Théorème de Borel.

Théorème de Borel.

Référence :F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, p359.

Théorème. Soit(a_n)_n≥0 une suite de réels. Il existe une fonctionf ∈ C^∞(R,R)telle que pour toutn≥0,f⁽ⁿ⁾(0) =a_n.

Démonstration.

Lemme. Existence de fonctions plateaux.

Il existe ϕ∈ C^∞(R,R),ϕ(x) =

1 si |x| ≤ ¹₂

0 si |x| ≥1 ,0≤ϕ≤1.

Démonstration.

• Soitϕ1(x) =

e^−1/x si x >0

0 si x≤0 .ϕ1est C^∞ surR\ {0}.

Montrons que ϕ^(k)₁ (x) =Pk 1 x

e^−1/x avecPk polynôme.

Pour k= 0, le résultat est vrai.

Si ϕ^(k)₁ (x) = Pk 1 x

e^−1/x alorsϕ^(k+1)₁ (x) = −P_k^{0 1}_x

+Pk 1 x

x² e^−1/x. D’où le résultat avec Pk+1(X) =X²(Pk(X)−P_k⁰(X)).

Montrons que ϕ1 estC^∞ avecϕ^(k)₁ (0) = 0 pour toutk.

On procède par récurrence. Pourk= 0, le résultat est vrai.

Si ϕ^(k)₁ (0) = 0 alors ϕ^(k)₁ (x)−ϕ^(k)₁ (0)

x =

1 xP_k ¹_x

e^−1/x si x >0 0 si x <0 −→

x→00.

• Soitϕ₂(x) =ϕ₁(x)ϕ₁(1−x).ϕ₂ estC^∞à support [0,1].

On poseϕ₃(x) = Rx

0 ϕ₂(t)dt R1

0 ϕ2(t)dt. On aϕ₃(x) =

1 si |x| ≤ ¹₂

0 si |x| ≤0 etϕ₃ estC^∞ surR. Enfin, on poseϕ(x) =ϕ3(2x+ 2)ϕ3(2−2x).ϕconvient.

Soitϕk(x) =ϕ(λkx)akx^k

k! . Montrons que l’on peut choisirλk >0 de façon à avoir convergence uniforme surRdeX

k

ϕ_k et de chaque série dérivée.

• Pourk≥m, par la formule de Leibniz,

ϕ^(m)_k (x) =ak m

X

p=0

m p

ϕ^(m−p)(λkx)λ^m−p_k x^k−p (k−p)!.

SoitMm= sup

i≤m

ϕ⁽ⁱ⁾

_∞ (existe carϕest C^∞ à support compact).

Comme ϕ(x) = 0 pour |x| > 1, il suffit de majorer pour |x| < _λ¹

k. Pour tout x ∈ R et 0≤m≤k, on a

|ϕ^(m)_k (x)| ≤M_m|a_k|

m

X

p=0

p m

λ^m−p_k λ^p−k_k

(k−p)! ≤ Mm|ak|2^m λ^k−m_k (k−m)!. Soitλk= max(1,|ak|).

On aλ^k−m_k ≥λk≥ |ak|pourk−m≥1. D’où|ϕ^(m)_k (x)| ≤ 2^mMm

(k−m)!pour toutx∈Retk≥m+1.

•De plus, pour 0≤k≤m,ϕ^(m)_k est continue surRest nulle en dehors de [−1/λk; 1/λk] d’où l’existence d’une borne uniforme. Ainsi

∞

X

k=0

ϕ^(m)_k =

∞

X

k=m+1

ϕ^(m)_k +

∞

X

k=0

ϕ^(m)_k

converge normalement surRpour tout entierm.

Donc u = X

k

ϕ_k est C^∞ et on peut dériver terme à terme. Comme ϕ_k(x) = a_kx^k k! sur n|x|<_2λ¹

k

o

, en particulier,u^(m)(0) =am ce qui conclut.

Remarque.

– Cela signifie qu’il existe toujours une fonction C^∞ surR admettant un développement de Taylor donné (mais le rayon de convergence peut être nul).

– En conséquence, on peut prolonger toute fonctionC^∞ sur un compact en une fonctionC^∞ surR.