Γ0(N)(ou de niveauN) si et seulement si :

(i) La fonctionΦne s’annule pas sur H.

(ii) La fonction Φs’annule à la pointe infinie.

(iii) La fonctionΦne s’annule en aucune autre pointe selon Γ0(N).

Si au lieu de (iii) on requiert l’annulation à toutes les pointes rationnelles, on obtient les formes paraboliques. Et si on demande la non annulation aux autres pointes (condition (iii)), on otient la notion d’unité modulaire forte. Ce sont deux manières naturelles de généraliser la propriété de∆ qui s’annule en la seule pointe selonΓ0(1), la pointe infinie.

Définition I- 2.2. On dira d’une forme modulaire Φ(τ) =aqⁿ+O(qⁿ⁺¹), avec a6= 0, qu’elle est de valuation n. On notera ν(Φ) =n, et lorsquea= 1, on dira queΦest unitaire.

Une base B2k(Γ0(N)) = (E_2k,N^(r) )06r6d2k(N)−1 de M2k(Γ0(N)) est dite échelonnée si ν(E_2k,N^(r) ) <

ν(E_2k,N^(r+1))pour06r6d2k(N)−2. Si de plus les éléments deB2k(Γ0(N))sont unitaires, on dit que la base est échelonnée unitaire.

Lemme I- 2.1. Pour tout entiersN etknon nuls,M2k(Γ0(N))admet une base échelonnée unitaire. De plus, si(E_2k,N^(r) )06r6d2k(N)−1 est une telle base, alors la suite(ν(E_2k,N^(r) ))06r6d2k(N)−1 est indépendante du choix de la base.

Démonstration. L’existence provient directement du procédé de Gauss. Le résultat sur les valuations est immédiat.

Théorème I- 2.1. Soit N ∈ N^∗ tel qu’il existe une unité modulaire forte de niveauN. Soit Φ0 une telle unité modulaire forte de niveau N et de poids minimum 2k0, alors les autres unités modulaires fortes de la famille (M2k(Γ0(N)))k∈N∗ sont exactement de la formeαΦⁿ₀ avec α∈C^∗ etn∈N^∗. Démonstration. SoitΦ, une unité modulaire de poids2kaveck^>k0.

Par division euclidienne k = qk0+r, 0 ⁶ r < k0. Siν(Φ) < q.ν(Φ0), alors Φ^q₀Φ⁻¹ ∈ M−2r(Γ0(N)).

Cette fonction s’annulerait à l’infini et serait donc nulle, ceci est impossible.

Si q.ν(Φ0) < ν(Φ), alors ΦΦ^−q₀ ∈ M2r(Γ0(N)) serait une unité modulaire forte, ce qui contredit la minimalité de k0. Par suiteq.ν(Φ0) =ν(Φ) et ΦΦ^−q₀ ne s’annule pas surHni en aucune pointe, c’est une forme modulaire constante non nulle.

Le résultat suivant donne la structure de la suite des formes modulaires(M2k(Γ0(N)))k∈N∗ lorsque l’on dispose d’une unité modulaire forte (ce qui sera toujours le cas, nous le montrerons).

Théorème I- 2.2. Soit N ∈N^∗ etΦune unité modulaire forte de poids2ℓselonΓ0(N). Pourk∈N^∗, on note (E_2k,N^(s) )06s6d2k(N)−1 une base échelonnée de M2k(Γ0(N)). Alors

∀k∈N, k>ℓ, M2k(Γ0(N)) = Φ.M2k−2ℓ(Γ0(N))⊕V ect

E_2k,N^(s) / ν(E_2k,N^(s) )< ν(Φ)

. (5) Par suite, sik∈N^∗ etk=qℓ+ravec 1⁶r⁶ℓ,

M2k(Γ0(N)) = Φ^q.M2r(Γ0(N))

q−1

M

n=0

Φⁿ.V ect

E^(s)_2k−2nℓ,N / ν(E_2k−2nℓ,N^(s) )< ν(Φ)

. (6)

Démonstration. Comme dans le casN = 1, le résultat provient de l’isomorphisme : ϕ:V ect

E_2k,N^(s) / ν(E_2k,N^(s) )^>ν(Φ)

→ M2k−2ℓ(Γ0(N))

Ψ 7→ Ψ/Φ.

La condition(iii)de la définition I-2.2 est ici incontournable. PourΨ∈M2k(Γ0(N)), la non nullité de Φen toute autre pointe que l’infini entraine queΨ/Φadmet une limite finie en toute pointe autre que l’infini, ce qui permet de vérifier la condition(ii)de la définition 1.3.

L’objectif est néanmoins de fournirdes résultats concrets et calculables. Le théorème I-2.2 ne répond pas à ces critères tant que l’on ne sait pas calculer les éléments den

E_2k,N^(s) / ν(E_2k,N^(s) )< ν(Φ)o

, et surtout tant que l’existence de Φn’est pas établie.

Pour construire les unités modulaires fortes, l’outil essentiel sera la fonction η de Dedekind dont on rappelle quelques propriétés.

3 – Rappels sur la fonction η de Dedekind

Avec les fonctions elliptiques (de Weierstrass ou de Jacobi), la fonction η de Dedekind est l’outil in- contournable pour construire des fonctions modulaires. Rademacher [12] inaugure la construction de fonctions modulaires (de poids0) selonΓ0(p),ppremier, à partir deη, mais c’est Newman [9], [10] qui établit un premier résultat général permettant de construire une fonction (faiblement) modulaire selon Γ0(N)à partir deη. Ont suivi des travaux étendants ces résultats aux formes modulaires selon Γ0(N) qui nous intéressent ici [7], [11] ou [6]. Les résultats qui suivent sont, pour l’essentiels, issus de [1] et [6].

On définit la fonction de Dedekind, de poids ¹₂, en posant [1] :

∀τ∈ H, η(τ) =e^{iπτ /12}

+∞

Y

n=1

(1−qⁿ).

Définition I- 3.1. Soient N un entier positif. On appelle η-quotient de niveau N, toute fonction du type

∀τ ∈ H, Φ(τ) = Y

m|N

η(mτ)^am (7)

où(a1, . . . , aN)est une suite d’entiers relatifs indéxée par les diviseurs deN.

La relation(7)montre que siΦest modulaire, son poids est nécessairement2k= ¹₂P

m|Nam, et dans ce casν(Φ) = ₂₄¹ P

m|Nmam∈N^∗.

Les résultats suivants éviteront beaucoup de calculs dans des démonstrations à venir. Ils se déduisent des propriétés modulaires de la fonctionηet se retrouvent sous des formes variées. Les sources initiales sont [9] théorème 1, [7] proposition 3.2.1 et finalement [6] corollaire 2.3, ainsi que [11] théorème 1.64.

Théorème I- 3.1. Soit Φ(τ) = Y

m|N

η(mτ)^am unη-quotient de niveau N. Pour un diviseur m de N, on note m^′=N/m. Si la fonctionΦvérifie

(i)

Y

m|N

m^′am ∈Q². (8)

(ii)

1 24

X

m|N

mam∈Z (9)

(iii)

1 24

X

m|N

m^′am∈Z (10)

AlorsΦest faiblement modulaire (c’est à dire, vérifie(1)) selon Γ0(N)pour le poids 2k= ¹₂P

m|Nam.

Théorème I- 3.2. Pourr=−^d_c ∈Qavec pgcd(c, d) = 1, l’ordre d’annulation deΦ(τ) = Y

m|N

η(mτ)^am à la pointe rest défini par

ord(Φ, r) = N 24

X

m|N

pgcd(c, m)²

m am. (11)

La fonction Φ admet une limite à la pointe r si et seulement si ord(Φ, r) > 0 et Φ s’annule à cette pointe si et seulement si ord(Φ, r)>0.

Par suite, sous les hypothèses (i), (ii) et(iii)du théorème I-3.1, et si pour toute pointer =−^d_c ∈Q on a ord(Φ, r)^>0, alors Φ∈M2k(Γ0(N)).

Comme noté dans [6], le comportement à la pointe−d/cdeΦne dépend que dec. Puisquepgcd(c, m) = pgcd(pgcd(c, N), m)pour tout diviseurmdeN, on déduit qu’il suffit de vérifier la condition ord(Φ, r)^>0 aux pointesr= 1/cpour les diviseurscdeN,1⁶c⁶N.

La condition ord(Φ,¹_c) = 0, pour les valeurs 1 ⁶ c ⁶ N−1, indique la non nullité de Φ à toutes les pointes rationnelles. La condition ord(Φ,_N¹)>0 indique queΦs’annule à la pointe infinie, ceci carI2

et

1 0 N 1

sont deux représentants de la classeΓ0(N). Finalement, on a le résultat suivant.

Théorème I- 3.3. Soit Φ(τ) = Y

m|N

η(mτ)^am unη-quotient de niveau N tel que : (i)

Y

m|N

m^′am ∈Q² (12)

(ii)

1 24

X

m|N

mam∈N^∗. (13)

(iii)

∀c∈J1, N−1K, X

m|N

pgcd(c, m))²

m am= 0 (14)

Alors la fonctionΦest une unité modulaire forte de niveau N et de poids 2k=1 2

X

m|N

am.

Démonstration. Pour une telle fonctionΦ, la condition(ii)du théorème I-3.1 est déduite de la condition (ii)ci-dessus, et la condition(iii)du théorème I-3.1 est déduite de la condition (iii)ci-dessus.

La condition(ii)exprime l’annulation deΦen la pointe infinie tout en donnant l’ordre de Φà l’infini (c’est à dire sa valuation). La condition (iii) indique la non nullité de Φ à toute autre pointe que la pointe infinie.

Nous allons utiliser le théorème I-3.3 pour construire, au paragraphe4, une unité modulaire∆p lorsque le niveaupest premier. Ceci permettra d’obtenir, au paragraphe5, une version plus précise et opéra- tionnelle du théorème I-2.2. Les résultats obtenus pourppremier seront étendus aux paragraphes6et 7 à un niveauN >1quelconque.

4 – Les unités modulaires fortes ∆

, p premier

Commençons par construire des unités modulaires fortes unitaires de poids minimal pour p = 2 et p= 3, ces cas faisant exception.

• Le cas p= 2.

L’espaceM2(Γ0(2))est de dimension1et engendré par une formeE_2,2⁽⁰⁾(τ) = 1 +O(q). C’est un résultat classique qui sera à nouveau établi en partie II. Ceci exclu l’existence d’une forme modulaire forte de poids2qui doit s’annuler en la pointe infinie.

Théorème I- 4.1. La fonction

∆2(τ) = η(2τ)¹⁶η(τ)⁻⁸

= q

+∞

Y

k=1

(1−q^2k)¹⁶ (1−q^k)⁸

(15)

appartient àM4(Γ0(2)), c’est une unité modulaire forte unitaire de poids minimal pour le niveau 2.

Démonstration. La fonction ∆2 est un η-quotient de niveau N = 2, de diviseurs m ∈ {1,2} avec a1=−8 eta2= 16.

La fonction ∆2 est de poids 2k = ¹₂(a1+a2) = 4et vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 :

Y

m|2

m^′am= 2⁻⁸∈Q², 1 24

X

m|2

mam= 1∈N^∗ et X

m|2

am

m = 0.

• Le cas p= 3.

L’espace M2(Γ0(3))est de dimension 1, engendré par E_2,3⁽⁰⁾(τ) = 1 + 12q+O(q²). Il n’y a pas d’unité modulaire forte dans cet espace.

L’espaceM4(Γ0(3))est de dimension2et ne contient pas d’une unité modulaire forte. En effet, on peut choisir E_4,3⁽⁰⁾ = [E_2,3⁽⁰⁾]² = 1 + 24q+O(q²), mais on connait aussi un élément de M2(Γ0(3))construit à partir de la série d’Eisenstein E4, à savoirE4(3τ) = 1 + 240q³+O(q⁶).

On déduit de ces deux formes modulaires linéairement indépendantes que E_4,3⁽¹⁾ est de valuation 1 (et unique si unitaire). Cette fonction pourrait être une unité modulaire forte, mais par division, on devrait avoirdim(M6(Γ0(3))) = 2ce qui est faux, l’espace est de dimension3. On a alors le résultat suivant.

Théorème I- 4.2. La fonction

∆3(τ) = η(3τ)¹⁸η(τ)⁻⁶

= q²

+∞

Y

k=1

(1−q^3k)¹⁸ (1−q^k)⁶

(16)

appartient àM6(Γ0(3)), c’est l’unité modulaire forte unitaire de poids minimal pour le niveau 3.

Démonstration. La fonction ∆3 est un η-quotient de niveau N = 3, de diviseurs m ∈ {1,3} avec a1=−6 eta2= 18.

La fonction ∆3 est de poids 2k = ¹₂(a1+a3) = 6et vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 :

Y

m|3

m^′am = 3⁻⁶∈Q², et 1 24

X

m|3

mam= 2∈N^∗.

Enfin, pour c= 1et c= 2, on trouveX

m|3

pgcd(c, m))²

m am=X

m|3

am

m = 0.

• Le cas p^>5,p premier.

On dispose alors d’une forme générale pour une unité modulaire forte de niveaup^>5premier.

Théorème I- 4.3. Pour tout nombre premier p^>5, on définit surHla fonction ∆p par :

∆p(τ) = η(pτ)^2pη(τ)⁻²

= q^(p2−1)/12

+∞

Y

n=1

(1−q^pn)^2p

(1−qⁿ)² . (17)

Alors∆p est une unité modulaire forte deMp−1(Γ0(p)).

Notons l’égalité ∆p(τ)¹² = ∆(pτ)^p∆(τ)⁻¹ qui indique une propriété modulaire de ∆p pour le poids p−1.

Remarquons aussi que si p^>5 est premier, alors ^p2₁₂⁻¹ ∈N. De manière plus générale, si N ^>5 est un entier tel queN ≡1(mod6)ouN ≡5(mod6), ce qui est le cas pourp^>5 premier, alors ^N₁₂²⁻¹ ∈N. En effet, siN = 6k+ 1 alors ^N₁₂²⁻¹ = 3k²+ket siN = 6k+ 5alors ^N₁₂²⁻¹ = 3k²+k+ 2.

Démonstration. La fonction∆p est unη-quotient de niveaup, de diviseursm∈ {1, p}aveca1=−2et ap= 2p.

La fonction∆pest de poids2k=p−1∈2N^∗ et vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 : Y

m|p

m^′am =p⁻²∈Q², et 1 24

X

m|p

mam= p²−1 12 ∈N^∗.

Enfin, pour c∈J1, p−1K, on trouveX

m|p

pgcd(c, m))²

m am=X

m|p

am

m = 0.

5 – Structure et bases de (M

(Γ

(p)))

, p premier

On cherche à construire une famille de bases échelonnées unitaires(B2k(Γ0(p)))k∈N∗ de(M2k(Γ0(p)))_k∈N∗

et on note de manière génériqueB2k(Γ0(p)) = (E_2k,p^(s) )06s6d2k(p)−1.

Commençons par les cas particuliers p= 2et p= 3qui doivent être traités à part. Cela permet aussi de comprendre l’algorithme de production des bases sur ces deux exemples.

• Le cas p= 2.

Soit E_2,2⁽⁰⁾ le générateur unitaire de M2(Γ0(2)) qui est de valuation 0. Il est donc possible de choisir E_2k,2⁽⁰⁾ = [E_2,2⁽⁰⁾]^k comme premier vecteur de la base échelonnée unitaireB2k(Γ0(2)).

La fonction∆2 étant de poids4et de valuation1, le théorème I-2.2 donne le résultat suivant.

Corollaire I- 5.1.

∀k>3, M2k(Γ0(2)) =V ect(E_2k,2⁽⁰⁾ )⊕∆2.M2k−4(Γ0(2)) de plus

B2k(Γ0(2)) =

[E_2,2⁽⁰⁾]^a∆^b₂, avec(a, b)∈N² tel quea+ 2b=k est une base échelonnée de M2k(Γ0(2))

Démonstration. Il s’agit de conséquences directes du théorème I-2.2.

Bien entendu, un résultat analogue est vrai pourN = 1et conduit à des bases échelonnées structurées par∆, au lieu du résultat usuel obtenu avec les générateursE4 et E6. Le détail de cela sera étudié en partie II.

• Le cas p= 3.

La forme modulaire forte∆3 est de poids6, de valuation2, et le théorème I-2.2 s’écrit Corollaire I- 5.2.

∀k>4, M2k(Γ0(3)) =V ect(E_2k,3⁽⁰⁾ , E_2k,3⁽¹⁾ )⊕∆3.M2k−6(Γ0(3)). (18) On dispose alors d’une base deM2k(Γ0(3)):

B2k(Γ0(3)) =

[E_2,3⁽⁰⁾]^a.∆^b₃, (a, b)∈N² / a+ 3b=k

∪

E_4,3⁽¹⁾.[E⁽⁰⁾_2,3]^a.∆^b₃, (a, b)∈N² / a+ 3b=k−2 . (19) Démonstration. Cette fois encore, la première égalité est une application du théorème I-2.2

On sait quedim(M2(Γ0(3))) = 1,dim(M4(Γ0(3))) = 2avecν(E_2,3⁽⁰⁾) = 0,ν(E_4,3⁽⁰⁾) = 0 etν(E_4,3⁽¹⁾) = 1.

On peut donc choisirE_4,3⁽⁰⁾ = [E_2,3⁽⁰⁾]², et plus généralement,E_2k,3⁽⁰⁾ = [E_2,3⁽⁰⁾]^k comme premier élément de base échelonnée unitaire deM2k(Γ0(3)).

De même, il est licite de choisir pour toutk>3,E_2k,3⁽¹⁾ =E_4,3⁽¹⁾[E_2,3⁽⁰⁾]^k−2.

Il est facile de vérifier que la relation (19) produit une base pour k = 1 et k = 2, on suppose le résultat vrai jusqu’à l’ordre k−1 ^> 2. Compte tenu de ce qui précède, la relation (18) indique que ([E_2,3⁽⁰⁾]^k, E_4,3⁽¹⁾[E_2,3⁽⁰⁾]^k−2)∪∆3B2k−4(Γ0(3))donne une baseB2k(Γ0(3)).

On constate alors que

[E_2,3⁽⁰⁾]^a.∆^b₃, (a, b)∈N² / a+ 3b=k

= ([E_2,3⁽⁰⁾]^k)∪∆3

[E_2,3⁽⁰⁾]^a.∆^b₃, (a, b)∈N² / a+ 3b=k−3 et

E_4,3⁽¹⁾.[E_2,3⁽⁰⁾]^a.∆^b₃, (a, b)∈N² / a+ 3b=k−2

= E_4,3⁽¹⁾[E_2,3⁽⁰⁾]^k−2∪∆3

E_4,3⁽¹⁾.[E_2,3⁽⁰⁾]^a.∆^b₃, (a, b)∈N² / a+ 3b=k−5 ce qui achève la démonstration par récurrence.

• Le cas p^>5,p premier.

On fixep>5,ppremier.

Lemme I- 5.1. Pour tout entier k∈N^∗,

dim(M2k+p−1(Γ0(p)))−dim(M2k(Γ0(p))) =ν(∆p) = p²−1

12 . (20)

Démonstration. La seconde égalité est connue, et la première est en fait un cas particulier du théorème I-7.1, valable dans le cas généralNquelconque, et qui sera démontré au paragraphe7. On s’appuie pour cela sur une formule explicite donnant la dimension deM2k(Γ0(N))en fonction dek etN [15].

Par ailleurs, on déduit du théorème I-2.2 l’égalité suivante

∀k∈N^∗, dim(M2k+p−1(Γ0(p))) = dim(M2k(Γ0(p))) +Card({s / ν(E_2k+p−1,N^(s) )< p²−1 12 }).

Par suiteCard({s / ν(E_2k+p−1,N^(s) )<p²−1

12 }) = p²−1

12 , dont on déduit le théorème suivant.

Théorème I- 5.1. Soit p^>5 un nombre premier et, pour tout entier k^>1,(E_2k,p^(s) )06s6d2k(N)−1 une base échelonnée unitaire de M2k(Γ0(p)). Alors

∀k^> p+ 1

2 , ∀s∈J0,p²−1

12 −1K, ν(E^(s)_2k,p) =s. (21) Ce résultat est important. Il indique que les éléments nouveaux apparaissant dansB2k(Γ0(p))sont de valuation échelonnée régulièrement, les autres éléments provenant de ∆p.B2k−(p−1)(Γ0(p)). Il reste à caractériser ces nouveaux éléments.

On dispose du résultat suivant, vrai pour tout entierN ^>2.

Théorème I- 5.2. Soit un entierN ^>2, alorsM2(Γ0(N))possède des éléments de valuation 0.

Démonstration. Il s’agit d’un résultat bien connu et obtenu en général grace à la fausse série d’Eisenstein G2 (voir [8] ou [2]). On définit

G2(τ) = X

m∈Z

X

n∈Z′ m

1 (mτ+n)²

= 2ζ(2)−8π²

+∞

X

n=1

σ(n)qⁿ

où Z^′_m = Z− {0} si m = 0 et Z^′_m = Z sinon. On montre alors que G2,N(τ) = G2(τ)−N G2(N τ) appartient àM2(Γ0(N)). De plus, lim

τ→+∞G2,N(τ) = 2(1−N)ζ(2)6= 0, ce qui assure du résultat.

On donnera une démonstration différente de ce résultat dans la partie II. On montrera précisément que la fonction

N−1

X

k=1

℘(kτ, N τ)est un élément deM2(Γ0(N))de valuation 0, où ℘(z, τ)désigne la fonction elliptique de Weierstrass sur un réseau de périodeZ+τZ, prise au pointz.

Corollaire I- 5.3. Soit N ^>2 un entier, si (E_2k,p^(s) )06s6d2k(N)−1 est une base échelonnée unitaire de M2k(Γ0(N)), alors ν(E_2k,p⁽⁰⁾ ) = 0et on peut choisir E_2k,p⁽⁰⁾ = [E_2,p⁽⁰⁾]^k.

Les théorèmes I-5.2 et corollaire I-5.3 permettent la construction algorithmique de bases structurées.

En effet, pourk> p+ 1

2 , on peut choisir

E_2k,p^(s) =E_p+1,p^(s) [E_2,p⁽⁰⁾]^k−p+12 , 06s < p²−1

2 . (22)

Ces éléments sont échelonnés régulièrement (sans saut) et unitaires dans l’espaceM2k(Γ0(p)), ils sont donc éligibles comme p²−1

2 premiers éléments deB2k(Γ0(p)).

On peut alors préciser le théorème I-2.2

Théorème I- 5.3. Soit p^>5 un nombre premier, alors

∀k∈N, k^> p−1

2 , M2k(Γ0(p)) = ∆p.M2k−(p−1)(Γ0(p))⊕V ect

E_p+1,p^(s) [E⁽⁰⁾_2,p]^k−p+12 /0⁶s < p²−1 12

. (23) Par suite, sik∈N^∗ etk=q^p−1₂ +ravec 1⁶r^{6 p−1}₂ ,

M2k(Γ0(p)) = ∆^q_p.M2r(Γ0(p))

q−1

M

n=0

∆ⁿ_p.V ect

E_p+1,p^(s) [E_2,p⁽⁰⁾]^{k−(n+1)p−12 −1} / 06s < p²−1 12

. (24) Concernant le calcul d’une base échelonnée unitaire B2k(Γ0(p)), k ^>1 quelconque, le théorème I-2.2 est à présent opérationnel puisque la connaissance de toutes les bases est ramenée à celle de la famille finie de bases (B2k(Γ0(p)))_16k6^p+1

2 . On verra en partie II que cela est possible à l’aide de fonctions elliptiques pour1⁶N ⁶10.

6 – Les unités modulaires fortes ∆

, N quelconque

Au paragraphe précédent, nous avons obtenus des bases structurées de (M2k(Γ0(p)))k∈N∗ lorsque p est premier. L’outil important, qui ramène la recherche d’une infinité de bases à un nombre fini, est l’existence d’une forme modulaire forte∆p. Nous allons établir l’existence de∆N dans le cas général N ^>1.

Des sous-cas sont à considérer. Par exemple, l’existence de∆p^r lorsquepest premier, de ∆_p^r1

1 p^r2₂ pour p1,p2 premiers distincts. . . Comme on peut s’y attendre, il faut parfois distinguer les cas des facteurs premiers égaux à2 ou3, et le cas plus grand que5.

Nous noterons dans cette partie ∆N une unité modulaire forte de la famille (M2k(Γ0(N)))k∈N∗ en restant cohérent avec la notation introduite à la section 4.

Résumons, avec un peu d’avance, les connaissances sur les fonctions (∆N)16N610 (de poids minimal) qui seront obtenues à la partie II :

∆2(τ) = η(τ)⁻⁸η(2τ)¹⁶=q

+∞

Y

k=1

(1−q^2k)¹⁶ (1−q^k)⁸

∆3(τ) = η(τ)⁻⁶η(3τ)¹⁸=q²

+∞

Y

k=1

(1−q^3k)¹⁸ (1−q^k)⁶

∆4(τ) = η(2τ)⁻⁴η(4τ)⁸=q

+∞

Y

k=1

(1−q⁴ⁿ)⁸ (1−q²ⁿ)⁴

∆5(τ) = η(τ)⁻²η(5τ)¹⁰=q²

+∞

Y

n=1

(1−q⁵ⁿ)¹⁰ (1−qⁿ)²

∆6(τ) = η(τ)²η(2τ)⁻⁴η(3τ)⁻⁶η(6τ)¹²=q²

+∞

Y

k=1

(1−q^k)²(1−q^6k)¹² (1−q^2k)⁴(1−q^3k)⁶

∆7(τ) = η(τ)⁻²η(7τ)¹⁴=q⁴

+∞

Y

n=1

(1−q⁷ⁿ)¹⁴ (1−qⁿ)²

∆8(τ) = η(4τ)⁻⁴η(8τ)⁸=q²

+∞

Y

k=1

(1−q⁸ⁿ)⁸ (1−q⁴ⁿ)⁴

∆9(τ) = η(3τ)⁻²η(9τ)⁶=q²

+∞

Y

k=1

(1−q^9k)⁶ (1−q^3k)²

∆10(τ) = η(τ)²η(2τ)⁻⁴η(5τ)⁻¹⁰η(10τ)²⁰=q⁶

+∞

Y

k=1

(1−qⁿ)²(1−q¹⁰ⁿ)²⁰ (1−q²ⁿ)⁴(1−q⁵ⁿ)¹⁰

(25)

À noter que∆4(τ) = ∆2(2τ)^1/2, ∆8(τ) = ∆4(2τ)et∆9(τ) = ∆3(3τ)^1/3.

Le résultat suivant permet de réduire la recherche d’une unité modulaire forte de niveau N au cas où N est un produit de nombres premiers distincts.

Lemme I- 6.1. Soient N, n des entiers strictement positifs et Ψ ∈ M2k(Γ0(N)). Alors la fonction Ψn(τ) = Ψ(nτ)appartient à l’espace M2k(Γ0(nN)).

On trouvera, par exemple, une démonstration dans [2], exercice 1.2.12. On en déduit le résultat suivant.

Corollaire I- 6.1. Soientp1, . . . , pn des nombres premiers tous distincts etr1, . . . , rn des entiers stric- tement positifs.

Si la fonctionΦ(τ)est une unité modulaire forte de poids2kselonΓ0(p1. . . pn), alorsΦ(p^r₁¹⁻¹. . . p^r_nⁿ⁻¹τ) est une unité modulaire forte de poids 2k selonΓ0(p^r₁¹. . . p^r_nⁿ).

Démonstration. D’après le lemme I-6.1, siΦ(τ) = Φ(p˜ ^r₁¹⁻¹. . . p^r_nⁿ⁻¹τ), alorsΦ˜ ∈M2k(Γ0(p^r₁¹. . . p^r_nⁿ)).

Par ailleurs,Φ˜ ne s’annule pas sur H et le développement en série de Fourier de(cτ+d)^−2kΦ(^aτ_cτ+d^+b) indique que l’ordre deΦ˜ en une pointe est nul si et seulement si l’ordre deΦà cette même pointe est aussi nul, ce qui donne le résultat.

À la suite de la définition (17)de∆p pour p>5 premier, on pose Notation I- 6.1. Pourq∈N^∗,

∀τ ∈ H, ηq(τ) =η(qτ)^q. (26)

• Le casN =p^r, ppremier etr >0 Le résultat est le suivant :

Théorème I- 6.1. Les fonctions ∆p^r suivantes sont des unités modulaires fortes selon Γ0(p^r).

Lorsque p= 2,

∆2= η2

η1

8

, et ∀r^>2, ∆2^r(τ) = ∆4(2^r−2τ) = η2

η1

4

(2^r−1τ)∈M2(Γ0(2^r)). (27) Lorsque p= 3,

∆3= η3

η1

6

, et ∀r^>2, ∆3^r(τ) = ∆9(3^r−2τ) = η3

η1

2

(3^r−1τ)∈M2(Γ0(3^r)). (28) Lorsque p^>5 premier,

∀r∈N^∗, ∆p^r(τ) = ∆p(p^r−1τ) = ηp

η1

2

(p^r−1τ)∈Mp−1(Γ0(p^r)). (29)

Démonstration. Le cas ∆p,ppremier a été traité. D’après le corollaire I-6.1, il suffit de vérifier que∆4 et∆9sont des unités modulaires fortes de M2(Γ0(4))etM2(Γ0(9))respectivement.

La fonction∆4(τ) =η(2τ)⁻⁴η(4τ)⁸est unη-quotient de niveauN= 4, de diviseursm∈ {1,2,4}

aveca1= 0,a2=−4,a4= 8 et de poids2k= ¹₂(a1+a2+a4) = 2.

Elle vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 : Y

m|4

m^′am = 2⁻⁴∈Q², 1 24

X

m|4

mam= 1∈N^∗ et X

m|4

am

m = 0.

La dernière égalité donne la condition(iii)du théorème pourc= 1etc= 3, le casc= 2provient du calcul

X

m|4

pgcd(2, m)²

m am= 0.

La fonction∆9(τ) =η(3τ)⁻²η(9τ)⁶est unη-quotient de niveauN= 9, de diviseursm∈ {1,3,9}

aveca1= 0,a3=−2,a9= 6 et de poids2k= ¹₂(a1+a3+a9) = 2.

Elle vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 : Y

m|9

m^′am = 3⁻²∈Q², 1 24

X

m|9

mam= 2∈N^∗ et X

m|9

am

m = 0.

La dernière égalité donne la condition (iii)du théorème pour c∈ {1,2,4,5,7,8}, les casc = 3 etc= 6proviennent des calculs

X

m|9

pgcd(3, m)²

m am=X

m|9

pgcd(6, m)²

m am= 0.

• Le casN =p^r₁¹p^r₂², avec p1, p2 premiers distincts et(r1, r2)∈N^∗2 Le guide pour comprendre la construction de∆_p^r1

1 p^r₂² repose sur l’égalité

(p1−1)(p2−1) = +p1p2−p1−p2+ 1 (30) qui sera généralisée par la suite.

L’algorithme pour construire∆N est le suivant.

1. Lorsque N = p1.p2, les termes avec + indiquent des ‘unités élémentaires’ ηq placées au numérateur de l’unité modulaire forte et les termes précédés du signe−indiquent des ‘unités élémentaires’ηq mises au dénominateur.

2. LorsqueN =p^r₁¹.p^r₂², le corollaire I-6.1 s’applique et∆_p^r1

1 .p^r₂²(τ) = ∆p1p2(p^r₁¹⁻¹.p^r₂²⁻¹τ).

On a le résultat générique suivant : Théorème I- 6.2.

Soient p^>3 un nombre premier et(r1, r2)∈N^∗2 :

∆2^r1p^r2(τ) =

η1η2p

η₂²ηp

2

(2^r1−1p^r2−1τ)∈M(p−1)(Γ0(2^r1p^r2)). (31) Soient p1>3 etp2>3 deux nombres premiers distints et(r1, r2)∈N^∗2 :

∆_p^r1

1 p^r₂²(τ) = η1ηp1p2

ηp1ηp2

(p^r₁¹⁻¹p^r₂²⁻¹τ)∈M¹

2(p1−1)(p2−1)(Γ0(p₁^r1p^r₂²)). (32) Ces fonctions sont des unités modulaires fortes des espaces modulaires correspondants.

Démonstration. Compte tenu du corollaire I-6.1, il s’agit de montrer que∆2p et ∆p1p2 sont des unités modulaires fortes dansM(p−1)(Γ0(2p))etM¹

2(p1−1)(p2−1)(Γ0(p1p2))respectivement.

La fonction

∆2p(τ) =η(τ)²η(2τ)⁻⁴η(pτ)^−2pη(2pτ)^4p

est un η-quotient de niveau 2p, de diviseursm∈ {1,2, p,2p}aveca1 = 2, a2=−4, ap =−2p, a2p= 4pet de poids2k= ¹₂(a1+a2+ap+a2p) =p−1.

Elle vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 : Y

m|2p

m^′am = 2^−2(p−1)p⁻²∈Q², 1 24

X

m|2p

mam= p²−1

4 ∈N^∗ et X

m|2p

am

m = 0.

La dernière égalité donne la condition(iii)du théorème I-3.3 pourc ∈J1,2p−1K− {2, p}, les casc= 2 etc=pproviennent des calculs

X

m|2p

pgcd(2, m)²

m am= X

m|2p

pgcd(p, m)²

m am= 0.

On peut noter que la racine de cette fonction ne vérifie pas la condition(i)du théorème I-3.3.

Pourp1>3et p2>3des nombres premiers distincts, la fonction

∆p1p2(τ) =η(τ)¹η(p1τ)^−p1η(p2τ)^−p2η(p1p2τ)^p1p2

est unη-quotient de niveauN =p1p2, de diviseursm∈ {1, p1, p2, p1p2}aveca1= 1,ap2 =−p1, ap2 =−p2,ap1p2=p1p2et de poids2k= ¹₂(a1+ap1+ap2+ap1p2) =¹₂(p1−1)(p2−1).

Elle vérifie les hypothèses d’application du théorème I-3.3 : Y

m|p1p2

m^′am =p^−(p₁ ²⁻¹⁾p^−(p₂ ¹⁻¹⁾∈Q², 1 24

X

m|p1p2

mam=(p²₁−1)(p²₂−1)

24 ∈N^∗ et X

m|p1p2

am

m = 0.

Cette fois encore, la dernière égalité donne la condition (iii)du théorème pour c ∈ J1, p1p2− 1K− {p1, p2}, les casc=p1 et c=p2proviennent des calculs directs

X

m|p1p2

pgcd(p1, m)²

m am= X

m|p1p2

pgcd(p2, m)²

m am= 0.

On peut unifier le résultat en proposant

η1ηp1p2

ηp1ηp2

2

(p^r₁¹⁻¹p^r₂²⁻¹τ)∈M(p1−1)(p2−1)(Γ0(p^r₁¹p^r₂²)) pour unité modulaire forte pour tous nombres premiers p1 6=p2. Pour autant, La relation(32) permet de diviser par deux le poids de l’unité modulaire forte retenue lorsque 2 n’est pas l’un des facteurs premiers, ce qui sera utile lors de la recherche de bases par exemple.

Pour la relation(31), la valuation de∆2^r1p^r2 vaut :

ν(∆2^r1p^r2) = 2^r1−3p^r2−1(p²−1), (33) pour la relation(32), la valuation de∆_p^r1

1 p^r₂² vaut : ν(∆_p^r1

1 p^r₂²) =p^r₁¹⁻¹p₂^r2−1(p²₁−1)(p²₂−1)

24 (34)

qui sont toujours des entiers.

Donnons quelques exemples.

- PourN = 3.5 = 15,

∆15(τ) = η(τ)η(15τ)¹⁵

η(3τ)³η(5τ)⁵ ∈M4(Γ0(15))

= q⁸

+∞

Y

n=1

(1−qⁿ)(1−q³ⁿ)⁻³(1−q⁵ⁿ)⁻⁵(1−q¹⁵ⁿ)¹⁵.

(35)

- PourN = 5.7 = 35,

∆35(τ) = η(τ)η(35τ)³⁵

η(5τ)⁵η(7τ)⁷ ∈M12(Γ0(35))

= q⁴⁸

+∞

Y

n=1

(1−qⁿ)(1−q⁵ⁿ)⁻⁵(1−q⁷ⁿ)⁻⁷(1−q³⁵ⁿ)³⁵.

(36)

- PourN = 2².3²= 36,

∆36(τ) = η(6τ)²η(36τ)¹²

η(12τ)⁴η(18τ)⁶ ∈M2(Γ0(36))

= q¹²

+∞

Y

n=1

(1−q⁶ⁿ)²(1−q¹²ⁿ)⁻⁴(1−q¹⁸ⁿ)⁻⁶(1−q³⁶ⁿ)¹².

(37)

• Le casN =p^r₁¹p^r₂²p^r₃³,p1< p2< p3 premiers distincts,(r1, r2, r3)∈N^∗3 Étendons l’égalité(30):

(p1−1)(p2−1)(p3−1) = +p1p2p3−p1p2−p2p3−p3p1+p1+p3+p3−1 (38) qui sera encore généralisée.

Il s’agit toujours de placer les éléments modulaires liés aux signes +au numérateur de l’unité modulaire cherchée et ceux liés au signe−au dénominateur.

On a le résultat suivant :

Théorème I- 6.3. Soientp1,p2 etp3 des nombres premiers distincts,(r1, r2, r3)∈N^∗3. PourN =p^r₁¹p^r₂²p^r₃³, la fonction

∆N(τ) = ηp1ηp2ηp3ηp1p2p3

η1ηp1p2ηp2p3ηp1p3

N τ p1p2p3

∈M¹

2(p1−1)(p2−1)(p3−1)(Γ0(N)). (39)