série 2-Algèbre6-SMA-S4

Université Sidi Mohammed Benabdellah Année universitaire 2019-2020 Facultédes Sciences Dhar El Mehraz

Département de Mathématiques

SMA/S4 Algèbre 6

Série n◦2

Exercice .1 Soient K et L deux corps et f : K //L un homomorphismes de corps. Montrer

que f est injectif. 

solution: f : K //L un homomorphismes de corps, donc Ker f = f−1({0}) est un idéal de K. Or K est un corps (les seuls idéaux de K sont {0} et K), ainsi Ker f = {0}. Si non l’application f est nulle.

Exercice .2 _{Soit n ∈ N}?. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes: 1. nZ est un idéal maximal.

2. nZ est un idéal premier 3. n est un nombre premier



solution 1) ⇒ 3): Si pZ est un idéal maximal de Z : Alors : pZ 6= Z ⇒ p 6= 1

. Soit q un diviseur quelconque de p. q|p ⇒ pZ ⊂ qZ. Donc qZ = pZ ou bie qZ = Z. Ainsiq = p ou bien q = 1. Alors p est premier.

3) ⇒ 2):Si p est un nombre premier. ∀x, y ∈ pZ, xy ∈ pZ. Donc p|xy. Ainsi p|x ou bien p|y. c’est à dire x ∈ pZ ou bien y ∈ pZ. Alors pZ est un idéal premier de Z.

2) ⇒ 1): Soit I un idéal de Z tel que pZ ⊂ I. I est un idéal de Z donc il est de la forme nZ. Ainsi p_{∈ nZ. Alors ∃m ∈ Z/p = nm. nm = p ∈ pZ ⇒ n ∈ pZ ou bien m ∈ pZ.}

n_{∈ pZ ⇒ nZ ⊂ pZ. donc I = nZ = pZ.}

m∈ pZ ⇒ ∃r ∈ N/m = pr. Donc p = nm = nrp. Ainsi nr = 1. Il en résulte que n = r = 1. Alors I_{= nZ = Z.}

Exercice .3 Soit A un anneau commutatif. Montrer que A est intègre si, et seulement si, {0}

est un idéal premier. 

solution Supposons que {0} est un idéal premier de A .∀x, y ∈ A tel que xy = OA, on a xy ∈ {0}. Donc x ∈ {0} ou bien y ∈ {0} car {0} est un idéal premier. Ainsi A est intègre.

Supposons que A est intègre. ∀x, y ∈ A tel que xy ∈ {0}, x = 0 ou bien y = 0 car A est intègre. Donc x ∈ {0} ou bie y ∈ {0}. Ainsi {0} est un idéal premier.

Exercice .4 Soit K un anneau commutatif. Montrer que les propositions suivantes sont équiva-lentes:

1. K est un corps.

2. {0} est un idéal maximal de K. 3. Les seuls idéaux de K sont {0} et K.



solution

3) ⇒ 1): Supposons que les seuls idéaux de K sont {0} et K. Soit x ∈ A\{0}. Alors (x) l’idéal engendré par x est non nul, donc (x) = K. 1K∈ K = (x), donc il existe y ∈ K tel que yx = xy = 1K.

2 Ainsi K est un corps.

1) ⇒ 2): Supposons que K est un corps.

Puisque K est un corps alors {0} 6= K. SoitJ un idéal de K contenant {0} Par suite J = {0} ou J= K (car K est un corps). Donc {0} est un idéal maximal de K.

2) ⇒ 3): Soit I un idéal quelconque de K. Puisque {0} ⊂ I et puisque {0} est un idéal maximal de K alors I = {0} ou I = K. Donc {0} et K sont les seuls idéaux de K.

Exercice .5 Soient I et J deux idéaux d’un anneau A. 1. dans cette question, on prend A = Z, I = 3Z etJ= 5Z.

i) Montrer que 1 ∈ I + J ii) A-t-on A = I + J? ii) Déterminer I ∩ J. iv) Déterminer I · J.

2. On suppose que I * J et que I est maximal. i) Montrer que 1 ∈ I + J.

ii) Soient i ∈ I, j ∈ J tels que i + j = 1 et (x, y) ∈ A/I × A/J. Montrer que jx + iy = x + I et jx + iy = y + J.

iii) Déduire que les anneaux A/I ∩ J et A/I × A/J sont isomorphes. 3. Les anneaux Z/15Z et Z/5Z × Z/3Z sont-ils isomorphes?



solution

1. i) 3 et 5 sont premiers entre eux, donc: ∃u, v ∈ Z/3u + 5v = 1. Ainsi 1 ∈ I + J.

ii) I + J est un idéal de Z et 1 ∈ I + J. Donc ∀x ∈ Z, x = 1.x ∈ I + J. Ainsi A = I + J. iii) On a 15Z ⊂ 5Z et 15Z ⊂ 3Z, donc 15Z ⊂ 3Z ∩ 5Z.

Soit x ∈ I ∪ J. ∃n, m ∈ Z/x = 3n = 5m. Donc 3|5m, or 3 ∧ 5 = 1. Ainsi 3|m et x ∈ 15Z. Il en résulte que I ∩ J = 15Z.

iv) I et J sont des idéaux de Z, donc I.J ∈ I ∩ J.

∀x ∈ 15Z, ∃n ∈ Z/y = 15n = 3.5.n ∈ I.J. Alors 15Z ⊂ I.J. Il en résulte que I.J = I_{∩ J = 15Z.}

2. i) I + J est un idéal, I ⊂ I + J et I est maximal. Donc I + J = A ou bien I + J = I. Or I * J, donc I + J = A. Il en résulte que 1 ∈ I + J.

ii) i ∈ I ⇒ iy ∈ I ⇒ iy = I Donc jx + iy = x + I.

j∈ J ⇒ jx ∈ J ⇒ jx = J Donc jx + iy = y + J.

iii) Considèrons l’homomorphisme d’anneaux ϕ : A //A/I × A/J, x //(x + I, x + J) . ∀(x, y) ∈ A/I × A/J : (x, y) = ( jx + iy, iy + jx) = ϕ( jx + iy).

Ainsi ϕ est surjectif.

Kerϕ = {a ∈ A/a ∈ I, a ∈ J} = I ∩ P = I.J

Puisque A/Kerϕ ' A/I × A/J, on a A/I ∩ J = A/I × A/J. 3. 3Z ∩ 5Z = 15Z et 5Z + 3Z = Z. Donc Z/15Z ' Z/5Z × Z/3Z.

Exercice .6 (facultatif) Soit K un corps (commutatif).

1. i) Montrer que l’intersection des sous-corps de K est un sous-corps de K. On l’appelle le sous-corps premier de K et on le note P(K).

ii) Montrer que P(K) = {(n.1K).(m.1K)−1/n, m ∈ Z, m.1K6= 0K}. 2. On considère l’application f : Z //K, n //n.1K.

3 i) Vérifier que f est un homomorphisme d’anneaux.

ii) Montrer que si caraK = p, où p est un nombre premier, alors P(K) ' Z/pZ. iii) Montrer que si caraK = 0, alors P(K) ' Q}.



Exercice .7 _{Soit l’application f : Z[X]} //_{Z, P} //P(0). 1. Montrer que Ker f est un idéal principal.

2. Montrer que Z[X]/Ker f ' Z.

3. En déduire que Ker f n’est pas maximal.



solution Soit P = amXm+ · · · + a1X+ a0∈ Z[X], avec les ai∈ Z.

On a f (P) = P(0) = a0, donc Ker f = {P ∈ Z[X]/ f (P) = 0} = XZ[X] l’idéal principal engendré par X.

1. Il est facile de vérifier que f est un morphisme d’anneaux unitaires, qu’il est surjectif. Alors d’après le premier théorème d’isomorphismes Z[X]/XZ[X] ' Z.