Examen de mathématique — 8

3 BC – sciences Vendredi 22 janvier 2021

Examen de mathématique — 8

(La récurrence)

Remarques : - les tables et formulaires sont autorisées.

- la calculatrice n’est pas autorisée.

1) Soit nN, démontrer que le nombre (3³ⁿ⁺² +2ⁿ⁺⁴) est multiple de 25.

2) Démontrer que _{  }

⋯

,

3) Vérifier la conjecture suivante pour n{1,2,3} : la somme des cubes des n premiers nombres impairs :

∑ 2 1 1 3 5 ⋯ 2 1 2

Puis démontrer que cette conjecture est vraie, nN^*.

(indication : la divisibilité par (x-a) avec le schéma de Horner peuvent être utiles)

4) Soit le nombre sn = 1 + + ⋯ ∑ .

Calculer ce nombre sn pour les valeurs de n suivantes : n{1,2,3,4,5}.

En déduire une formule permettant de calculer sn en fonction de n.

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