$G$-opérateurs au sens large et application à un théorème d'André sur les E-fonctions au sens large

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Preprint submitted on 7 Jun 2019 (v3), last revised 27 May 2021 (v4)

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G-opérateurs au sens large et application à un théorème d’André sur les E-fonctions au sens large

Gabriel Lepetit

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Gabriel Lepetit. G-opérateurs au sens large et application à un théorème d’André sur les E-fonctions au sens large. 2019. �hal-02024884v3�

G-OPÉRATEURS AU SENS LARGE ET APPLICATION À UN THÉORÈME D’ANDRÉ SUR LESE-FONCTIONS AU SENS LARGE

GABRIEL LEPETIT

RÉSUMÉ. Nous donnons une nouvelle preuve d’un théorème d’André (2014) affirmant que toute relation polynomiale surQentre des valeurs d’une famille deE-fonctions au sens large (f₁, . . . ,f_n) provient d’une relation polynomiale surQ(z) entre lesf_i(z). Pour cela, nous prou- vons un théorème de structure sur lesG-opérateurs au sens large : nous commençons par dé- montrer un analogue du théorème des Chudnovsky (1984) pour lesG-fonctions au sens large, puis nous en déduisons que l’opérateur minimal d’uneG-fonction au sens large est fuchsien.

Ceci nous permet d’adapter au cas desE-fonctions au sens large une preuve d’un théorème de Beukers (2006), qui est un analogue du théorème d’André dans le cas desE-fonctions au sens strict.

Le but de cet article est d’étudier la structure desG-opérateurs au sens large et d’en dé- duire une nouvelle preuve d’un résultat d’Y. André sur lesE-fonctions (théorème 3) générali- sant le théorème de Siegel-Shidlovskii. Nous commençons par donner quelques éléments de contexte. Les notions deEet deG-fonctions ont été introduites par Siegel dans SIEGEL1929 pour généraliser le théorème de Lindemann-Weierstrass sur l’indépendance algébrique des valeurs de la fonction exponentielle.

Définition 1

UneE-fonction au sens largeest une sérief(z)=^+∞P

n=0

a_n

n!zⁿ∈Q[[z]]telle que

a) f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients dansQ(z);

b) Pour toutε>0, il existe n₁(ε)∈N tel que ∀n Ên₁(ε), a_n É(n!)^ε, où a_n est la maisonde a_n, c’est-à-dire le maximum des modules des conjugués (au sens de Galois) dea_n;

c) Pour toutε>0, il existe n2(ε)∈N tel que ∀n Ên2(ε), den(a0, . . . ,an)É(n!)^ε, où den(a₀, . . . ,a_n) est le plus petitd ∈N^∗ tel que d a₀, . . . ,d a_n sont des entiers algé- briques.

Leur étude a ensuite été développée, entre autres, par Shidlovskii, qui a démontré le théo- rème fondamental suivant (voir SHIDLOVSKII1989, p. 139).

Théorème 1 (Siegel–Shidlovskii, 1929/1956)

Soit(f₁, . . . ,fn)une famille deE-fonctions au sens large. Soitf=^t (f₁, . . . ,fn), supposons qu’il existeA∈Mn(Q(z)tel quef⁰=Af. Prenonsα∈Qtel queαT(α)6=0, oùT(z)∈Q[z]est tel queT(z)A(z)∈Mn(Q[z]).

Alors le degré de transcendance surQde(f₁(α), . . . ,f_n(α))est égal au degré de transcen- dance surQ(z)de(f₁(z), . . . ,f_n(z)).

Ce théorème généralise le théorème de Lindemann-Weierstrass. En effet, si (α1, . . . ,αn)∈ Qⁿ est une famille libre sur Q, alors (e^α1z, . . . ,e^αnz) est une famille deE-fonctionsau sens largevérifiant les hypothèses du théorème dont les composantes sont algébriquement indé- pendantes surQ(z), de sorte qu’en évaluant en 1, le théorème 1 nous assure quee^α1, . . . ,e^αn sont algébriquement indépendants surQ.

Date: 7 juin 2019.

2010Mathematics Subject Classification. Primary 11J91 ; Secondary 34M03, 34M35.

Key words and phrases. EandG-functions,EandG-operators, Chudnovsky’s theorem.

1

L’étude desE etG-fonctions a ensuite été poursuivie par Nesterenko et Shidlovskii (NES-

TERENKOet SHIDLOVSKII1996), André (ANDRÉ2000a et ANDRÉ2000b) et Beukers (BEUKERS

2006).

On dispose d’une notion « moderne », plus restrictive que la définition 1, deE-fonction au sens strict.

Définition 2

UneE-fonction au sens strictest une série f(z)=^+∞P

n=0

a_n

n!zⁿ∈Q[[z]]telle que a) f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients dansQ(z);

b) Il existeC₁>0tel que∀n∈N, a_n ÉC₁ⁿ⁺¹;

c) Il existeC₂>0tel que∀n∈N, den(a0, . . . ,a_n)ÉC₂ⁿ⁺¹.

On définit de la même manière lesG-fonctionsau sens strict(resp.au sens large) qui sont les séries f(z)=^+∞P

n=0

a_nzⁿ∈Q[[z]] vérifiant la conditiona)de la définition 2 (resp. 1) et telles que lesanvérifient les conditionsb)etc)de la définition 2 (resp. 1).

Siegel a étudié lesE-fonctionsau sens large, mais n’a fait qu’évoquer lesG-fonctionsau sens large. Il est conjecturé que les définitions large et stricte sont équivalentes pour lesE etG-fonctions, mais cela n’a pas été prouvé à ce jour. Précisément, on sait que la condition b)de la définition 1 implique, sous la conditiona), la conditionb)de la définition 2, car on peut appliquer des estimation « Gevrey » dues à Perron (cf PERRON1911, voir aussi RAMIS

1984, pp. 85–86) ; en revanche, on ne sait pas si la conditionc)de la définition 1 implique la conditionc)de la définition 2 (cf ANDRÉ2000a, p. 715).

Un théorème fondamental de D. et G. Chudnovsky (voir D. CHUDNOVSKY et G. CHUD-

NOVSKY1984) affirme que l’équation différentielle minimale satisfaite par uneG-fonction au sens strictvérifie une condition de croissance modérée appeléecondition de Galochkin.

Ceci implique, entre autres, qu’elle est fuchsienne. Par ailleurs, la condition de Galochkin est équivalente à une condition introduite par Bombieri, qui implique par un théorème de Katz (DWORK, GEROTTOet SULLIVAN1994, p. 98) que l’équation différentielle minimale en ques- tion est à exposants rationnels en tout point deP¹(C) (théorème d’André-Chudnovsky-Katz).

Via la transformée de Fourier-Laplace des opérateurs différentiels (voir preuve de la pro- position 2), André (cf ANDRÉ 2000a et ANDRÉ2000b) en a déduit que toute E-fonctionau sens strict était solution d’une équation différentielle dont les seules singularités sont 0 et

∞, la première étant régulière. Pour prouver cela, seule une partie du théorème d’André- Chudnovsky-Katz est nécessaire.

C’est ce résultat qui a permis à Beukers de prouver le théorème suivant dans BEUKERS

2006. Il constitue un raffinement du théorème 1 dans le cas strict. En effet, le théorème 1 est vrai quant à lui pour lesE-fonctionsau sens large.

Théorème 2 (Beukers, 2006)

Soit(f₁, . . . ,f_n)une famille deE-fonctionsau sens strictvérifiant les hypothèses du théo- rème 1. Alors pour tout polynôme homogèneP∈Q[X₁, . . . ,X_n]tel queP(f₁(α), . . . ,f_n(α))= 0, il existe un polynômeQ∈Q[Z,X₁, . . . ,X_n]homogène en les variablesX₁, . . . ,X_ntel que

Q(α,X₁, . . . ,X_n)=P(X₁, . . . ,X_n) et Q(z,f₁(z), . . . ,f_n(z))=0.

Le théorème suivant a ensuite été prouvé par André dans l’article ANDRÉ 2014 dans le- quel il développe une généralisation de la correspondance de Galois différentielle. C’est une conséquence du corollaire 1.7.1 p. 6, qui s’applique non seulement, sous certaines hypo- thèses, à une famille de fonctions de la forme (y,y⁰, . . . ,y⁽ⁿ⁻¹⁾) quand y est solution d’une équation différentielle à coefficients dansQ(z), mais plus généralement à tout vecteur de fonctions (f1, . . . ,fn) solution d’un système différentiely⁰=Ay, A∈Mn(Q(z)), comme Y. An- dré nous l’a confirmé dans une communication privée. Les hypothèses du corollaire 1.7.1

sont satisfaites si (f₁, . . . ,f_n) est un vecteur deE-fonctions au sens large car, d’une part, toute E-fonction au sens large non polynomiale est transcendante surQ(z) puisque c’est une fonc- tion entière, et d’autre part, le théorème 1 nous assure que le degré de transcendance surQ de (f₁(ξ), . . . ,fn(ξ)) est égal au degré de transcendance surQ(z) de (f₁(z), . . . ,fn(z)).

Théorème 3 (André, 2014)

Le théorème 2 est vrai si l’on suppose que(f1, . . . ,fn)est une famille deE-fonctions au sens large.

Notre but est de fournir une nouvelle preuve du théorème 3 plus proche de l’esprit initial de la preuve de Beukers, à l’aide de l’étude desG-opérateursau sens large. Pour cela, nous allons dans un premier temps définir la condition de Galochkin pour lesG-fonctionsau sens large et montrer l’existence d’un analogue du théorème des Chudnovsky pour ce type de fonctions. Dans une seconde partie, nous verrons que la condition de Galochkin au sens largeimplique que l’équation différentielle minimale à coefficients dansQ(z) satisfaite par uneG-fonctionau sens large est fuchsienne, ce qui suffira pour démontrer le théorème 3 dans la troisième partie.

Remerciements.Je tiens à remercier B. Adamczewski, Y. André, S. Fischler, J. Roques et T.

Rivoal pour leurs remarques pertinentes qui ont permis d’améliorer ce texte.

1. UN ANALOGUE« LARGE»DU THÉORÈME DESCHUDNOVSKY

Soitf=





 f₁(z)

... f_n(z)





∈Q[[z]]ⁿvérifiantf⁰=GfavecG∈Mn(Q(z)). SoitG_s∈Mn(Q(z)) la matrice telle quef^(s)=G_sf. On montre par récurrence que lesG_s,s∈N, sont liées par la relation

(1) Gs+1=GsG+G⁰_s

oùG⁰_s désigne la matriceG_sdérivée coefficient par coefficient. On prendT(z)∈Q[z] le plus petit dénominateur commun de tous les coefficients de la matriceG(z). On montre égale- ment par récurrence sursque

(2) ∀s∈N, T^sG_s∈Mn(Q[z]).

1.1. Condition de Galochkin au sens large. Rappelons tout d’abord la définition de la condi- tion de Galochkinau sens strict, introduite dans GALOCHKIN1974

Définition 3 (Galochkin)

On note, pours ∈N,q_s le plus petit dénominateur supérieur ou égal à1de tous les co- efficients des coefficients des matrices T(z)^mGm(z)

m! , quand m∈{1, . . . ,s}. On dit que le systèmey⁰=G yvérifie la condition de Galochkin au sens strictsi

∃C>0 : ∀s∈N, q_sÉC^s+1.

On a alors le théorème fondamental suivant (cf D. CHUDNOVSKYet G. CHUDNOVSKY1984, p. 17).

Théorème 4 (Chudnovsky)

Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, si pour tout i ∈{1, . . . ,n}, f_i(z) est une G- fonction au sens strictet(f1(z), . . . ,fn(z))est une famille libre surQ(z), alorsG vérifie la condition de Galochkinau sens strict.

Dans ANDRÉ2000b, p. 747, André a introduit, en la formulant différemment, la condition suivante, qui est adaptée à notre situation.

Définition 4 (André)

Avec les notations de la définition précédente, on dit que le système y⁰ =G y vérifie la condition de Galochkin au sens largesi

∀ε>0,∃s₀(ε)∈N: ∀sÊs₀(ε),q_sÉ(s!)^ε. Rappelons que siL=

µ d dz

¶n

+a₁(z) µ d

dz

¶_n−1

+ · · · +a_n(z)6≡0 est un opérateur différentiel d’ordrenà coefficients dansQ(z), la matrice compagnon deLest

A_L=











0 1 (0)

. .. ...

(0) 0 1

−an . . . −a1









 .

On sait que les solutions du système différentiely⁰=G ysont les vecteursf=^t(f,f⁰, . . . ,f⁽ⁿ⁻¹⁾) quandL(f(z))=0.

Suivant la définition desG-opérateurs au sens strict (cf ANDRÉ 2000a, p. 718), on peut considérer une notion analogue au sens large.

Définition 5 SoitL∈Q(z)

· d dz

¸

. On dit queL est unG-opérateur au sens large(resp. au sens strict) si la matrice compagnon deLvérifie la condition de Galochkin au sens large(resp.au sens strict).

Le but de cette partie est de prouver un analogue au sens large du théorème 4.

Théorème 5

Le théorème 4 est vrai si l’on remplace « strict » par « large ».

Ceci implique en particulier que sif est uneG-fonctionau sens large, tout opérateur diffé- rentiel non nulLà coefficients dansQ(z) tel queL(f(z))=0 et d’ordre minimal pourf est un G-opérateurau sens large. En effet, la condition de minimalité sur l’ordrendeLimpose que (f, . . . ,f⁽ⁿ⁻¹⁾) est libre surQ(z). Le théorème 5 assure donc que la condition de Galochkinau sens largeest vérifiée pourA_L.

1.2. Démonstration du théorème 5. La preuve que nous allons présenter est une adapta- tion de la preuve originale du théorème 4 (D. CHUDNOVSKY et G. CHUDNOVSKY 1984, pp.

38–50) au cas desG-fonctions au sens large. Les six premières étapes de la démonstration sont identiques dans les cas strict et large puisque les conditions b) etc) de la définition d’uneG-fonction (définition 1 ou 2) n’y sont pas utilisées, y compris dans le lemme de Shid- lovskii évoqué dans l’étape 3. Dans BEUKERS2008, pp. 21–22, Beukers a reformulé les idées des Chudnovsky en une trame condensée ; à des fins de clarification, nous suivrons cette trame dans les étapes 1 à 6, en la détaillant. La nouveauté de cette démonstration est l’étape 7, dans laquelle les conditionsb)etc)de la définition 1, spécifiques auxG-fonctions au sens large, seront utilisées.

Remarquons tout d’abord que siKest un corps de nombres contenant les coefficients des coefficients deG(z) et les f_i(0), 1Éi Én, alorsG ∈Mn(K(z)) et f ∈K[[z]]ⁿ. En effet, cela découle de l’équationf⁰=Gfen écrivantGcomme un élément deMn(K((z))) et identifiant les coefficients du développement en série de Laurent de part et d’autre.

Notations et hypothèses:

On a T(z)∈K[z], mais quitte à multiplier par un entier adapté, on peut supposer que T(z)∈O_K[z] etT(z)G(z)∈Mn(O_K[z]).

On noteD= d

dz la dérivation usuelle surK[[z]].

Si A∈K[[z]] et`∈N, on note A=O¡ z<sup>`</sup>¢

s’il existeB ∈K[[z]] tel queA=z^`B. On noteδ=[K:Q] le degré du corps de nombresK.

Étape 1: SoientN,M∈N. On introduit des approximants de Padé (Q,P) de type II de para- mètres (N,M) associés àfdont on laisse les paramètres libres pour l’instant, c’est-à-dire des polynômesQ,P₁, . . . ,P_n∈K[X] tels que deg(Q)ÉN, max

1ÉiÉNdeg(P_i)ÉN et siP=(P₁, . . . ,P_n), alors

Qf−P=O¡ z^N+M¢

.

On ne discutera des conditions d’existence de tels approximants de Padé que dans l’étape 7.

On a pour toutm<N+M,T^m

m!(D−G)^mP∈K[z], ce qui est immédiat en utilisant la formule de Leibniz. De plus, on va montrer par récurrence surmque

(3) ∀m∈N^∗, T^m

m!Q^(m)f−T^m

m!(D−G)^mP=O¡

z^N+M−m¢ . Pourm=1, c’est la définition.

Supposons la relation vraie au rangm. Alors en dérivant (3) et en multipliant parT, on a

(mT⁰T^mQ^(m)+T^m+1Q^(m+1)f+T^m+1Q^(m)f⁰

−mT⁰T^m(D−G)^mP−T^m+1D(D−G)^mP=O¡

z^N+M−(m+1)¢ . Or, f⁰ =Gfdonc en multipliant (3) par la matrice polynomiale T G et en retranchant à l’équation précédente, on obtient

(mT⁰T^mQ^(m)+T^m+1Q^(m+1)f−mT⁰T^m(D−G)^mP

−T^m+1(D−G)^m+1P=O¡

z^N+M−(m+1)¢ . Finalement, commeT^mQ^(m)f−T^m(D−G)^mP=O¡

z^N+M−m¢

, on a le résultat voulu.

Étape 2: Montrons que

(4) ∀s∈N^∗, Gs

s!P=

s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^jP.

On procède par récurrence :

• pours=1,G_s=GetGP=D(P)−(D−G)P.

• Soits∈N^∗, supposons la formule (4) vraie pours.

AlorsG_s+1=G_sG+G⁰_sdonc G_s+1 (s+1)!= 1

s+1 µG_s

s!G+G⁰_s s!

¶ .

Donc en appliquant l’hypothèse de récurrence au vecteurGP, on a G_s+1

(s+1)!P= 1 s+1

à s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^j(GP)+G⁰_s s! P

! . Or,

G_s⁰ s!P=

µG_s s!P

¶₀

−G_s s!P⁰=

s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP−

s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^jDP.

Donc, en remarquant que∀j ∈{0, . . . ,s}, (D−G)^jD=(D−G)^j+1+(D−G)^jG, on a

G_s+1

(s+1)!P= 1 s+1

à s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP−

s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^j+1P

!

= 1 s+1

à s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP+

s+1

X

k=1

(−1)^k

(s−k+1)!(k−1)!D^s+1−k(D−G)^kP

!

= 1 s+1

à s

X

j=1

(−1)^j(s+1−j)+j

(s+1−j)!j! D^s+1−j(D−G)^jP+

s+1

X

k=1

(−1)^k

(s−k+1)!(k−1)!D^s+1−k(D−G)^kP+D^s+1

s! P+(−1)^s+1

s! (D−G)^s+1P

!

=

s+1

X

j=0

(−1)^j

(s+1−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP.

Cela conclut la récurrence.

Étape 3: Utilisation du lemme de Shidlovskii.

On note pourh∈N,Ph= 1

h!(D−G)^hPetR_(h)∈Mn(K(z)) la matrice dont laj-ième colonne est¡_h+j−1

j−1

¢P_h+j−1. Alors la formule (4) implique immédiatement que G_s

s!R₍₀₎=

s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!D^s−jR_(j).

Selon le lemme de Shidlovskii pour les approximants de Padé de type II (voir ANDRÉ1989, p.

115), la matriceR₍₀₎ est inversible pourvu queM soit assez grand ce qui sera réalisé quand on spécifieraM etNdans l’étape 7. Donc

(5) T^sGs

s! =

s

X

j=0

(−1)^jT^s+n−1D^s−jR_(j)

(s−j)! (Tⁿ⁻¹R₍₀₎)⁻¹.

Étape 4 : Soitd le dénominateur commun des coefficients d’ordres inférieurs à N+M du développement en série entière de f. On suppose trouvés des approximants de Padé Q,P₁, . . . ,P_n∈K[X] dedf, c’est à dire des polynômes tels que deg(Q)ÉN, max

1ÉiÉNdeg(P_i)ÉN et

Q(df)−P=O¡ z^N+M¢

avecP=(P₁, . . . ,P_n). On fait l’hypothèse supplémentaire que Q est un polynôme à coeffi- cients entiers algébriques. On peut alors appliquer les résultats des trois étapes précédentes, dont on conservera les notations, àQ etPpuisquedfest encore solution du système diffé- rentiely⁰=G y.

Selon (3), on a

(6) ∀mÉN+M, T^m

m!Q^(m)(df)−T^mPm=O¡

z^N+M−m¢ . En remarquant que Q^(m)

m! ∈OK[z] puisqueQ est à coefficients dansOK, on voit que siN+ M−m> max

1ÉiÉndeg(Pi,m), les coefficients deT^mPmsont des éléments deO_K[z].

Montrons par récurrence surmque

(7) max

1ÉiÉndeg(T^mP_i,m)ÉN+t m.

• Pourm=0, il s’agit simplement du fait que les composantes dePsont de degrés inférieurs à N.

• Pourm=1,TP⁰−T GPa des composantes de degrés inférieurs àN+tcar les coefficients de T(z)Gsont de degrés bornés part.

• Soitm∈N, supposons le résultat vrai au rangm. Alors

(D−G)(T^m(D−G)^mP)=mT⁰T^m−1(D−G)^mP+T^mD(D−G)^mP−T^mG(D−G)^mP

=mT⁰T^m−1(D−G)^mP+T^m(D−G)^m+1P.

Donc

T^m+1(D−G)^m+1P=(D−G)(T^m(D−G)^mP)−mT⁰T^m(D−G)^mP.

Or, en utilisant à la fois l’hypothèse de récurrence et le cas m =1, on voit que T(D− G)(T^m(D−G)^mP) a ses composantes de degrés bornés par N+mt+t =N+(m+1)t; par ailleurs, l’hypothèse de récurrence nous assure quemT⁰T^m(D−G)^mPa des composantes de degrés inférieurs àt+N+mt=N+(m+1)t. On en déduit le résultat souhaité (7).

Donc à condition queN+M−mÊN+t m, c’est-à-dire

(8) mÉ M

t+1,

alors T^mP_m ∈OK[z]ⁿ. Ceci implique immédiatement que si j est un entier naturel tel que j+n−1É M

t+1, alorsT^j+n−1R_(j) est une matrice à coefficients dansO_K[z]. En particulier, Tⁿ⁻¹R₍₀₎∈Mn(OK[z]).

Montrons à présent que (9) ∀s∈N, s+n−1É M

t+1, ∀j ∈{0, . . . ,s}, T^s+n−1

(s−j)!D^s−jR_(j)∈Mn(O_K[z]).

Rappelons la formule de Leibniz généralisée : si`∈N<sup>∗</sup>etf<sub>1</sub>, . . . ,f<sub>`</sub>sontlfonctions dérivables kfois, alors

(f₁. . .f_`)^(k)= X

i1+···+i_`=k

à k i₁, . . . ,i_`

! Y

1ÉtÉk

f_t^(it). En particulier, siW∈OK[z], alors

(W^`)^(k)

k! = X

i₁+···+i_`=k

Y

1ÉtÉ`

W^(it) i_t! .

Sik<`, pour tout (i<sub>1</sub>, . . . ,i<sub>`</sub>) intervenant dans la somme, chaque terme Q

1ÉtÉ`

W^(it)

i_t! contient au moins`−kindices de dérivation nuls. Ainsi, comme pour tout entiers,W^(s)

s! ∈O_K[z], on a(W^`)^(k)

k! ∈W^`−kO_K[z].

Déduisons de cela par récurrence le résultat (9). Pours=0, c’est évident.

Soits∈N^∗, supposons (9) vrai pours⁰∈{0, . . . ,s−1}. Par la formule de Leibniz, on a, pour j∈{0, . . . ,s},

D^s−j(T^s+n−1R_(j)) (s−j)! =

s−j

X

k=0

Ãs−j k

!

× 1

(s−j)!(T^s+n−1)^(k)D^s−j−kR_(j)

=T^s+n−1D^s−jR_(j) (s−j)! +

s−j

X

k=1

(T^s+n−1)^(k) k!

D^s−j−kR_(j) (s−j−k)!

=T^s+n−1D^s−jR_(j) (s−j)! +

s−j

X

k=1

U_kT^s+n−1−kD^s−k−jR_(j) (s−k−j)!,

avecU_k∈O_K[z], en utilisant la remarque précédente.

Or, d’une part,D^s−j(T^s+n−1R_(j))

(s−j)! ∈Mn(O_K[z]) puisqueT^s+n−1=T^s−jT^j+n−1R_(j)∈Mn(O_K[z]), et d’autre part, par hypothèse de récurrence, pour k ∈{1, . . . ,s−j}, T^s−k+n−1D^s−k−jR_(j)

(s−k−j)! ∈ Mn(OK[z]). Par conséquent,

T^s+n−1D^s−jR_(j)

(s−j)! ∈Mn(O_K[z]), ce qu’il fallait démontrer.

Étape 5: Lien entreq_set taille des coefficients de det(Tⁿ⁻¹R₍₀₎).

Prenons pours∈N,q_scomme dans la définition 4. Selon (5), on a pour touts∈N,

(10) T^sG_s

s! = 1 V

s

X

j=0

(−1)^jT^s+n−1D^s−jR_(j)

(s−j)! (com(Tⁿ⁻¹R₍₀₎))^T

oùV =det(Tⁿ⁻¹R₍₀₎)∈O_K[z], et selon (9), tous les termes de la somme sont à coefficients entiers algébriques à condition ques+n−1É M

t+1.

Pour estimerq_s sous cette condition, il suffit donc d’obtenir une estimation de la maison des coefficients deV. C’est ce que permet de faire ce lemme :

Lemme 1

Soient U ∈ OK[z], V ∈ OK[z], W ∈ K[z] tels queU =V W. Notons V = P^`

i=0

v_izⁱ, alors N_K/Q(v₀)W ∈O_K[z].

Démonstration. Introduisons la valuation de Gauss associée à un premierpdeO_K: vp

à _q X

i=0

aizⁱ

!

= min

0ÉiÉq(vp(ai))

oùv_pest la valuationp-adique associée à l’idéal premierpdeOK. En utilisant les propriétés de valuation, on a v_p(U)=v_p(V)+v_p(W) donc v_p(W)Ê −v_p(V) car, commeU est à coeffi- cients entiers algébriques,v_p(U)Ê0.

Notons S l’ensemble fini des premiers divisant tous les coefficients deV. Alors siW =

d

P

i=0

w_izⁱ, pour tout i ∈ {0, . . . ,d} et p _∈S, on a v_p(w_i)+v_p(V) Ê v_p(V)+v_p(W) Ê0, donc Q

p_∈S

p^vp(V)(w_i)⊂OK. En particulier, commev₀∈ Q

p_∈S

p^vp(V)₌pgcd((v₀), . . . , (v_l)), on a

∀i∈{0, . . . ,d}, (v₀)(w_i)⊂O_K.

D’où commeN_K/Q(v₀)∈(v₀)∩Z, on aN_K/Q(v₀)W∈OK[z].

PourW = P^`

i=0

w_izⁱ ∈K[z], on définitσ(W)= max

0ÉiÉ` w_i , lamaisondeW. On a donc ici selon le lemme 1 appliqué à la formule (10),

(11) ∀s∈N, s+n−1É M

t+1, q_sÉσ(V)^δ.

Étape 6: Majoration de la taille des coefficients de det(Tⁿ⁻¹R₍₀₎)∈O_K[z] en fonction de la maison deQ.

Par commodité, on s’intéresse à

Ve=det(P,TP1, . . . ,Tⁿ⁻¹Pn−1)=T^n(n2−1)det(R₍₀₎)=T^−n(n2−1)V.

Le lemme suivant nous assure que ce changement n’introduit qu’une constante multiplica- tive dépendant seulement deGdans la majoration recherchée.

Lemme 2

SoientA,B ∈K[X]etC=AB, alorsσ(C)É(deg(A)+deg(B)+1)σ(A)σ(B).

Démonstration. On écritA=

p

P

i=0

a_izⁱ etB=

q

P

i=0

b_izⁱ, de sorte queC=

p+q

P

j=0

c_jz^j avec, pour tout j∈{0, . . . ,p+q},cj=

j

P

i=0

aibj−i. Soitτ:K,→Qun plongement. Alors

|τ(cj)| É

j

X

i=0

|τ(ai)||τ(bj−i)| É(j+1)σ(A)σ(B)É(p+q+1)σ(A)σ(B),

si bien qu’en prenant le maximum sur j et surτ, on obtient l’inégalité voulue.

Soitm∈{0, . . . ,n−1}. SiQ=

N

P

i=0

q_izⁱ, alors Q^(m)

m! =

N−m

X

i=0

(i+1) . . . (i+m)

m! q_m+iz^m=

N−m

X

i=0

Ãm+i i

!

q_m+iz^m.

De la majoration¡_m+i

i

¢É2^m+iÉ2^N, il s’ensuit queσ µQ^(m)

m!

¶

É2^Nσ(Q). Selon le lemme 2,

σ µ

T^mQ^(m) m!

¶

É2^Nσ(Q)σ(T^m)(mt+N−m+1)

É2^Nσ(Q)σ(T^m)((n−1)(t−1)+N+1)Éc₁^Nσ(Q)σ(T^m), avecc₁constante dépendant seulement deGpourN suffisamment grand.

En tirant du lemme 2 une estimation deσ(T^m) en fonction deσ(T)^m, on obtient pourN suffisamment grand,

σ µ

T^mQ^(m) m!

¶

Éc₂^Nσ(Q)σ(T)^mÉc₃^Nσ(Q) avecc₂,c₃constantes.

SoitθN+M le maximum des maisons desN+M premiers coefficients du développement en série entière des f_i, etd_N+M leur dénominateur commun. En répétant le raisonnement de la preuve du lemme 2, on voit que la maison de la partie polynomiale tronquée à l’ordre N+t mdeT^mQ^(m)

m! (dN+Mfi) est majorée par

c₃^Nσ(Q)(dN+MθN+M)(N+t m+1)Éc₄^Nσ(Q)(d_N+MθN+M).

Or, siN+M−(n−1)ÊN+t(n−1), selon (6), cette partie polynomiale estT^mP_m, donc avec une extension de la notationσaux vecteurs colonnes,

∀m∈{0, . . . ,n−1}, σ(T^mPm)Éc₄^Nσ(Q)dN+MθN+M. On aVe= P

τ∈S_nε(τ)ⁿQ⁻¹

j=0

T^jP_τ(j),j et pourτ∈Sn, σ

Ãn−1

Y

j=0

T^jP_τ(j),j

!

És(P_τ(0),0)σ Ãn−1

Y

j=1

T^jP_τ(j),j

!

(n(N+t(n−1)+1) en utilisant (7). En itérant le procédé, on obtient une constantec₅telle que

σ Ãn−1

Y

j=0

T^jP_τ(j),j

!

Éc^nN₄ σ(Q)ⁿd_Nⁿ_+Mθ_Nⁿ_+Mc₅^NÉc₆^Nσ(Q)ⁿd_Nⁿ_+Mθⁿ_N+M. Donc

σ(Ve)Éc₆^Nσ(Q)ⁿd_Nⁿ_+Mθⁿ_N+M Éc₇^Nσ(Q)ⁿd_Nⁿ_+Mθⁿ_N+M, si bien queσ(V)Éc₈^Nσ(Q)ⁿd_Nⁿ_+Mθⁿ_N+M. D’où selon (11),

(12) ∀s∈N, s+n−1É M

t+1, q_sÉσ(V)^δÉc₉^Nσ(Q)^nδd_N^nδ_+Mθ^nδ_N+M. Étape 7: Conclusion à l’aide d’un lemme diophantien.

Rappelons le lemme classique suivant dont une preuve peut être trouvée dans SIEGEL

1949, p. 37.

Lemme 3 (Lemme de Siegel)

SoitKun corps de nombres. Considérons un système deméquations linéaires (13)

n

X

j=1

a_{i j}x_j=0,∀1Éi Ém où∀i,j,ai j ∈O_K. On note A =max

i,j ai j . Alors sin >m, (13)a une solution non nulle (x_j)_1ÉjÉn∈O_Kⁿvérifiant

1ÉmaxjÉn x_j Éc₁(c₁n A)^nm−m, oùc₁>0est une constante dépendant uniquement deK.

Soit s ∈ N^∗. On pose N =2n(t+1)(s+n−1) et M =N/(2n). Alors l’équation de Padé Q(d_N+Mf)−P=O¡

z^N+M¢

se traduit par un système linéaire de nN 2n = N

2 équations àN+1 inconnues (les coefficients deQ). Selon le lemme 3, il existe une solutionQ∈O_K[z] telle que

σ(Q)Éc₁₀(c₁₀(N+1)θ_N+M)^N+N/21−N/2Éc₁₁^NθN+M

car N

2 ÉN+1−N 2.

C’est à partir de maintenant que l’on va se servir des propriétésb)etc)de la définition 1, qui sont propres auxG-fonctionsau sens large.

Soitε>0. Puisque les composantes defsont desG-fonctionsau sens large, on peut trouver une constantec₁₂(ε) telles queθkÉ(k!)^εetd_kÉ(k!)^εpourkÊc₁₂(ε).

On as=

¹ N

2n(t+1) º

−(n−1), d’où M

t+1Ês+n−1 donc selon (12), (14) q_sÉc₉^N(c₁₁^NθN+M)^nδd_N^δn_+Mθ^δn_N+M.

D’une part, les termes géométriquesc_i^N peuvent être dominés à partir d’un certain rang qui dépend deεpar (N!)^ε. D’autre part, on a (N+M)É2N. Or, siα>1, selon la formule de Stirling,

(15) (αk)!

(k!)^α ∼

p2παk (p

2πk)^α

³αk e

´_αk

³k e

´_αk =r_kα^αk

avec (r_N)_N∈N^∗ une suite tendant vers 0. Ainsi, sikest assez grand, (αk)!É(k!)^α+1.

Par conséquent, en reprenant l’équation (14), on obtient que qs É(N!)^c13×ε pour s plus grand qu’un certain rang dépendant deεet de la constantec₁₃.

MaisNÉ2n(t+1)(s+n−1)É4n(t+1)spoursassez grand, donc à partir d’un certain rang, selon (15),N!É(s!)^4n(t+1)+1. Finalement, poursassez grand (relativement àε), on a

(16) ∀sÊs₀(ε), q_sÉ(s!)^c14ε. Il suffit d’appliquer ce résultat àε⁰= ε

c14

pour obtenir la majoration désirée.

2. SINGULARITÉS D’UNG-OPÉRATEUR AU SENS LARGE

Le but de cette section est de prouver le résultat de structure sur lesG-opérateursau sens largesuivant. Pour unG-opérateurau sens strict, le résultat connu est plus fort : il est fuch- sien avec des exposants rationnels en tout point de P¹(C) (voir ANDRÉ 2000a, p. 719). On ne sait pas si cette affirmation est vraie également au sens large ; toutefois, la proposition suivante est suffisante pour obtenir l’application diophantienne voulue.

Théorème 6

a) SoitL∈Q(z)

· d dz

¸

\ {0}unG-opérateurau sens large. AlorsLest fuchsien, c’est-à- dire que tout élément deP¹(C)est un point singulier régulier deL.

b) En particulier, si f est uneG-fonction au sens large, alors l’opérateur différentiel d’ordre minimalL∈Q(z)

· d dz

¸

\ {0}tel queL(f(z))=0est fuchsien.

Dans toute la suite, on appellera « opérateur minimal de f sur Q(z) », ou « opérateur minimal » quand il n’y a pas d’ambiguïté, tout opérateur différentielL∈Q(z)

· d dz

¸

\ {0} tel queL(f(z))=0, et d’ordre minimal pourf. De même, l’équationL(y(z))=0 sera simplement appelée « équation différentielle minimale de f ». Par abus de langage, on parlera souvent de « l’ » opérateur minimal de f au singulier, car, à multiplication à gauche par un élément deQ(z) près, il n’y a qu’un seul opérateur minimal associé àf.

Remarques. i) Dans ANDRÉ2000b, p. 747, André a esquissé une preuve permettant de déduire, à partir de la condition de Galochkinau sens large, que l’opérateur minimal L de f est globalement nilpotent et donc, selon le théorème de Katz (voir DWORK, GEROTTOet SULLIVAN1994, p. 98), est fuchsien à exposants rationnels en tout point deP¹(C).

Dans le cas desG-fonctionsau sens strict, le passage de la condition de Galochkin à la nilpotence globale se fait par le théorème d’André-Bombieri (DWORK, GEROTTOet SULLIVAN1994, p. 228). André indique que ce théorème s’adapte au sens large, mais nous ne voyons pas comment le faire à l’aide de l’esquisse proposée.

ii) Pour prouver la proposition 2 ci-dessous, qui est à la base de la démonstration du théorème 3, on n’a en réalité besoin que du fait queLadmet 0 pour singularité régu- lière.

Rappelons la notion d’équivalence de systèmes différentiels (cf SAULOY2016, p. 120).

Définition 6

Soient A,B ∈Mn

³Q((z))´

. On dit que les systèmes différentiels y⁰= Ay et y⁰ =B y sont équivalents surQ(z)s’il existeP ∈GLn(Q(z))tel queB=P[A], oùP[A]=P AP⁻¹+P⁰P⁻¹. Ceci est équivalent à dire quey7→P yréalise une bijection de l’ensemble des solutions de y⁰=Ay sur l’ensemble des solutions dey⁰=B y.

Le lemme suivant sera utile dans le pointb)de la deuxième étape de la démonstration du théorème 6.