Examen du 8 juin 2010
Module LM346 - Dur´ee: 2h Le polycopi´e est autoris´e.
La calculatrice et tout autre document que le polycopi´e sont interdits.
Les deux exercices sont ind´ependants.
Exercice I. Fixons trois param`etres k, λ >0 et θ ∈ R, et soit X une variable al´eatoire
`
a densit´e f donn´ee par f(x) = kλ x−θλ k−1
e−(x−θλ )k1[θ,+∞[(x). Dans la suite, on note Γ :]0,+∞[→R la fonction Gamma d’Euler, d´efinie par Γ(x) = R+∞
0 e−ttx−1dt.
1. Montrer que E[X] =λΓ(1 + 1/k) +θ et Var[X] =λ2Γ(1 + 2/k)− λΓ(1 + 1/k)2
. 2. Proposer une mani`ere de simuler X en utilisant la m´ethode de la fonction de
r´epartition inverse.
3. Quelle est la loi (classique) de Y = 2 X−θλ k
?
4. Calculer Γ(1/2) de mani`ere exacte. (On pourra se ramener `a l’int´egrale de la densit´e gaussienne.)
Dans la fin de l’exercice, on fait comme si la valeur exacte de Γ(1/2) ´etait impossible
`
a calculer explicitement, et on s’int´eresse `a son calcul num´erique par une m´ethode de Monte-Carlo. `A partir de maintenant, on fixe θ= 0, λ= 1 et k= 2.
5. Montrer que Γ(1/2) = 2E[X] et que Var[X] ≤ 1. (On pourra utiliser, sans le red´emontrer, que Γ(1) = 1 et que Γ(x+ 1) =xΓ(x) pour tout x >0.)
6. Proposer une m´ethode de Monte-Carlo pour calculer Γ(1/2), qui reposera sur l’utilisa- tion d’un ´echantillon de taille n de X, et qui fournira un r´esultat `a au moins 95%
de certitude.
Exercice II. On consid`ere quatre boules num´erot´ees de 1 `a 4, r´eparties en deux urnesA et B. `A chaque instant, on tire un nombre k au hasard entre 1 et 4, on enl`eve la boule num´ero k de l’urne dans laquelle elle se trouve, et on la remet au hasard dans l’une des deux urnes. On noteXn le nombre de boules dans l’urne A `a l’instant n.
1. Justifier succinctement le fait que (Xn) est une chaˆıne de Markov.
2. Donner la matrice et le graphe de transition de (Xn).
3. La chaˆıne est-elle irr´eductible? ap´eriodique?
4. D´eterminer la (les) probabilit´e(s) invariante(s) de la chaˆıne. (On rappelle que “prob- abilit´e invariante” et “probabilit´e stationnaire” sont deux expressions parfaitement synonymes.)
5. On commence avec l’urne A vide. Au bout d’un temps n suppos´e assez grand (autrement dit, on fait comme si n = ∞), on observe le nombre de boules dans l’urneA. Quelle est la probabilit´e que ce nombre soit `a la fois pair et non nul?
6. On commence avec l’urne A pleine. Montrer que la proportion du temps o`u il y a strictement moins de boules dans l’urne A que dans l’urne B converge vers 5/16 quand le temps d’observationn tend vers l’infini.
