Dérivation et convexité Feuille 21

Dérivation et convexité Feuille 21

Exercice21.1

Déterminer le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et la dérivée de la fonctionf dans chacun des cas suivants :

f(x) =√

4x²−1, f(x) =

…x+ 1

x−1, f(x) =|lnx|, f(x) = cos(√

x)etf(x) =x|x|.

Exercice21.2

Étudier les suites(x_n)de réels vérifiant :∀n∈N, x_n+1=x_n−x²_n.

Exercice21.3

Étudier les suites(x_n)de réels vérifiant la relation, pour toutn∈N, x_n+1 = e^xn.

Exercice21.4

SoitI un intervalle d’intérieur non vide etf une application deI dansR^∗+. On dit quef estlog-convexe si et seulement siln◦fest convexe.

Montrer que sif estlog-convexe, alors elle est convexe.

La réciproque est-elle vraie?

Exercice21.5

Déterminer les applications deRdansRconvexes et bornées.

Exercice21.6

Étudier les suites(x_n)vérifiant la relation de récurrence suivante :

∀n∈N, xn+1 = 1 2

Å

xn+ a² xn

ã ,

oùa >0.

Exercice21.7

On considère une suite réelle vérifiant :u₀∈R^∗, et pour toutn∈N, u_n+1=f(u_n), oùf(x) = 1 + 1 4sin1

x. 1. En notantI =

ï3 4, 5

4 ò

, montrer quef(I)⊂I.

En déduire qu’il existe`∈Itel quef(`) =`.

2. Montrer que, pour toutx∈I,|f⁰(x)| ≤ 4

9. En déduire queu_n−−−−−→

n→+∞ `.

Exercice21.8

Soitf une application continue deRdansC. Pourt∈R^∗on poseg(t) = 1 t

Z t

0

f(x) dx.

Montrer quegest prolongeable par continuité en0. SifestC¹, montrer quegest dérivable et déterminer sa dérivée.

Exercice21.9

Soit(u_n)une suite définie par :u₀= 1etu_n+1=u_n1 + 2u_n

1 + 3u_n.Étudier(u_n)et donner un équivalent.

Exercice21.10

Soitf une fonction définie sur un intervalleI et à valeurs dansRet soita∈R.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE XXI - DÉRIVATION ET CONVEXITÉ

1. On suppose quef est strictement convexe surI.

Démontrer que l’équationf(x) =aadmet au plus deux solutions.

2. On suppose seulement quef est convexe surI. Que peut-on dire de l’ensemble des solutions de l’équation f(x) =a?

Exercice21.11

Théorème de Darboux

Soitf une application deI dansR, oùI désigne un intervalle inclus dansRd’intérieur non vide. On suppose quef est dérivable surI.

1. Soit(a, b)∈I². On suppose quef⁰(a)<0et quef⁰(b)>0.Montrer qu’il existec∈]a, b[tel quef⁰(c) = 0.

2. Montrer quef⁰(I)est un intervalle (c’est le théorème de Darboux).

Exercice21.12

Étudier les suites telles que :x_n+1 =√ 2−x_n

Exercice21.13

Soita, b∈Raveca < betf une application de classeCⁿ⁺¹ de[a, b]dansR.Soitx₀ ∈[a, b]. Montrer que le reste de Taylor à l’ordrendef enx0 est égal à

Z x

x0

Z tn+1

x0

· · · Z t2

x0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t1) dt1dt2. . .dtn+1.

Exercice21.14

1. Théorème des accroissements finis généralisé

Soientfetgdeux applications de[a, b]dansR, continues sur[a, b]et dérivables sur]a, b[. Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que

f(b)−f(a) f⁰(c) g(b)−g(a) g⁰(c)

= 0.

2. Règle de l’Hôpital.

SoitIun intervalle deRd’intérieur non vide eta∈I. Soientf etgdeux applications deIdansRcontinues sur I et dérivables sur I\{a}. On suppose que f(a) = g(a) = 0 et qu’il existeV ∈ V(a) tel que ∀t ∈ V ∩(I\{a}), g⁰(t)6= 0.

Montrer que s’il existe`∈Rtel que f⁰(t) g⁰(t) −−→

t→at6=a

`alorsf(t) g(t) −−→

t→at6=a

`.

Exercice21.15

Étudier les suites réelles(un)vérifiant :un+1= 1−u²_n

Exercice21.16

Soitf:I −→Rune application de classeC^∞, oùIest un intervalle deRd’intérieur non vide. On suppose qu’il existek∈Ntel que, pour toutt∈I, f^(2k+1)(t)≥0.

Pour touta∈I etx∈I, on poseT_a(x) =

2k

X

h=0

(x−a)^h

h! f^(h)(a).

Montrer que pour touta, a⁰∈Iaveca < a⁰, T_a⁰ −Taest convexe surI.

Exercice21.17

1. Déterminer l’ensemble des applicationsf :R−→R, dérivables en0et telles que, pour toutx∈R, f(2x) = 2f(x).

2. Déterminer l’ensemble des applicationsf :R−→R, dérivables en0et telles que, pour toutx∈R, f(2x) = f(x)².

Exercice21.18

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

FEUILLE XXI - DÉRIVATION ET CONVEXITÉ

1. Soitx₁, . . . , x_n∈R^∗+.Montrer que :

1 +

n

Y

k=1

x_k

!¹_n

≤

n

Y

k=1

(1 +x_k)¹ⁿ

2. Soita1, . . . , an, b1, . . . , bn∈R^∗₊.Montrer que :

n

Y

k=1

a_k

!_n¹ +

n

Y

k=1

b_k

!_n¹

≤

n

Y

k=1

(a_k+b_k)ⁿ¹

Exercice21.19

Soitf une application continue deRdansRtelle que :

∀(x, y)∈R², f

x+y 2

≤ 1

2(f(x) +f(y)). Montrer quef est convexe.

Exercice21.20

Soitf une application deRdansRdéfinie par :

∀t∈R, f(t) = 1

√

1 +t². Montrer que la dérivéen-ième defest de la forme : f⁽ⁿ⁾(t) = P_n(t)

(1 +t²)ⁿ

√ 1

1 +t² , oùPn∈Rn[X]. Prouver les relations :

• P_n+1= (1 +X²)P_n⁰ −(2n+ 1)XP_n

• ∀n≥1, P_n+1+ (2n+ 1)XP_n+n²(1 +X²)Pn−1= 0

• (1 +X²)P_n⁰⁰−(2n−1)XP_n⁰ +n²Pn= 0. En déduire queP_n= X

0≤2k≤n

a_kX^n−2kaveca₀= (−1)ⁿn!eta_p = (−1)^n+pn!n(n−1). . .(n−2p+ 1) 4^p(p!)² . Montrer que les racines dePnsont réelles et simples.

Exercice21.21

Soit(a, b)∈R²aveca6= 0eta6= 1.

On recherche les applicationsf :R→Rdérivables telles que

∀x∈R, f◦f(x) =ax+b.

1. Sia <0, montrer qu’il n’y a aucune solution.

2. Notonsh:R−→R x7−→ax+b

Montrer quehest une homothétie dont on précisera le centre et le rapport. Pourn∈Zcalculerhⁿ(au sens de la composition).

3. On suppose quea∈]0,1[.

Montrer queh⁻¹◦f ◦h=f.

En déduire les expressions possibles def.

4. Achever la résolution de l’exercice.

Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea