Optimisation Universit´e de Nice
L3 MASS Ann´ee 2013-2014
Feuille de TD 4
Exercice 1 - On consid`ere la fonction J(x1, x2) = 3x1 +x2 sur l’ensemble K d´efini par les deux contraintes
F1(x1, x2) =x21+x22−1≤0, F2(x1, x2) =−x1+x22 ≤0.
1. Repr´esenter l’ensemble K.
2. En quels points deK est-ce que les contraintes sont qualifi´ees ?
3. V´erifier que les 3 fonctionsJ, F1, F2sont convexes et en d´eduire par le th´eor`eme de Kuhn-Tucker que J admet un minimum global.
4. D´eterminer ce minimum.
5. Y a-t-il un maximum local/global ?
Exercice 2 - On consid`ere la fonction J(x1, x2) = −x1 −x2 sur l’ensemble K d´efini par les deux contraintes
F1(x1, x2) =x2− 2 x1
≤0, F2(x1, x2) = 2x1+x2−5≤0.
1. Repr´esenter l’ensemble K.
2. En quels points deK est-ce que les contraintes sont qualifi´ees ? 3. Est-ce que les fonctions J, F1, F2 sont convexes ?
4. D´eterminer le minimum deJ sur l’ensembleK.
Exercice 3 - On consid`ere la fonction J(x1, x2) = −x1 −x2 sur l’ensemble K d´efini par les deux contraintes
F1(x1, x2) =x2≤0, F2(x1, x2) =−x31+x2≤0.
1. Repr´esenter l’ensemble K. Est-il born´e ?
2. En quels points deK est-ce que les contraintes sont qualifi´ees ? 3. D´eterminer le minimum deJ sur l’ensembleK.
4. Est-ce que au point o`uJ atteint un minimum les contraintes sont qualifi´ees ?
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