Théorème des fonctions implicites

(1)

Référence : François Rouvière,Petit guide de calcul différentiel à l’usage de la licence et de l’agrégation (3e édition), Cassini, 2009, p. 259.

Dans toute la suite, on noteBr:=B(0, r)⊂Rⁿ et Bs:=B(0, s)⊂R^p. Théorème.

SoitU un voisinage ouvert de(0,0) dansRⁿ×R^p.

Soitf : (x, y)7→f(x, y)une application de classeC¹ deU dansR^p. On supposef(0,0) = 0et Dyf(0,0) inversible.

Alors il exister >0, s >0 et un uniqueϕ:B_r→B_stels que : (x∈B_r, y∈B_s, f(x, y) = 0) ⇐⇒ (x∈B_r, y=ϕ(x)) De plus,ϕest de classeC¹ surB_r.

Démonstration. On noteA:=Dyf(0,0) etFx(y) :=y−A⁻¹f(x, y). On a : DFx(y) = Id−A⁻¹Dyf(x, y)

Donc DF0(0) = 0 et (x, y) 7→DFx(y) est continue en x et y, donc, pour des certainsr >0 ets >0, on akDFx(y)k ≤ ¹₂ pourx∈Br, y∈Bs.

On a :

Fx(y) =Fx(0) + (Fx(y)−Fx(0))

Donc par l’inégalité des accroissement finis, pourx∈Bs, y∈Br, on a : kFx(y)k ≤ kFx(0)k+1

2kyk etx7→F_x(0) est continue donc, quitte à diminuerr, on a :

kF_x(y)k< s DoncFx(Bs)⊂Bs pourx∈Br.

Bsest complet donc, d’après le théorème du point fixe, il existe un uniquey∈Bs

tel queFx(y) =y, i.e.f(x, y) = 0 ety∈BscarFx(y) =y etFx(Bs)⊂Bs. Donc on a bien ce qu’on voulait en posantϕ(x) =y.

1

(2)

Montrons queϕest de classeC¹. Soitx, x0∈Br, on posey=ϕ(x), y0=ϕ(x0), on a :

y−y0=Fx(y)−Fx₀(y0)

= (Fx(y)−Fx(y0)) + (Fx(y0)−Fx₀(y0))

=F_x(y)−F_x(y₀)−A⁻¹(f(x, y₀)−f(x₀, y₀)) On a :

kF_x(y)−F_x(y₀)k ≤ 1

2ky−y₀k et :

kf(x, y₀)−f(x₀, y₀)k ≤Mkx−x₀k oùM = max

kxk≤rkDxf(x, y₀)k, d’où :

ky−y0k ≤2MkA⁻¹kkx−x0k i.e.

kϕ(x)−ϕ(x0)k ≤Ckx−x0k Doncϕest lipschitzienne donc continue surBr. kDFx(y)k ≤ ¹₂ doncX

k≥0

(DFx(y))^k converge vers l’inverse de Id−DFx(y), i.e.

l’inverse deA⁻¹Dyf(x, y), doncDyf(x, y) est inversible.

f est différentiable en (x0, y0) donc :

0 =f(x, y)−f(x0, y0) =Dxf(x0, y0).(x−x0)+Dyf(x0, y0)+o(kx−x0k+ky−y0k) De plus,ϕest lipschitzienne donco(kx−x₀k+ky−y₀k) =o(kx−x₀k). D’où :

ϕ(x)−ϕ(x₀) =−Dyf(x₀, y₀)⁻¹◦D_xf(x₀, y₀).(x−x₀) +o(kx−x₀k)

2