Annexe A RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES CALCULS CONCERNANT LES
MATRICES DE TRANSFORMATION
A.1 Représentation d’un point :
La représentation d’un point, en coordonnées homogènes se fait par un vecteur à quatre compositions (figureA.1), les trois premières sont les coordonnées cartésiennes et la quatrième est considérée comme un facteur d’échelle égale à 1 en robotique.
[
Vx Vy Vz]
TV = 1 (A.1)
Figure A.1 - représentation d’un point A.2 Représentation d’une direction :
La direction est représentée par quatre composantes, les trois premières sont les coordonnées cartésiennes du vecteur U et la quatrième sont nulle.
[
Ux Uy Uz]
TU = 0 (A.2)
A.3 Transformation des repères :
Soit Tij matrice de transformation homogène de dimension (4x4) permet de définir le repère Rj dans le Ri (figure A.2).
Figure A.2- transformation des repères
Tij =
=
1 0 0 0 1
0 0 0
i j i
j p
R pz az nz sz
py ay ny sy
px ax nx sx
(A.3) Vz y
Vx Vy
z
v
x
aj si
ai ni Xi
Yi Zi
Yj
xj zj
nj sj
Tij
Ri Rj
i
Rj : matrice d’orientation du repère Rj par rapport à Ri pij : l’origine du repère Rj exprimé dans le repère Ri
sij,n ,ij aij : Le vecteur unitaire désignant la projection des axes xj ,yj, zj du repère Rj exprimé dans le repère Ri
A.4 Matrice de translation pure :
La translation de Rj par rapport au long des axes x, y, z respectivement avec a, b et c (figure A.3) se présente avec la matrice :
Tij = Transe(a,b,c) =
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
c b a
(A.4)
Figure A.3- Transformation en translation pure A.5 Matrice de rotation pure :
La rotation autour de x d’un angle θ(figure A.4.a), comme suit :
Tij = Rot(x, θ) =
−
1 0 0
0
0 cos sin
0
0 sin cos
0
0 0 0
1
θ θ
θ
θ =
1 0 0 0
0 0 )
, (
0 θ
x
R (A.5)
Figure A.4.a- Rotation autour de l’axe x Xi
Yi b
Zj
a
Yj Xj
Zi
c
Xj,Xi
Yj Zj
aj Zi
nj sj
θ
θ
θ
Yi Yj
De meme pour la rotation pure autour de y et autour de z (figure A.4.b et c):
Tij = Rot(y,θ) =
−
1 0
0
0 cos 0 sin
0 0 1 0
0 sin 0 cos
θ θ
θ θ
=
1 0 0
0
0 0 )
, (
0 θ
y
Rot (A.6)
Figure A.4.b- rotation autour de l’axe y
Tij = Rot(z,θ) =
−
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
θ θ
θ θ
=
1 0 0
0
0 0 )
, (
0 θ
z
Rot (A.7)
Figure A.4.c - rotation autour de l’axe z
Xj,Xi Remarques :
Translation pure : R=I3(matrice unité d’ordre 3) Rotation pure : p=0 (vecteur nul)
A.6 Propriétés des matrices de transformation homogène :
T=
=
1 0 0 0 1
0 0 0
p R
pz az nz sz
py ay ny sy
px ax nx sx
(A.8)
R : matrice de rotation P : vecteur de translation
Xj sj
Yj
Xi
Zi,Zj
nj θ
θ
θ
Yi aj
X
Zj
aj Zi
nj sj θ
θ
θ Xi
Yj, Yi
(Tij)−1= T Ji (A.9) pour un repère R0 subit (n) transformations successives (figureA.5), on le représente comme suit :
T0n=T10 T1
2 T23K Tn-1n (A.10)
Figure A.5- robots à Chain ouverte simple
A.7.Description de la position et l’orientation d’un objet :
Pour la position et l’orientation d’un objet il faut six paramètres indépendants, trois pour la position de l’origine du repère associe à l’objet et trois pur l’orientation de ce repère par rapport à un repère référence, on peut représente cela par une matrice dite matrice de transformation.
A.7.1.Coordonnées cartésiennes :
Le repéré Rn est représenté par les coordonnées de son origine On(px, py,pz) (figureA.6).
A.7.2.Cosinus directeurs :
L’orientations est donnée par trois vecteur s, n et a dons chacun trois éléments, donc on a neuf(09) éléments dit cosinus directeurs.
(A.11)
=
az nz sz
ay ny sy
ax nx sx RCD
Z n
Y0
X1 Y1
Y2 Z0
Z1 Z2 X2
X3 Z3
Y3 Y n
T0
1
T1
2
Tn-1n
X0
Y0 py
zn
px yn xn
Z0
pz
Rn
R0 On
Oo
Figure A.6- Coordonnées cartésiennes
A.7.3.Angles de lacet, tangage, roulis:
L’orientation de repère Ri par rapport à repère Rj est décrite par trois angles
) (
), (tan
),
(lacet
θ
gageρ
roulisλ
qui correspondent à trois rotations successives(figure A.7)suivant z,x et y respectivement.
La matrice de rotation Tij est le produit de trois matrices de rotation élémentaires :
Figure A.7- variable d’orientations
Annexe B Organigramme présente le déroulement de la phase d’apprentissage et de teste
−
− +
+
−
−
=
−
−
−
=
ρ θ θ
ρ θ
ρ θ λ ρ
λ θ
λ ρ
θ λ ρ
λ
ρ θ λ ρ
λ θ
λ ρ
θ λ ρ
λ
ρ ρ
ρ ρ
θ θ
θ θ
λ λ
λ λ
cos cos sin
sin cos
cos sin cos sin
sin cos
cos sin
sin cos cos
sin
cos sin sin sin
cos cos
sin sin
sin sin cos
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos . cos sin
0
sin cos
0
0 0
1 . 1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
coc T
T
ij ij
xi
θ
λ
yj
λ
ρ θ
ρ
xj
zj
yi zi
0
Non
Oui
Présentation les vecteurs d’entrée et de sortie désirée correspondants (téta, dis, et Vit).
Initialisation des poids (les paramètres des sous ensembles floue w1)
Calcule / for hh=1 : maxcycle Tel que maxcycle= le nombre d’itération
Calcule de la partie antécédente des règles
) ( )
( dis
Bj teta Ai
Wk =µ ×µ
k=1 :21 (21 règles).
Sortie de la 3emmecouche (la normalisation)
=
∑
21k k k k
W W W
Calcule les paramètres conséquents des règles (pi, qi, ri) (méthode de pseudo
inverse)
Calcule la sortie de la 4emmecouche
(
k k k)
k k
k f W p téta q dis r
W
S4 = × = × . + . +
La sortie globale (vitesse)
k k
k f
W y =
∑
×= 21
1
Calcule l’erreur de sortie e= y – vit et l’erreur quadratique moyenne EQM.
Calcule la sortie de la 1er couche.
) (teta Ai
µ , (dis)
Bj
µ / (i,j=1 :5)
EQM ≤EQM désiré
1 2
Réinjecte l’erreur de sortie dans le réseau et calculer les termes de l’erreur pour les neurones des couches précédentes jusqu a la 1er
couche cachée
1
Oui
Ajustement les paramètres de la première couche cachée (ai, bi, ci) (Ajustement des poids)
EQM ≤EQM désiré Où hh= maxcycle (Nombre d’itération
atteint)
Non
2
Présentation les vecteurs d’entrée et de sortie de teste. (teta2, dis2, vit2)
Calcule la sortie de la 1ère couche.
) 2 (teta Ai
µ , (dis2) Bj
µ / (i,j=1 :5)
Calcule de la partie antécédente des règles
) 2 ( )
2
( dis
Bj teta
Ai
Wk =µ ×µ
k=1 :21 (21 règles).
Sortie de la 3emmecouche (la normalisation)
=
∑
21k k k k
W W W
Calcule les paramètres conséquents des règles (pi, qi, ri) (méthode de pseudo
inverse)
Calcule la sortie de la 4emmecouche
(
k k k)
k k
k f W p téta q dis r
W
S4 = × = × . + . +
La sortie globale (tension ut)
k k
k f
W
y = ∑ ×
= 21
1
Calcule l’erreur de teste e= y – vit2
Fin
