Feuille de TD n˚4 bis
MP Clemenceau Octobre 2020
Exercice 1 :SoitGun ensemble fini muni d’une loi de composition interne∗, associative et telle que tous les
´
el´ements sont r´eguliers.
Montrer que (G,∗) est un groupe.
Exercice 2 :SoitE=]−1,1[. On d´efinit la loi∗par
∀(x, y)∈E2 x∗y= x+y 1 +xy Montrer que (E,∗) est un groupe ab´elien isomorphe `a (IR,+).
Exercice 3 :Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Pour tout entieratrouver l’ordre deadans (Z/nZ,+).
Exercice 4 :Soit (G, .) un groupe. On consid`ereaetb deux ´el´ements deGd’ordres respectifspet q.
1) On suppose queaetbcommutent et que p∧q= 1. Montrer que abest d’ordrepq.
2) On suppose encore queaet bcommutent.
a) Montrer que sidest un diviseur dep, il existe un ´el´ement d’ordred.
b) Montrer qu’il existe un ´el´ement d’ordrep∨q.
3) a) On ne suppose plusp∧q= 1. Montrer queabn’est pas n´ecessairement d’ordrepq, ni d’ordrep∨q.
b) Dans (Gl2(IR),×), on consid`ereA =
0 −1
1 0
et B =
0 1
−1 −1
. Montrer que A et B sont d’ordres finis premiers entre eux, mais queAB est d’ordre infini.
Exercice 5 :Soit (G, .) un groupe ab´elien d’ordrepq, o`upet qsont deux nombres premiers distincts.
1) Montrer queGest cyclique.
2) Donner un exemple dans lequel ce r´esultat peut tomber en d´efaut si l’on ne suppose pas que Gest ab´elien.
Exercice 6 :Soit (G, .) un groupe d’ordre 2p, avecppremier.
Montrer queGcontient un ´el´ement d’ordrep.
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