Exercice 1 - Soit

(1)

Exercice 1 -

Soit f définie sur R² par f (x, y) = 5x² – 6xy + 2x + 2y² – 2y + 1 1. Calculer ses dérivées partielles premières

2. Déterminer le point stationnaire de f (point où s’annulent ces deux dérivées) puis prouver que f atteint un minimum en ce point.

Exercice 2 -

Soit f définie sur R² par f (x, y) = (x – 1)(y – 2)(x + y – 6)

1. Montrer que (4, 2) et (2, 3) sont des points stationnaires de f . 2. Présente-t-elle des extrema locaux en ces points ?

Exercice 3 -

Soit f définie par f (x, y) = x ((ln x)² + y²).

Déterminer le domaine de définition de f puis ses extrema locaux.

Exercice 4 -

Soit f définie sur ℝ² par f (x, y) = _xy_._e⁻(^x²⁺^y²)_. 1. Calculer ses dérivées partielles premières

2. Déterminer les points stationnaires de f (points où s’annulent ces deux dérivées) puis donner, si pos- sible, la nature de ces points (minimum, maximum, col, indéterminé).

Exercice 5 -

On considère la fonction f , continûment dérivable sur ]0 ; 1[ × ]0 ; 1[, définie par : f (x, y) = 1 1 1

1 x+1 y +x y

− − + .

1. Calculer, sur ]0 ; 1[ × ]0 ; 1[, ses dérivées partielles premières.

2. Montrer qu’il existe sur ]0 ; 1[ × ]0 ; 1[ un unique point E en lequel f est susceptible de posséder un extremum local et déterminer ce point E.

3. Montrer que f admet un minimum local en E.

Exercice 6 -

On donne l’expression d’une fonction de deux variables : ^{f x y}

( )

^, ⁼ ^{x y}₂² ^{+ +}^x² ^y₃³⁻⁴^y

Trouver les points stationnaires de la fonction f et établir leur nature.

Exercice 7 -

On donne la fonction f des deux variables réelle x et y par son expression : ^{f x y}

( )

^, ⁼^{x y}² ⁺^y^ln^y^.

1) Quel est le domaine de définition de la fonction f ?

2) a. Déterminer les expressions des deux dérivées partielles premières de f.

b. Donner alors la relation existant entre df, dx et dy, au point A (2, 1).

c. En déduire une estimation du pourcentage de variation de f si, à partir du point A, on provoque une augmentation relative de 1% de x combinée à une augmentation relative de 1% de y.

3) a. Donner les expressions des dérivées partielles secondes de f.

b. Effectuer une recherche des extrema locaux de f, puis donner leur valeur (on utilisera les nota- tions de Monge : p, q, r, s et t).

(2)

Exercice 8 -

Soit la fonction : ^f^:

( )

^{x y}^, ^∈^{ℝ ֏}² ^{f x y}

( )

^, ^{= −}^x³ ^{6 1}^x

(

⁻^y²

)

^.

1) a. Déterminer les dérivées partielles premières de f.

b. Déterminer alors les points stationnaires (c'est-à-dire stationnaires) de f.

2) a. Déterminer les dérivées partielles secondes de f.

b. Conclure sur l'existence et les valeurs des extrema locaux de f.

Exercice 9 -

1) On considère la fonction de deux variables définie par f x y( , )=2xy−2x²−y²−8x+6y+4. Montrer que la fonction f admet un point stationnaire. Déterminer ce point stationnaire et donner sa nature.

2) On considère une montagne dont la forme du relief est définie par l'expression : ( , )

z x y =2xy−2x²−y²−8x+6y+4

On suppose que le niveau de la mer correspond à z = 0, donc z désigne l'altitude au point ( ; )x y . L'unité de mesure pour x, y et z est 100 mètres. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer l'altitude de la montagne.

Exercice 10 - Lignes de niveau

On donne l’expression d’une fonction de deux variables :

( )

^, ⁴ ³ ³ ³

f x y = + +x y − xy

dont on affiche ci-contre quelques lignes de niveau.

1) A l’aide de cette représentation graphique, conjecturer les coordonnées des points stationnaires (points où les deux dé- rivées partielles premières s’annulent), puis dire si ces points représentent des maxima, des minima ou des cols.

2) Vérifier ces conjectures par le calcul.

Exercice 11 -

On donne ci-contre quelques courbes de niveau de la fonction ^f ^:

( )

^{x y}^, ^֏³^x^{− −}^x³ ²^y²⁺^y⁴^.

1) A l'aide de cette représentation graphique, conjecturer les positions des points critiques de f ainsi que leur nature (maximum ou minimum local, ou point selle/col).

2) Vérifier ces hypothèses par le calcul, en utilisant l'expression de la fonction.

Exercice 12 - Colline et lignes

(3)

2) Étude des courbes de niveau ^{f x y}

( )

^, ⁼⁰^et ^{f x y}

( )

^, ^{= −}^0,0225^.

a. Donner une expression factorisée de l'égalité ^{f x y}

( )

^, ⁼⁰ puis, hormis une solution triviale, en dé- duire la nécessité de l'étude d'une fonction y de la variable x.

b. Dans cette question, on étudie la courbe de niveau ^{f x y}

( )

^, ^{= −}^0,0225. Considérer l'équation po- sée comme une équation du second degré d'inconnue y (x étant un des constituants des coeffi- cients du polynôme du second degré). Étudier l'existence de solutions y réelles.

Exercice 13 - Optimisation commerciale

Une société veut lancer un nouveau produit sur le marché et s’interroge sur le prix de vente unitaire à fixer, x, et sur la dépense à accorder à la publicité, y, afin de maximiser ses futurs profits. Elle sait qu’une augmentation de x aura une influence négative sur la quantité vendue et qu’une augmentation de y aura, elle, une influence positive. On modélisera cela par : quantité vendue = 800 12+ y−52x.

Le coût unitaire de production étant, de manière simplifiée, estimé à 8 €, le bénéfice réalisé vaut donc :

( ) (

^, ^{8 800 12}

) (

⁵²

)

f x y = −x + y− x −y. 1) Donner les dérivées partielles de f au premier ordre.

2) Rechercher le point A = (xA, yA) où ces dérivées s’annulent toutes les deux.

3) Donner les expressions des dérivées partielles secondes de f puis leur valeur au point A.

4) a. En déduire la nature du point A (sommet « haut », sommet « bas », ou col)

b. Conclure sur cette situation optimale : prix de vente unitaire à fixer, dépense à accorder en publi- cité, quantité vendue, bénéfice réalisé.

Exercice 14 -

Une entreprise fabrique des chipsets et des microprocesseurs. On appelle x le nombre (exprimé en milliers) total de pièces produites chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de chipsets produits chaque mois – le nombre de microprocesseurs est donc x – y. Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d’euros, est donné par ^{C x y}

( )

^, ^{= +}^x² ^y²⁻^xy^{− − +}^x ^y ³^.

1) On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de chipsets que l’entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût, sachant que la production mensuelle totale est de 2 milliers de composants (On a donc x = 2).

a. Exprimer C(x,y) en fonction de la seule variable y.

b. Résoudre alors le problème de minimisation posé.

2) Ici, la production totale est indéterminée (donc n’est pas de deux milliers d’unités). On se propose cette fois de trouver les quantités de microprocesseurs et de chipsets que l’entreprise doit produire par mois pour minimiser le coût unitaire de production, qui s’exprime par :

( )

_, ^{C x y}

( )

^, ^x² ^y² ^xy ^x ^y ³

CU x y

x x

+ − − − +

= =

a. Exprimer les deux dérivées partielles de la fonction CU.

b. Déterminer alors les points stationnaires de cette fonction, caractéristiques de l’annulation de ces deux dérivées partielles.

c. Déterminer les dérivées partielles secondes de la fonction CU.

d. En déduire alors le(s) couple(s)

( )

^{x y}^, qui rend(ent) le coût unitaire minimal.

(4)

Exercice 15 - Parallélépipède

On doit fabriquer un récipient parallélépipédique droit. Ses six faces sont donc des rectangles et trois arêtes reliées au même sommet (dont les longueurs seront notées x, y et z),sont perpendiculaires.

L'objectif est de déterminer ces longueurs x, y et z afin que la boîte contienne un volume de 1 dm³, tout en minimisant la somme des longueurs de toutes les arêtes.

1) Montrer que le problème revient à chercher le minimum de la fonction ^f ^:

( )

^{x y}^, ^x ^y ¹

+ +xy

֏ .

2) a. Donner les dérivées partielles premières de f.

b. Déterminer alors son ou ses points stationnaires.

c. Donner les dérivées partielles secondes de f. En déduire le couple

( )

^{x y}^, qui rend f minimale.

d. Conclure sur le problème initialement posé.

Exercice 16 - Somme et produit d’entiers

On propose ici un problème de recherche d'optimum :

1) Trouver les trois entiers positifs dont le produit vaut 1728 et dont la somme est minimale.

a. En nommant x, y et z ces trois inconnues, écrire z en fonction de x et y.

b. Effectuer une recherche des points stationnaires de la fonction f des deux variables x et y, qui exprime la somme x+ +y z (uniquement en fonction de x et y).

c. Donner (en justifiant) la nature de ce(s) point(s) stationnaire(s), puis conclure.

2) Même question, mais en imposant l'un d'eux compris entre 5 et 10.

a. Dresser la liste des diviseurs de 1728 compris entre 5 et 10. Pour chaque possibilité, traiter les questions suivantes.

b. Écrire la relation que doivent nécessairement vérifier x et y, les deux autres entiers cherchés.

c. Tenter alors de minimiser x+y. Comparer le résultat à celui de la question 1.

Exercice 17 - Trapèze dans parabole

On montre dans le graphique ci-contre la représentation graphique de la fonction

1 2

x֏ −x sur l'intervalle [-1 ; 1]. On définit sur la courbe le point A d'abscisse a

négative et variable et le point B d'abscisse b positive et variable.

A' est le point de coordonnées (a, 0) et B' le point de coordonnées (b, 0).

L'objectif de l'exercice consiste à trouver les valeurs de a et b qui maximisent l'aire du trapèze A'ABB'.

1) Montrer que maximiser l'aire du trapèze A'ABB' revient à maximiser l'expression :

( ) (

^,

) (

² ² ²

)

f a b = −b a − −a b .

(5)

Exercice 18 - Gouttière

Une gouttière doit être fabriquée avec trois panneaux, de manière symétrique. Sur la figure, en coupe transversale, on constate qu’elle se compose de trois parties, fabri-

quées à partir d’une plaque métallique de largeur totale L, décou- pée en deux bords inclinés de largeur l (à définir) chacun et d’un fond horizontal dont la largeur est donc égale à L – 2l.

Ces deux bords doivent être inclinés par rapport à la verticale d’un angle θ à définir.

Objectif :

Déterminer les valeurs de l et θ qui assureront conjointement la fabrication de la gouttière de débit maximal, c’est-à-dire une aire maximale pour le trapèze ABCD.

1) Montrer que l’aire du trapèze ABCD peut s’écrire : ^{f l}

( )

^,^θ ⁼^l^cos^θ

(

^l^sin^θ^{+ −}^L ²^l

)

^.

2) a. Déterminer les dérivées partielles premières de la fonction f : _p ^{f l}

( )

^, _et_q ^{f l}

( )

^,

l

θ θ

θ

∂ ∂

= =

∂ ∂ .

b. Après avoir effectué une recherche des points stationnaires de la fonction f, montrer que seul le couple

( )

^l^,^θ ⁼^^__{3 6}^L^,^π^^_ convient.

3) a. Déterminer les dérivées partielles secondes de la fonction f :

( )

^,

( )

^,

( )

^,

,

2 2 2

2 et 2

f l f l f l

r s t

l l

θ θ θ

θ θ

∂ ∂ ∂

= = =

∂ ∂ ∂ ∂ .

b. Après application numérique via le résultat de la question 2)b, dire si le point stationnaire repré- sente un maximum, un minimum ou un col.

c. Donner la valeur de f en ce point.

4) Pour être certain que la fonction f n’atteint pas des valeurs plus élevées que la précédente, nous de- vons l’étudier sur les bords de son domaine, qui est : 0;

θ^∈^_ 2^π^_

  et 0;

2

l∈ L. (l’étude menée en question 3 ne concerne que l’intérieur d’un domaine, mais pas ses bords !)

a. Il est évident que

θ⁼2^π ne représente pas de solution optimale, quel que soit l. Mais qu’en est-il de θ=0 ? Étudier la fonction ^{f l}

( )

^,⁰ en fonction de l puis donner son maximum.

b. Il est évident que l=0 ne représente pas de solution optimale, quel que soit θ. Mais qu’en est-il

de 2

l=L ? Étudier la fonction , 2 f^L θ^

  en fonction de θ puis donner son maximum.

c. Conclure alors de manière générale sur la solution à apporter au problème initialement posé.