8-RM REPRÉSENTATION MATHÉMATIQUE DE L’ESPACE

REPRÉSENTATION MATHÉMATIQUE DE L’ESPACE

Procédés usuels

Compléments

1 Introduction

1.1 Projections. Pour représenter sur une surface plane un objet de l'espace, on "projette"

cet objet sur le papier. Plusieurs types de projections, d'élaboration plus ou moins empirique, ont donné lieu a une modélisation mathématique. Citons : la projection stéréographique ou la projection de Mercator en géographie, la perspective centrale en architecture ou en peinture, la perspective cavalière en mathématiques ou en technologie, le système de vues coordonnées (projections orthogonales) en technologie. Il en existe d'autres, moins utilisées, comme par exemple, les anamorphoses.

1.2 Croquis. Bien souvent, certains dessins relèvent de plusieurs projections mélangées ou même ne relèvent d'aucune des projections citées ; ils ne sont interprétables que s'ils respectent les propriétés topologiques, c'est à dire les places relatives des différents éléments de l'objet représenté : l'ordre des points, l'intérieur et l'extérieur, l'incidence (ligne passant par un point, par exemple) … Ce sont des croquis.

1.3 Coupes. Une autre méthode d'exploration des objets de l'espace par des figures planes consiste à pratiquer des coupes planes ; on obtient ainsi des représentations de certaines parties des objets en vraie grandeur. Dans le même ordre d'idées, on peut aussi, pour les polyèdres, prendre l'empreinte des faces et obtenir un patron par l'assemblage de ces empreintes.

1.4 Perte d'information. Quand on représente une partie non plane de l'espace sur une surface plane, on perd de l'information car des points différents de l'espace peuvent être représentés par le même point du plan. Souvent, sans informations complémentaires, données implicitement par le contexte ou explicitement par une légende, on serait incapable d'interpréter la représentation. Cependant, certains dessins sont suffisamment usités pour être reconnus d'emblée ; ce sont des iconotypes.

1.5 Représentations multiples. On peut récupérer cette information en utilisant plusieurs représentations ; deux peuvent suffire à condition de savoir quels sont les points des représentations qui représentent le même point de l'espace. Pour un objet un peu compliqué cette correspondance n'est pas commode à indiquer ; elle est facilitée par l'introduction d'une troisième représentation (par exemple les trois vues de la technologie).

2 Les deux types de perspectives

Nous nous intéressons ici aux perspectives cavalières et aux perspectives centrales.

2.1 Le principe commun à ces deux types de perspectives est de faire correspondre à chaque point M de l'espace le point m du plan du dessin, intersection de ce plan avec une droite qui passe par M.

2.2 Ce qui différencie les deux types de perspectives est la manière de choisir la droite qui passe par le point M, appelée projetante de M.

8-RM

• En perspective cavalière, toutes les projetantes ont la même direction ; comme il en est à peu près de même des rayons lumineux en provenance du soleil, la perspective cavalière est apparentée à l'ombre au soleil

.

• En perspective centrale, toutes les projetantes passent par un même point : le centre de projection ; elles sont donc analogues aux rayons lumineux émis par une très petite source lumineuse : la perspective centrale est apparentée à l'ombre au flambeau

.

C'est aussi ce que pourrait dessiner sur le plan de projection un observateur dont l'oeil serait placé à ce centre (s'il avait le bras assez long !).

C'est pourquoi on appelle ce centre le point de vue.

2.3 Nature et artefact. La perspective centrale nous est très familière car c'est ce que donne une photographie. A la prise de vue, le point par lequel passent toutes les projetantes est le centre optique de l'objectif.

La perspective cavalière est "artificielle" ; mais elle est beaucoup utilisée en mathématique car elle traduit sur le dessin, d'une manière simple et directe certaines propriétés des objets de l'espace. C'est elle que nous utilisons ici pour les illustrations.

2.4 Lecture des dessins. Cependant, la perspective cavalière réserve des surprises dès que l'objet représenté est étendu.

En effet, les représentations en perspective centrale et perspective cavalière d'un cube sont suffisamment voisines pour que notre cerveau assimile l'une à l'autre.

Mais il n'en est plus de même pour six cubes alignés l'un derrière l'autre.

Il est habituel de parler de parties visibles et de parties cachées ; cela est légitime pour la perspective centrale car on fait alors référence à l'observateur dont l'oeil est au point de vue ; en perspective cavalière il n'y a plus d'observateur et il vaudrait mieux parler de parties en avant et de parties en arrière.

Sur les dessins ci-dessus, seules les parties

"en avant" sont représentées.

2 Les expressions ombre au flambeau et ombre au soleil sont des expressions consacrées en architecture ou en peinture.

perspective centrale

perspective parallèle

RM-02

2.5 Observations courantes. Ces propriétés sont évidemment en étroite liaison avec ce que chacun a pu observer. Quand on déplace un objet de n'importe quelle manière, à condition de conserver son orientation, son ombre au soleil ne change ni de taille ni de forme ; tandis que son ombre au flambeau change de forme quand on le déplace parallèlement au plan du dessin, de forme et de taille quand sa distance à la source lumineuse varie : la taille de l'ombre augmente quand on rapproche l'objet de la source.

3 Les modèles mathématiques des deux types de perspectives 3.1 Perspectives cavalières. Les données d’une

perspective cavalière sont un plan P, sur lequel on projette, et une droite Δ , sécante à P, définissant la direction des projetantes ; cette perspective cavalière est décrite, dans le cadre de la géométrie, comme la projection parallèle

sur le plan P dans la direction de la droite Δ ^.

Le point M, projeté en m, est en avant du plan P et le point N, projeté en n, est en arrière.

Le plan H n'est là que pour mieux permettre de situer les éléments de la figure (ainsi Δ coupe P en A et H en B).

P

M m

Δ

H

n N

A B

3.2 Perspectives centrales. Les données d’une perspective centrale sont un plan P et un point S extérieur à P ; cette perspective centrale est décrite, dans le cadre de la géométrie, comme la projection centrale sur P de centre S.

S est le point de vue (l'oeil de l'observateur ou l'objectif photographique).

Les remarques faites en 3.1 sur les points M et N et sur le plan H sont encore valables ici.

N M m P

n H

S

3.3 Plan de projection. Le plan P est le plan de projection dans les deux types de perspectives.

3.4 Projeté d'un point. Pour une projection parallèle tout point de l'espace a un projeté tandis que pour une projection centrale aucun des points du plan P', parallèle à P passant par S, n'a de projeté.

3.5 Champ représenté. Cependant, dans la pratique, la feuille de dessin est une partie du plan P (généralement rectangulaire). Les objets de l'espace effectivement représentables sur le dessin doivent être situés dans la partie de l'espace limitée par

• la surface prismatique s'appuyant sur le cadre du dessin et dont les génératrices sont parallèles à D, pour la perspective cavalière ;

• la surface pyramidale s'appuyant sur le cadre du dessin et dont le sommet est le point S, pour la perspective centrale. Dans le cas d'un appareil photographique, c'est ce qu'on appelle le

"champ".

champ en

perspective cavalière

P

champ en

perspective centrale

P S

P'

RM-03 RM-04

3.6 Constructions sur le dessin. Remarquons que, souvent, les constructions géométriques nécessitent l'introduction de points situés en dehors du cadre du dessin. (Voir l'activité sur la largeur de la façade d'un monument).

3.7 Vocabulaire.

Le vocabulaire technique présenté ici et développé dans le glossaire sera utile par la suite.

De front ; frontal : toute partie (plane) d'un objet parallèle au plan de projection est dite "frontale

"ou "de front". Par exemple, le plan P' de la dernière figure ci-dessus est un plan de front.

De bout (ou debout) : les droites ou plans perpendiculaires au plan de projection sont dits "de bout".

4 Image d'une droite D

4.1 Cas d'une projetante. Si la droite D est elle-même une projetante (c'est-à-dire une droite de même direction que Δ en projection parallèle, et une droite non frontale passant par le centre S en projection centrale), son image est réduite à un point : l'intersection de D avec le plan P.

4.2 Cas général. Si la droite D n'est pas une projetante, les projetantes des points de D engendrent un plan Q.

• En projection parallèle, Q est le plan passant par D et parallèle à Δ ^; en projection centrale, Q est le plan défini par D et S.

Pour les deux projections,

ce plan Q est dit le plan projetant de la droite D ; la projetée de D est l'intersection d des plans Q et P.

4.3 Illustrations.

Dans les dessins qui suivent, le plan H sert uniquement à montrer les éléments de la figure.

Ces dessins sont faits en perspective parallèle.

Perspective parallèle

La droite Δ, qui indique la direction de projection, coupe le plan P en A et le plan H en B ; la droite D coupe le plan P en K et le plan H en J ; la projetante du point M de la droite D coupe le plan P en m.

De la droite d n'est dessiné que le segment contenu dans le cadre du dessin. Le segment correspondant de la droite D est dessiné en trait renforcé et la bande du plan Q contenant les projetantes des points de ce segment est grisée.

La droite d passe évidemment par les points K et m.

P

A B

Δ

H

m d

D Q

J

K M

RM-05 a b

RM-07 RM-06 a b

Perspective centrale

Le plan P' est le plan de front passant par le point S ; la droite D coupe le plan P en K et le plan H en J ; la projetante du point M de la droite D coupe le plan P en m.

On n'a dessiné, de la droite d, que le segment contenu dans le cadre du dessin. Le segment correspondant de la droite D est en trait renforcé et le champ dans le plan Q en grisé.

Q

D

P S

H P'

K

d

M m

J

4.4 Remarques.

• En projection parallèle, l'intersection d des plans P et Q est une droite dans tous les cas de figure (dont le cadre ne contient que le segment [ab]).

• En projection centrale, l'intersection des plans P et Q est une droite, sauf si le plan Q est un plan de front, c'est-à-dire sauf si D est dans le plan P', plan de front passant par S ; dans ce dernier cas la droite D n'a pas de projetée.

• Pour les deux projections :

si D est une droite de front et, en projection centrale, non située dans le plan P', plan de front passant par S, les droites D et d sont parallèles ;

sinon la droite D coupe le plan P en un point K par lequel passe d ; il se peut que le point K ne soit pas à l'intérieur du cadre du dessin.

5 Images de droites parallèles

5.1 Cas de droites non projetantes . Notons Q le plan projetant la droite D dans chacun des dessins ci-dessous, correspondant à différentes positions de la droite D, de direction fixe.

En projection parallèle . Les plans Q projetant les différentes droites D sont parallèles entre eux et les différentes projetées d, qui sont les intersections de ces plans avec le plan P, sont également parallèles entre elles.

Ci-dessous, en illustration, trois positions de la droite D de direction fixe :

H

K P

d D

D Q

H d K P

P Q

H d D K

RM-08

De plus, si les droites D sont des droites de front, les droites et leurs projetées sont parallèles entre elles.

Ci-dessous, en illustration, trois positions de la droite D de même direction :

P Q

H D

d

Q D

H d P

H Q

P

d D

En projection centrale . Les plans Q projetant les différentes droites D passent par le point S ; ils contiennent donc la droite D' passant par S et parallèle

aux droites D ; deux cas sont possibles.

• Soit D' est frontale (c'est le cas où les droites D sont frontales) et les projetées d sont parallèles à D' (donc toutes parallèles entre elles).

Ci-dessous, en illustration, trois positions de la droite D de même direction :

P D

d Q

D'

P D d

Q D'

P D d

Q D'

• Soit D' coupe P en un point A (cas général) ; A est alors un point commun à toutes les projetées.

Ci-dessous, en illustration, trois positions de la droite D de même direction :

K

P d

Q A

D"

D

K P

D d

Q A

D"

K

P d

A Q

D"

D

Remarque : Il se peut, en projection parallèle comme en projection centrale, que les plans projetant deux droites parallèles soient confondus ; auquel cas les projetées sont confondues.

4Cela résulte du théorème "du toit" : si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites parallèles entre elles, l'intersection des plans est une droite parallèle aux deux premières.

RM-09

RM-10

5.2 Cas d’une projetante. Supposons maintenant que l'une des droites D soit une projetante.

En projection parallèle, toutes les droites D sont des projetantes ; chacune a pour projetée un point.

En projection centrale, cette droite est alors la droite D' et se projette selon le point A ; les autres, qui ne sont pas des projetantes, se projettent selon des droites passant par A.

5.3 Résumé.

En perspective parallèle, des droites parallèles entre elles dans l'espace se projettent généralement selon des droites parallèles entre elles ; une exception cependant : dans le cas où la direction des droites est celle des projetantes, chaque droite se projette selon un point.

En perspective centrale, des droites parallèles entre elles dans l'espace se projettent généralement selon des droites concourantes ; il y a exception dans le cas où les droites sont parallèles au plan de projection ; leurs images ont alors la même direction que les droites données.

6 Projeté d'un plan de front

On a déjà dit que toute droite contenue dans un plan de front R (qui ne contient pas S, en projection centrale) était projetée selon une droite qui lui est parallèle. Mais on peut dire plus : si F est une figure contenue dans R dont f est la projetée sur P, on passe de F à f par une transformation géométrique simple.

6.1 En projection parallèle , il s'agit d'une translation et donc f est isométrique à F ; c'est-à-dire que toutes les longueurs sont les mêmes sur F et sur f ; les angles aussi.

On dit souvent que la représentation de F par f se fait "en vraie grandeur". De plus f est orientée de la même façon que F.

R

P F f

6.2 En projection centrale , il s'agit d'une homothétie et donc, selon la position de R, f est une réduction ou un agrandissement de F.

Plus précisément il s'agit d'un agrandissement si le centre de la projection est plus près de R que de P et d'une réduction dans le cas contraire.

Les angles et les rapports de configuration sont conservés.

La figure f est orientée comme la figure F si P et R sont du même côté de S (schéma1).

F f

R P

schéma 1

RM-11 a b

Par contre, f est "à l'envers" si P et R sont de part et d'autre de S ; c'est le cas d'un appareil photographique ou d'un

projecteur de diapositives (schéma 2). P

F R

ob jectif d u pr ojecteu r

f

schéma 2

7 Notions particulières à la perspective centrale 7.1 Point de fuite d'une direction de droite.

Nous avons dit plus haut que des droites de même direction, non frontales, avaient des projetées passant par un même point A, qui est l'intersection avec le plan P de la droite de la direction considérée passant par le centre S de la projection.

Etudions maintenant ce que cela signifie en termes de perspective centrale.

Soit D une droite coupant le plan de projection P au point K et ne passant pas par S.

Notons Q le plan défini par D et S (en sablé sur le dessin). Ce plan coupe P selon la droite d.

Comme plus haut, notons P' le plan de front passant par S. La droite D coupe P' en I.

Les limites pour la représentation

.

Seuls les points du demi-espace de bord P' et contenant P peuvent être représentés dans la perspective centrale de point de vue S et de plan de projection P (car les autres points de l'espace sont derrière le dos de l'observateur placé en S).

Pour la droite D cela signifie que seule la demi- droite d'origine I située en avant de P', c'est-à-dire la demi-droite [IK), peut être représentée

P D

d

Q D"

A

P' S

I

K

M

M

m

Les points proches. En réalité, comme le cadre du dessin est limité, une partie seulement de cette demi-droite est représentée : la demi-droite [M

K)

; car les points du segment [IM

] ont des projetés situés hors du cadre du dessin.

La partie de D représentée sur le dessin est donc contenue dans la demi-droite [M ₁ K). Les projetés des points de D sont des points de d ; M

se projette en m

; K est son propre projeté car il est dans le plan de projection ; le segment [M

K] est représenté sur le dessin par le segment [m

K].

Les points éloignés. Si un point M se déplace sur la demi-droite [M

K), dans le sens de cette demi-droite, au delà du point K, son projeté m se déplace sur la demi-droite [m

K), au delà du point K, dans le sens de cette demi-droite.

5 Ce qui suit est une description du dessin en perspective parallèle ci-contre.

6 Le point M1 de D est le point qui se projette en m1, juste sur la bordure du dessin.

RM-08

Si le point M s'éloigne indéfiniment, sa projetante (SM) pivote autour de S et se rapproche de la parallèle D' à D passant par S : le projeté m de M se rapproche de A. Le point A est ainsi le point du dessin vers lequel tend le point m représentant M, quand M s'éloigne indéfiniment.

Dans le langage de la perspective centrale on utilise une expression imagée : le point A est le point de fuite de la droite D.

Et comme toute droite parallèle à D a le même point de fuite A, on dit aussi que A est le point de fuite de la direction de la droite D.

Remarques :

• Sur notre illustration (faite par commodité en perspective parallèle) nous ne pouvons pas figurer la demi-droite [M

K), mais seulement un segment de cette demi-droite ; par contre le segment [m

A], projeté de cette demi-droite y figure entièrement.

• Dans la figure, le point de fuite A est proche du bord du cadre du dessin ; si ce cadre avait été plus petit ou si la direction de la droite D avait été moins inclinée sur P, le point de fuite aurait pu se trouver en dehors du cadre du dessin ; cela n'empêche pas le point de fuite d'exister, mais complique les constructions géométriques, réalisées dans le plan du dessin, dans lesquelles le point de fuite intervient.

7.2 Point de fuite principal.

Parmi toutes les directions de droites, l'une est particulière car elle ne dépend que de la donnée de P : c'est la direction des droites de bout (perpendiculaires au plan de projction). Le point de fuite correspondant est appelé point de fuite principal ; c'est l'intersection avec P de la perpendiculaire à P passant par S.

Dans une photo (si elle n'a pas été recadrée au tirage) le point de fuite principal est le centre de la photo.

P

princip al

H S

fuyantes

Les droites de bout sont représentées en perspective centrale par des droites passant par le point de fuite principal ; on les appelle des fuyantes. On pourrait qualifier de fuyantes toutes les droites qui ne sont pas frontales, puisqu'elles ont toutes un point de fuite ; mais ce n'est pas l'usage.

Par analogie, en perspective cavalière (mais par abus de langage), on appelle aussi

"fuyantes" les droites de bout.

Les effets de perspective. Le point de fuite principal est important, car c'est sur la perpendiculaire au plan de projection passant par le point de fuite principal que se trouve le point de vue.

Le point de vue est à la fois l'endroit où se trouvait l'œil du dessinateur et l'endroit où le spectateur doit placer son oeil pour retrouver, en regardant le dessin, les mêmes dispositions relatives des divers éléments que dans la réalité représentée par le dessin.

Non seulement le point du tableau en face duquel le spectateur doit placer son œil est déterminé, mais la distance du dessin à laquelle doit se trouver cet oeil est également fixée, car il faut que le champ soit le même pour le dessinateur et pour le spectateur.

RM-17

Si ces conditions ne sont pas remplies, on parle de perspective faussée, d’effet de perspective, de perspective décentrée

…(cf § 10).

7.3 Points de fuite de droites coplanaires

Si des droites sont coplanaires et ne sont pas frontales, leurs parallèles respectives passant par le point de vue S définissent un plan ; ce plan coupe le plan de projection selon une droite sur laquelle se trouvent les points de fuite des droites données.

7.4 Ligne d'horizon.

En particulier, si le plan P de projection est vertical, les points de fuite de toutes les droites horizontales sont alignés sur une droite horizontale ; cette droite passe par le point de fuite principal.

On l'appelle la ligne d'horizon.

P

H S

ligne d'horizon

8 Dessin d'un cube (pour les deux perspectives)

8.1 Mise en place des données. On se propose, en utilisant les propriétés vues précédemment, de construire le projeté d'un cube dont les faces ABCD et A'B'C'D' sont dans des plans de front ; les données sont les points A, B, D, A'. Dans les deux cas, les projections de figures dans des plans de front conservent les angles et les rapports de longueurs si bien que les segments [AB] et [AD] doivent être perpendiculaires et de même longueur (cf § 6); par contre le point A' peut être choisi arbitrairement.

8.2 Le quatrième sommet, dans chacune des deux projections, se construit en terminant le carré ABCD : on trace la parallèle à (AB) passant par D et la parallèle à (AD) passant par B.

8.3 En projection parallèle :

- le point B' est à l'intersection de la parallèle à (AB) passant par A' et de la parallèle à (AA') passant par B ;

- puis le point D' est à l'intersection de la parallèle à (AD) passant par A' et de la parallèle à (AA') passant par D ;

- enfin le point C' est à l'intersection de la parallèle à (AD) passant par B', de la parallèle à (AA') passant par C et de la parallèle à (AB) passant par D'.

A B

D

A'

A A'

D

B C

A A'

D

B C

B'

A A'

D

B C

B' D'

A A'

D

B C

B'

D' C'

A A'

D

B C

B'

D' C'

8.4 En projection centrale , il faut une donnée supplémentaire : le point de fuite O de la droite (AA') ; comme cette droite est une droite de bout, c'est en fait le point de fuite principal. On procède alors comme ci-dessus en remplaçant les droites parallèles à (AA') par des droites passant par O.

7 Les peintres ayant utilisé la perspective centrale, en nous communiquant les informations sur le point de fuite et les points de distance, nous permettent de nous placer à un endroit précis par rapport au tableau. On peut, dans les musées, généralement respecter l'emplacement par rapport aux bords gauche et droit du tableau ainsi que la distance au tableau,plus rarement la hauteur de l'œil. Pour faire des effets de perspective, certains peintres comptent sur la propension du spectateur à se placer en face du centre du tableau.

RM-12

A B D

A'

O

A B

D

A' B'

C O

A' B'

A B

D

O

C D'

A B

D

A' B'

C

D' C'

A B

D

A'

O

B' C

D' C'

8.5 Comparaison des dessins. On superpose les deux dessins en faisant coïncider leurs points A, B, D et A'. L'assemblage obtenu peut être interprété soit comme un dessin en perspective centrale, soit comme un dessin en perspective parallèle.

Les deux illustrations suivantes, ponctuées, montrent des boîtes sans couvercle dont la face ouverte est en avant. Dans chacune des deux figures, les traits du cube sont renforcés.

En perspective centrale on voit, à l'intérieur de la boîte cubique, une boîte en forme de tronc de pyramide dont la petite face est à l'avant.

En perspective cavalière on voit, contenant la boîte cubique, une boîte en forme de tronc de pyramide dont la grande face est à l'avant.

interprétation en perspective centrale interprétation en perspective parallèle

9 Rapport des longueurs de segments d'une même fuyante

9.1 Cas simple. Pour des segments portés par une même droite, le rapport de leurs longueurs est le même dans l'espace et sur le dessin, dans les conditions suivantes:

• en projection parallèle, quelle que soit la droite (si elle n'est pas une projetante) ;

• en projection centrale, seulement si la droite est frontale (parallèle au plan de projection).

9.2 Cas général. Nous allons étudier, de conserve pour les deux projections, le cas des droites perpendiculaires au plan de projection ; en utilisant un carré comme figure auxiliaire.

Nous verrons au § 12 la généralisation de ce procédé.

Supposons que le plan de projection P soit vertical et considérons un carré ABCD horizontal, dont le côté [AB] est contenu dans le plan P. Rappelons que pour toute projection sur P (parallèle ou centrale), chaque point de la droite (AB) coïncide avec son projeté ; les segments de l'espace [AB] et [AD] ont la même longueur.

Mise en place Le premier dessin est fait dans le plan du carré ABCD ; le deuxième dessin est obtenu par une projection parallèle ; et le troisième par une projection centrale : le point O est le point de fuite principal par lequel passent les droites (AD) et (BC).

Soit K un point de la demi-droite [AB) ; on se propose de construire sur chaque dessin le point L de la demi-droite [AD) tel que la longueur AL soit égale à la longueur AK.

RM-13

RM-14

RM-15

A B D C

K A B

C K D

Où est L ?

perspective cavalière

Où est L ?

A B K

C O

D

perspective centrale dessin dans le plan horizontal H dessins dans le plan vertical

Exploitation des propriétés de Thalès. Dans la réalité, puisque les longueurs AB et AD sont égales, on doit placer le point L de façon que les rapports AL/AD et AK/AB soient égaux ; le théorème de Thalès nous donne la solution : on trace la droite (BD) puis la parallèle à (BD) passant par K ; le point L est l'intersection de cette dernière droite avec la demi-droite [AD). Nous effectuons cette construction pour les deux projections.

En projection parallèle, les projetées des droites (BD) et (KL) sont encore parallèles ; cela revient à appliquer le théorème de Thalès directement au dessin.

En projection centrale, les projetées des droites (BD) et (KL) se coupent au point de fuite Q de cette direction ; Q s'obtient comme intersection de la ligne d'horizon avec la droite (BD) car le point de fuite de toute droite horizontale est sur la ligne d'horizon. Le point L est alors l'intersection des droites (QK) et (OA).

D C

K L

C

K L

D

C

K L

Q O

D ligne d'horizo n

perspective cavalière perspective centrale dessin dans le plan horizontal dessins dans le plan vertical

9.3 Remarques :

• Une construction analogue, dans un ordre différent, permet de construire le point K à partir du point L et donc de "mesurer" un segment de la droite (AD) à partir de son projeté.

• En projection parallèle, il n'est pas nécessaire de faire une construction : si on connaît la longueur réelle d'un segment on peut par un simple calcul de proportionnalité obtenir la longueur réelle de tout segment qui lui est parallèle dans l'espace à partir des mesures effectuées sur le dessin ; en effet le rapport des longueurs de deux segments parallèles de l'espace est égal au rapport des longueurs des segments projetés. C'est une des raisons qui justifient l'utilisation privilégiée de la perspective cavalière en mathématiques.

RM-16

10 Points de distance (perspective centrale) 10.1 Construction. Considérons, comme au paragraphe 9, le plan H horizontal passant par le point de vue S ; il contient la ligne d'horizon et en particulier le point de fuite principal O et le point Q, point de fuite des droites horizontales parallèles à (BD).

Sur le dessin, fait dans le plan horizontal H, nous avons représenté aussi un carré A'B'C'D' (analogue au carré ABCD du paragraphe 9).

Les triangles OQS et C'D'B' ont leurs côtés respectivement parallèles, donc le triangle OQS est rectangle en O et isocèle comme le triangle C'D'B'.

L'information importante que nous venons d'obtenir est que la longueur OQ est égale à SO, la distance du point de vue S au plan de projection P.

A' B'

C' Q O

D'

S

C'est pourquoi le point Q est appelé point de distance.

10.2 Remarques :

• Deux points de distance. Il existe évidemment un deuxième point de distance Q', symétrique de Q par rapport à O.

• Le cercle des points de distance. On peut faire la même construction dans tout plan perpendiculaire au plan de projection P passant par S, c'est-à-dire contenant la droite (SO).

Dans chacun de ces plans il y a deux points de distance ; l'ensemble des points de distance est le cercle du plan de projection dont le centre est le point de fuite principal et le rayon la distance du point de vue au plan de projection. Quand on ne précise pas, l'expression « points de distance » désigne les deux points de ce cercle qui sont sur la ligne d'horizon.

• Choix de base. Pour faire un dessin en perspective centrale, le choix des deux points de distance ou, ce qui revient au même, le choix du point de fuite principal et d'un point de distance, permet par des constructions géométriques de déterminer le projeté de tout point de l'espace dont on connaît l'emplacement par rapport au plan de projection. Ces constructions (empiriques ou rationnelles) étaient des secrets de fabrications propres à chaque atelier de la peinture italienne du Quattrocento (cf ci-dessous la construction d'un pavage).

• Position du spectateur. Il résulte de tout ceci qu'un dessin en perspective centrale (ou une photographie) doit être regardé d'un point précis pour que l'impression visuelle soit conforme à la réalité.

Par exemple une photographie, dont le négatif est de format 24 mm / 36 mm, prise avec un objectif de distance focale 50 mm et agrandie au format 12 cm / 18 cm, doit être regardée depuis le point situé à 25 cm sur la perpendiculaire au plan de la photographie passant par le centre de celle-ci.

Si le format, l'agrandissement et la manière de regarder restent identiques, mais si l'objectif de prise de vue a une focale de 100 mm (téléobjectif), on aura une impression d'"écrasement de la perspective" en regardant la photo. Au cinéma, dans les mêmes conditions, on aura l'impression que quelqu'un courant vers la caméra fait du surplace.

RM-17

11 Construction d'un pavage régulier (perspective centrale) 11.1 A partir du point de fuite principal et d'un point de distance.

point de fuite principal point de distance

11.2 A partir de deux points de distance.

point de distance point de distance point de fuite principal

RM-18

RM-19

12 Comparaison des longueurs de segments portés par la même droite

(perspective centrale)

12.1 Problème Soit A et B deux points de l'espace et un point M de la demi-droite [AB). Le problème est :

• connaissant le rapport x de la longueur AM à la longueur AB, représenter le point M quand les représentants des points A et B sont déjà placés sur le dessin ;

• et inversement trouver le rapport x des longueurs réelles si les représentant des points A, B et M sont placés sur le dessin.

A B

I

M

AM AB = x

12.2 Conditions. Nous avons vu qu'en perspective cavalière, le problème est simple car le rapport des longueurs de segments parallèles est le même en réalité et sur le dessin.

Nous avons résolu ce problème en perspective centrale dans le cas particulier de points portés par une fuyante (§ 9), en utilisant une droite de front. En fait la méthode utilisée comporte plus de souplesse qu'il n'y paraît a priori. Mais il faut de toute façon connaître le point de fuite de la droite (AB) ; notons le I.

12.3 Construction. Nous allons montrer que, même en ne connaissant ni point de fuite principal, ni les points de distance, on peut construire le point M (du dessin) connaissant x et, inversement, trouver le rapport x des longueurs réelles si le point M (du dessin) est donné.

a Le rapport x est donné. Sur le dessin traçons une droite quelconque passant par A. Cette droite dessinée peut représenter une infinité de droites de l'espace. Décidons qu'elle représente la droite de front passant par A

Les rapports des longueurs des segments portés par cette droite sont les mêmes en réalité et sur le dessin.

Choisissons un point C et construisons le point N tel que AN / AC = x.

Dans l'espace les deux droites (AB) et (AC) déterminent un plan Q. La ligne de fuite de ce plan Q est la droite d' du plan de projection qui contient tous les points de fuite des droites contenues dans Q ; elle est l'analogue pour le plan Q de la ligne d'horizon pour un plan horizontal. Dans l'espace, on construirait d' comme intersection avec le plan de projection du plan parallèle à Q passant par le point de vue. Mais on peut directement construire d' sur le dessin car elle est parallèle à d et passe par le point de fuite I de la droite (AB).

Le point de fuite de la droite (BC) du plan Q est l'intersection J de (BC) avec la droite d'.

Toute droite de l'espace parallèle à (BC) est représentée par une droite passant par J.

En particulier, dans l'espace, la parallèle à (BC) passant par N coupe (AB) en M tel que : AM / AB = x (propriété de Thalès). L'image du point M sur le dessin est donc l'intersection des droites (JN) et (AB).

B

C N I

d

A

B

C N I J

M

d d'

A

RM-20 a b

b Inversement, si le point M est donné, après avoir construit le point J, on obtient le point N à partir du point M par intersection de [JM) et (AC).

Les figures ci-contre illustrent le fait que le point M obtenu est indépendant du choix de la droite (AC) et de la longueur AC, et ne dépend que du rapport x.

Sur ces figures, le rapport x est égal à 2.

A B

C N

J I

M

A B C N

M J I

Cette dernière figure illustre le rôle du point de fuite : sur le dessin, les points A, B et M sont inchangés, mais on a remplacé le point de fuite I par le point I' (et donc changé de droite et de points dans l'espace) le point N est remplacé par N' et le rapport x des longueurs aussi a changé ; il est

maintenant 2,9. _A ^C

B J I'

M N'

12.4 Remarque :

On peut aussi procéder par le calcul. Notons d la longueur AI et t le rapport

AI

AB (sur le dessin) ; alors on démontre que la longueur AM sur le dessin est :

x × d x + t − 1 ^.

L'activité Recherche de la longueur d'une façade, met en oeuvre les constructions précédentes. Voir …

13 Représentation d'un objet par plusieurs projections

Quand on représente un objet par un dessin, quel que soit le mode de projection utilisé, un point du dessin est susceptible de représenter n'importe quel point de l'espace situé sur la projetante passant par ce point. En l'absence d'indication contraire, le point du dessin représente en perspective centrale le point de l'objet visible ou en perspective cavalière le point de l'objet en avant. Les points situés en arrière ne sont pas représentés sauf à l'aide de conventions explicites telles que les pointillés.

Quand l'objet est simple et familier, une légende permet de donner des informations complémentaires suffisantes ; par exemple : ce dessin représente un cube.

Pour un objet plus complexe, on recourt souvent à un ensemble de dessins coordonnés.

13.1 Les trois vues de la technologie.

En technologie, on utilise le système de trois vues

: de dessus, de face et de côté.

On utilise des projections orthogonales sur des plans de projection respectivement horizontal, frontal et de bout, puis on rabat les plans horizontal et de bout sur le plan fronta

. Bien souvent, on déplace la vue de côté à droite de la vue de face ; on peut en fait disposer ces trois vues comme bon semble.

8 Deux vues suffiraient ; mais la troisième vue facilite la recherche de la correspondance entre les deux premières

9 Ce système est souvent complété à l'aide de coupes par des plans horizontaux, frontaux ou de bout. De plus tout un ensemble de conventions permet d'apporter des informations sur la nature des surfaces ou des arêtes de l'objet.

plan de front (ou de face)

plan horizontal vue de dessus

vue de face

vue de cote

plan de bout (ou de cote)

plan de front (ou de face)

plan hori zontal rabattu pl an de bout

rabattu

vue de dessus vue de face vue d e cote

Voici deux exemples géométriques :

vue de face vue de côté

vue de dessus

● Dans le premier exemple, il s'agit de deux sphères dont les centres sont dans un même plan horizontal.

● Le deuxième exemple est un objet que nous appelons "pointe" car il a la forme de la pointe de certains gros feutres destinés à produire des traits épais : on obtient un tel objet à partir d'un cylindre (de révolution) en coupant par deux plans en biais symétriques par rapport à l'axe du cylindre et un plan de section droite.

13.2 La géométrie descriptive.

En réalité deux vues suffisent pour avoir toutes les informations sur les points de l'espace - leur position par rapport au repère constitué par les deux plans - à condition de savoir comment les points des deux vues sont appariés.

Quand on choisit le plan frontal et le plan horizontal dont l'intersection est appelée la ligne de terre, on obtient la géométrie descriptive, théorisée par Gaspar Monge à la fin du XVIIIème siècle.

Les deux projetés d'un point de l'espace sont situés sur une droite perpendiculaire à la ligne de terre, appelée la ligne de rappel du point ; cette ligne de rappel est en fait l'intersection du plan de bout passant par le point avec les deux plans du repère, horizontal et frontal.

lignes de rappel

Ligne de terre

RM-23 a b RM-24 RM-25

RM-26

13.3 Utilisation dans les illustrations de cette brochure.

Dans un certain nombre des animations Cabri qui accompagnent cette brochure, le dessin principal, qui est presque partout une projection parallèle (souvent non orthogonale) sur un plan de front, est accompagné d'un dessin explicatif plus petit ; ce dernier dessin est tantôt une vue de dessus tantôt une vue de côté.

13.4 La boîte à lettres.

On offre souvent aux jeunes enfants une "boîte à lettres", boîte cubique dont chaque face est percée d'un trou ; chaque trou a la forme de la section droite d'un prisme qui peut ainsi être poussé à l'intérieur de la boîte.

Un même objet "pointe" peut passer par trois trous différents : un rectangle, un disque et un triangle isocèle.

Ces trois figures sont les contours apparents de la pointe dans les trois directions privilégiées de cet objet (cf § 14).

14 Contour apparent et forme d'une image

14.1 Regard - Projection centrale. Quand on regarde un objet ou qu'on le photographie, l'image qui se forme sur la rétine ou la plaque photographique dépend évidemment des conditions extérieures. La physique nous apprend que, si le milieu est optiquement homogène, les trajets lumineux sont rectilignes ; c'est le cas usuel dans lequel nous nous plaçons (pas d'effet de mirage, pas de surface déformante). Les rayons lumineux sont des droites qui passent par le centre optique de l'oeil ou de l'appareil photographique et sont dirigés vers la rétine ou la plaque.

Relativement à l'objet, les rayons lumineux sont de trois sortes : - les rayons qui passent au coeur de l'objet ;

- les rayons qui ne rencontrent pas l'objet ;

- les rayons intermédiaires qui rasent l'objet ; les points de l'objet par lesquels passent ces droites sont les points du contour apparent et leurs points d'impact avec la rétine ou la plaque donnent la forme extérieure de l'image de l'objet. En termes mathématiques : les droites qui

"rasent" l'objet sont les tangentes à l'objet passant par le point de vue ; elles forment un cône, qui a pour sommet le point de vue et qui est tangent à l'objet ; le contour apparent est la courbe de contact du cône avec l'objet. L'image de l'objet

est l'intersection de ce cône avec le plan de projection, plaque ou rétine.

Exemple : contour apparent d'une sphère en projection centrale .

● Tout cône tangent à une sphère est un cône de révolution et le contour apparent est un cercle. Si le regard se porte vers le centre d'une sphère, l'axe du cône est perpendiculaire à la rétine et l'image du contour apparent est un cercle.

On obtient aussi un cercle sur la plaque photographique

quand la photographie est centrée sur la sphère

.

au coeur de l'objet

rayon qui ne rencontre pas l'objet plaque

rayon intermediaire rasant l'objet

10 plus exactement le contour extérieur, la silhouette de cette image

11 Le dessin ci-contre est fait en projection orthogonale. La sphère est représentée par le disque grisé, mais la partie visible de la sphère, depuis le point de vue, est la partie blanche limitée par le contour apparent, un cercle de l'espace ; ce cercle est représenté par une ellipse sur le dessin, tout comme son image circulaire sur la plaque, car ces deux cercles sont dans des plans parallèles entre eux, en biais par rapport au plan du dessin.

RM-27 a b c

RM-29 RM-28

● Mais si la sphère est dans un coin de la photographie, l'intersection du cône de révolution avec le plan de la plaque est une ellipse dont l'excentricité augmente avec la distance au centre de la photo.

Cette excentricité ne devient vraiment perceptible que pour des objectifs grand- angulaires.

14.2 Projection parallèle.

On parle aussi de contour apparent dans le cas d'une projection parallèle, alors qu'il n'y a plus de point de vue. Les projetantes sont parallèles entre elles ; celles qui rasent l'objet forment un cylindre dont la courbe de contact avec l'objet est le contour apparent. L'image, contour extérieur de l'objet, est l'intersection de ce cylindre avec le plan de projection.

Exemple : contour apparent d'une sphère en projection parallèle.

Tout cylindre tangent à une sphère est un cylindre de révolution et la courbe de contact est un grand cercle ; c'est-à-dire que, pour une projection parallèle, le contour apparent est un grand cercle de la sphère.

L'intersection d'un cylindre de révolution avec un plan est une ellipse en général, un cercle si le plan est perpendiculaire aux génératrices du cylindre.

Donc dans une perspective parallèle non orthogonale le contour extérieur d'une sphère est une ellipse.

Une sphère n'est représentée par un cercle que dans le cas d'une projection orthogonale. Le rayon du cercle est alors égal au rayon de la sphère.

Pour une perspective cavalière, on retrouve le diamètre de la sphère dans le petit axe de l'ellipse.

contour apparent

perspective projection cavalière orthogonale

14.3 Ombre ou dessin.

Le concept de contour apparent s'applique également aux ombres portées et aux dessins par projection.

- Dans le cas de l'ombre au flambeau

, ombre portée par une source lumineuse ponctuelle (à distance finie), les points du contour apparent sont les points de l'objet effleurés par les rayons lumineux qui proviennent de la source.

- Dans le cas de l'ombre au soleil, comme le soleil est très loin, on peut considérer que les rayons solaires sont parallèles.

Dans les deux cas, les rayons rasant l'objet délimitent l'ombre.

RM-31

A titre d'illustrations voici quelques ombres d'un cube.

Certaines sont des ombres au flambeau ; les autres des ombres au soleil.

Ces dernières se repèrent au fait que les segments qui les bordent sont deux à deux parallèles et de même longueur.

14.4 Pénombre. En fait une source lumineuse n'est jamais vraiment ponctuelle ; il en est de même pour le soleil, qui est vu sous un angle d'un demi degré environ. Il en résulte que, dans les deux cas, la limite de l'ombre n'est pas franche mais dégradée : il y a un phénomène de pénombre.

- La projection centrale modélise le regard, la prise de photo ou l'ombre au flambeau (source ponctuelle) ; la projection parallèle modélise l'ombre au soleil.

14.5 En résumé

Le contour apparent dépend du point de vue ou de la source lumineuse ponctuelle dans le cas d'une projection centrale ; il dépend de la direction des projetantes ou des rayons lumineux dans le cas d'une projection parallèle. Le contour apparent est l'ensemble des points de l'objet de l'espace dont les projetés déterminent la silhouette de l'image de l'objet ; d'où son nom.

15 Conclusion : les difficultés des représentations et les solutions examinées ici.

Les procédés mathématiques de représentation de l'espace sur un plan se heurtent, comme toute représentation, au problème de la perte d'information qui fait que tout point dessiné est susceptible de représenter une infinité de points de l'espace. Une figure donnée est déterminée par un certain nombre de points "directeurs" (comme par exemple les extrémités d'un segment, qui déterminent entièrement ce segment). Mais ces points peuvent se masquer les uns les autres ou se fondre dans un trait qui leur est étranger.

Pour reconnaître dans un dessin une figure mathématique de l'espace il faut s'appuyer sur des informations supplémentaires qui peuvent être implicites, données par un texte ou par un dessin auxiliaire.

Dans les animations de ce chapitre nous utilisons très souvent un dessin auxiliaire en projection parallèle, éventuellement orthogonale, et un texte explicatif sous forme de notice.

Une fois que les informations indispensables sont connues, il est possible, aussi bien en projection centrale qu'en projection parallèle, d'effectuer sur le dessin de nouvelles constructions ; elles sont généralement plus simples en projection parallèle qu'en projection centrale, avec laquelle en outre on déborde rapidement des limites de la feuille.

RM-32 a b

Toute question sur la figure de l'espace se transforme en une question sur la figure plane correspondante, matérialisée par le dessin.

Deux documents coordonnés, c'est-à-dire pour lesquels la correspondance entre les points est indiquée, et qui représentent le même objet de l'espace selon des projections différentes, suffisent en principe pour connaître cet objet.

Dans les disciplines à caractère scientifique, les procédés de coordination sont variés.

Citons :

● En cartographie, on utilise maintenant deux projections centrales sur le même plan de projection mais de centres différents, à partir desquelles on constitue une carte cotée (avec des lignes de niveau)

● En technologie, on utilise trois vues qui sont des projections orthogonales sur trois plans perpendiculaires deux à deux.

● En géométrie descriptive, on utilise deux projections orthogonales sur un plan frontal et un plan horizontal, qui est rabattu sur le plan frontal. C'est le procédé le plus efficace pour résoudre des problèmes de géométrie de l'espace. On l'a souvent utilisé dans les animations de cette brochure, en cachant le dessin sur le plan horizontal.

● En architecture, on a longtemps utilisé une élévation (vue frontale en perspective centrale) associée à un plan "géométral" (plan horizontal dans lequel on utilisait le plan de l'édifice)

.

En peinture, la recherche de la fidélité à la réalité a conduit à la maîtrise de la perspective centrale, issue de l'architecture. Ensuite cette perspective, par des choix inhabituels des paramètres, a été utilisée de manière ludique dans les anamorphoses ou les trompe l'œil. D'autres anamorphoses utilisent des projections sur des surfaces qui ne sont pas planes ; le plus souvent cylindre de révolution ou sphère

Mais actuellement, l'aspect mathématique de la représentation n'est plus la préoccupation des peintres, mis à part les dessinateurs de BD.

13 Un travail de longue haleine de cartographie complète de la planète Terre est en train de s'achever. A partir de prises de vues effectuées par une navette spatiale les cartes obtenues ont une précision en altitude de l'ordre de 5 mètres et permettront de situer les endroits les plus exposés à la montée du niveau des océans, consécutive à la fonte des banquises.

14 Les constructions fastidieuses correspondantes sont maintenant effectuées par ordinateur, qui n'affiche que le résultat.