Université de Bordeaux I – 2011/12 N1MA4M11
Feuille de TD n o 4
Classes et théorème de Lagrange
Exercice 1 nombres de Mersenne.
Soitn un entier supérieur à3.
1. Montrer que si 2n−1 est premier, alorsn l’est aussi.
2. Supposons npremier. Soit pun diviseur premier de2n−1. Prouver que 2ndivise p−1.
Indication : on pourra considérer l’ordre de2 dans le groupe(Z/pZ)?. 3. L’entier npeut-il être premier sans que 2n−1le soit ?
Exercice 2
SoitH ={σ ∈Sn, σ(n) =n}.
1. Montrer queH est un sous-groupe deSn.
2. Trouver un ensembleT tel queSn soit l’union disjointe des Hxpour x∈T.
Exercice 3
1. On note GL(2,Z) les matrices 2×2 à coefficients entiers inversibles (dont les coefficients de l’inverse sont entiers). SoitA∈GL(2,Z), que peut-on dire de detA?
2. On note SL(2,Z) les matrices de GL(2,Z) de déterminant1. Déterminer[GL(2,Z) :SL(2,Z)].
Sous-groupes distingués et quotients
Exercice 4
SoientG=S3,σ= 1 2
etτ = 1 2 3 .
1. Donner l’ordre deσ et de τ. Montrer queσ etτ engendrentG.
2. Soit H le sous-groupe de Gengendré parτ, montrer que H est distingué dansG.
Exercice 5
SoientGun groupe et H un sous-groupe d’indice2 dansG. Montrer queH est distingué dansG.
Exercice 6
SoientGun groupe et N un sous-groupe distingué deG.
1. Soit H un sous-groupe de G. Montrer queHN est un sous-groupe deG.
2. On suppose désormais que Gest fini, que les ordres de N etG/N sont premiers entre eux et queH a même ordre queG/N. Montrer que G=HN.
3. Soit f un endomorphisme de G. Montrer que f(N)⊆N.
Exercice 7 SoientG=
x−1 0
y x
, x∈C∗, y∈C
etH=
1 0
y 1
, y∈C
. 1. Vérifier queG est un groupe.
2. Montrer queH est un sous-groupe distingué deG.
3. Prouver que les groupesG/H etC∗ sont isomorphes.
Exercice 8
Soit(G,·) un groupe. On définit le centre de GcommeZ(G) ={a∈G, ∀x∈G, ax=xa}.
1. Montrer que(Z(G),·) est un groupe abélien.
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2. On définit une applicationide (G,·) dans(Aut(G),◦) de la manière suivante : sia∈G, alors
i(a) :
G −→ G
x 7−→ axa−1 .
Montrer que i est bien définie, que c’est un morphisme de groupes. L’image de i notée Int(G) est le groupe des automorphismes intérieurs deG.
3. Montrer queZ(G) est un sous-groupe distingué deG.
4. Trouver une réalisation pratique du quotient(G/Z(G),·).
5. Ce groupe quotient est-il toujours abélien ?
6. Soit (H,·) un sous-groupe de (G,·) contenu dans (Z(G),·). Montrer que si le groupe quotient(G/H,·) est monogène, alors(G,·) est abélien.
7. Déterminer le centre de S3.
Exercice 9
Soit(G,·) un groupe. Pourg1 etg2 appartenant àG, on définit leur commutateur par [g1, g2] =g1g2g−11 g−12 .
Soit(D(G),·) le groupe endendré par les commutateurs deG. On l’appelle groupe dérivé deG.
1. Montrer que(D(G),·) est un sous-groupe distingué de(G,·).
2. Soit (H,·) un sous-groupe de(G,·). Montrer que
(H est distingué dansGetG/H est abélien)⇐⇒(H⊇D(G)).
3. DéterminerD(S3).
Exercice 10
SoientGetH des groupes, et f :G−→H un morphisme de groupes.
1. Montrer que si Lest un sous-groupe distingué de H, alorsf−1(L) est un sous-groupe distingué deG.
2. Montrer que si K est un sous-groupe distingué deGetf est surjective, alorsf(K) est un sous-groupe distingué deH. Qu’en est-il sif n’est pas surjective ?
3. Soit aun élément d’ordre2 deG. Montrer quehai est un sous-groupe distingué deGsi et seulement si aest dans le centre deG.
4. En déduire quehτ1,2i n’est pas un sous-groupe distingué de(S3,◦).
Exercice 11 normalisateur.
SoientGun groupe et H un sous-groupe deG. On note N l’ensemble desg∈Gtels quegHg−1=H.
1. Vérifier queN est un sous-groupe deG contenantH et queH est distingué dansN.
2. Soit K un sous-groupe deGcontenantH. Montrer que K⊆N si et seulement siH est distingué dans K.
Exercice 12
Soient d ∈ N? et G un groupe fini. On désigne par X l’ensemble des g ∈ G tels que gd = 1. Soit H un sous-groupe distingué deG.
1. La partieX est-elle un sous-groupe deG?
2. Montrer que si [G:H]etdsont premiers entre eux, alors X ⊆H.
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