Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚15
Suites de nombres r´ eels (partie 2)
Exercice 135 (Comportement asymptotique de la suite (cos(n))n∈N) 1. Justifier que la suite (cos(n))n∈Nn’admet aucune limite infinie.
2. (a) Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ:N→N; n7→E(2nπ+ 1) =E(2nπ) + 1.
i. Montrer queϕest strictement croissante.
ii. Soitn∈N. Montrer que :
2nπ≤ϕ(n)≤2nπ+π 3 et en d´eduire un encadrement de cos(ϕ(n)).
(b) Soitψl’application d´efinie par :
ψ:N→N; n7→E((2n+ 1)π+ 1) =E((2n+ 1)π) + 1.
i. Montrer queψest strictement croissante.
ii. Soitn∈N. Montrer que :
(2n+ 1)π≤ψ(n)≤(2n+ 1)π+π 3 et en d´eduire un encadrement de cos(ψ(n)).
(c) D´eduire de (a) et (b) que la suite (cos(n))n∈Nn’admet aucune limite finie.
Exercice 136 (Nature de la s´erie de terme g´en´eral1/n2) Pour toutn∈N∗, on pose :
Sn=
n
X
k=1
1 k2 1. ´Etudier les variations de la suite (Sn)n∈N∗
2. (a) Montrer que pour toutk∈N≥2:
1 k2 ≤ 1
k−1 −1 k. (b) En d´eduire que la suite (Sn)n∈N∗ est major´ee par 2.
(c) Justifier que la suite (Sn)n∈N∗ est convergente et que : 1≤ lim
n→+∞Sn ≤2.
Remarque : On peut montrer (et on montrera plus tard) que : lim
n→+∞
n
X
k=1
1 k2 =π2
6 .
Exercice 137 (Nature de la s´erie de terme g´en´eral1/n3) Pour toutn∈N∗, on pose :
un =
n
X
k=1
1
k3 et vn=un+ 1 n2.
En utilisant le th´eor`eme des suites adjacentes, d´emontrer que ces deux suites convergent.
Remarque : Le nombre nlim
→+∞
n
X
k=1
1
k3 est nomm´eζ(3) (c’est la valeur d’une certaine fonction nomm´ee zˆeta en 3) et n’est pas tr`es bien connu. On sait toutefois qu’il est irrationnel (Ap´ery, 1979).
Exercice 138 (Moyenne arithm´etico-g´eom´etrique)
Soientaetbdeux r´eels positifs fix´es. On d´efinit deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Npara0=a,b0=bet les relations de r´ecurrence :
an+1=p
anbn et bn+1=an+bn 2 valables pour toutn∈N.
1. Montrer que les suites (an)n∈Net (bn)n∈Nsont bien d´efinies et `a termes positifs ou nuls.
2. Montrer que pour toutn∈N,bn+1−an+1 est le carr´e d’un r´eel et en d´eduire que pour toutn∈N∗ : an≤bn.
3. Montrer que la suite (an)n∈N∗ est croissante et que la suite (bn)n∈N∗ est d´ecroissante.
4. Montrer que pour toutn∈N∗ :
|bn+1−an+1| ≤ 1
2|bn−an| et en d´eduire que pour tout n∈N∗ :
|bn−an| ≤ 1
2 n−1
|b1−a1|.
5. Montrer que les suites (an)n∈Net (bn)n∈Nconvergent vers une limite commune.
Remarque : La limite commune des suites(an)n∈Net(bn)n∈Nest appel´ee moyenne arithm´etico-g´eom´etrique des nombresaetb.
Exercice 139 (Un ´equivalent de la somme des premi`eres factorielles) Montrer que :
n
X
k=1
k!n→+∞∼ n!.
Exercice 140 (Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence et ´equivalents) Soit (un)n≥1la suite d´efinie par son premier terme u1∈Ret :
∀n≥1 un+1= 1 ne−un. 1. Montrer que pour toutn≥2 :un≥0.
2. En d´eduire que (un)n≥1converge vers 0, puis queunn→+∞∼ 1 n.
Exercice 141 (´Etudes d’´equivalents et de comportements asymptotiques) 1. Donner un ´equivalent≪simple≫ de la suite
n4−2n3+ 3n2−4n+ 5 1−n2
n∈N≥2
puis pr´eciser son compor- tement asymptotique.
2. Donner un ´equivalent≪simple≫ de la suite (ln(n)−n2+ 1)n∈N∗ puis pr´eciser son comportement asymp- totique.
3. Donner un ´equivalent≪simple≫ de la suite
2n−3n 5n−4n
n∈N∗
puis pr´eciser son comportement asympto- tique.
4. Donner un ´equivalent≪simple≫ de la suite
n!−2013n 2012n−n!
n∈N∗
puis pr´eciser son comportement asymp- totique.
5. D´eterminer le comportement asymptotique de la suite
1 + 1 n
n
n∈N∗
. 6. Donner un ´equivalent≪simple≫ de la suite
cos(e−n2)−1 sin(2−n)
n∈N
puis pr´eciser son comportement asymp- totique.
7. Donner un ´equivalent≪simple≫ de la suite √
n2−1−n
n∈N∗ puis pr´eciser son comportement asymp- totique.
