3 Fonctions à sens unique

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Langages formels, calculabilité et complexité ENS Paris – A1S1 2019-2020

9 janvier 2020 NathanGrosshans

TD 13 – Classes de complexité probabilistes et fonctions à sens unique

1 Propriétés des classes de complexité probabilistes

Soit f: N→[0,1]une fonction.

On définit la classe RPf(n)comme étant la classe des langagesLsur un alphabet Σquelconque tel qu’il existe un polynômep et un langage K∈P vérifiant, pour toutw∈Σ^∗ :

w∈L⇒Pr∈{0,1}^p(|w|)(hw, ri∈/ K)≤f(|w|) ; w∈/L⇒P_r∈{0,1}^p(|w|)(hw, ri ∈K) = 0 .

De même, on définit la classe BPPf(n) comme étant la classe des langages L sur un alphabet Σ quelconque tel qu’il existe un polynômep et un langage K∈P vérifiant, pour tout w∈Σ^∗ :

w∈L⇒P_r∈{0,1}^p(|w|)(hw, ri∈/ K)≤f(|w|) ; w∈/L⇒Pr∈{0,1}^p(|w|)(hw, ri ∈K)≤f(|w|) . On rappelle que RP=RP1/2 etBPP=BPP1/3.

Exercice 1.Montrer que pour toute fonction f: N → [0,1] vérifiant qu’il existe c, n0 ∈ N tels que 2⁻ⁿ^c ≤f(n)≤1−n^−c pour toutn∈N, n≥n0, on a que RP=RPf(n).

Exercice 2.Montrer que pour toute fonction f: N → [0,1] vérifiant qu’il existe c, n₀ ∈ N tels que 2⁻ⁿ^c ≤f(n)≤ ¹₂ −n^−c pour toutn∈N, n≥n₀, on a que BPP=BPPf(n).

On pourra utiliser le lemme suivant, que l’on pourra admettre.

Lemme 1.1 (Chernoff). Soit p∈ 0,¹₂

et X1, . . . , Xn (n∈N) des variables aléatoires indépendantes telles que

X_i=

(1 avec probabilité p

0 avec probabilité 1−p pour tout i∈[[1, n]].

Soit X =Pn

i=1X_i. Alors pour = ¹₂ −p, on a : P

X≥ n

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≤2⁻⁽²^/2)n .

Exercice 3.Montrer que, d’une part, RP⊆NPet, d’autre part,BPP⊆PSPACE.

Exercice 4.Montrer que si NP⊆BPP, alorsNP=RP.

Exercice 5.Montrer que BPP⊆P/poly.

2 Un problème dans coRP

On rappelle que ledegré d’un monôme aX₁^d¹. . . X_n^dⁿ estPn

j=1d_j et que ledegré d’un polynômeest le maximum des degrés des monômes le composant. Par exemple 2XXXXY +XY Z −3Z+ 42ZY est de degré5 (car2XXXXY est de degré 5).

Un polynôme peut toujours s’écrire sous la forme de somme de monômes. Un polynôme à coefficients entiers est enforme généralequand il est donné comme variable simple (c.-à-d.Xi) ou constante

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(c.-à-d.a∈Z), produit ou somme de polynômes à coefficients entiers en forme générale. Par exemple, (X₁+ 2X₂)×(5X₁+ (−3)X₂) +X₁

×X₁ est un polynôme à coefficients entiers en forme générale.

On ignore ici volontairement les détails de l’encodage mais on suppose qu’il est non ambigu et que la taille d’un encodage est O(log₂(n)) pour décrire la n-ième variable, O(log₂(|a|+ 1)) pour décrire une constante a∈ Z, et O(1) +c₁+c₂ pour décrire la somme (ou le produit) de deux polynômes à coefficients entiers de taille d’encodagec1 etc2.

Exercice 6.Montrer que la fonction qui transforme un polynôme à coefficients entiers donné en forme générale en un polynôme à coefficients entiers sous forme de somme de monômes ne peut pas être calculée en temps polynomial.

Soit le langage

TEP={hP₁, P2i |P1 etP2 sont deux polynômes à coefficients entiers en forme générale égaux} . Exercice 7.Montrer ou admettre le lemme suivant.

Lemme 2.1 (Schwartz-Zippel). Soit P ∈ Z[X₁, . . . , X_n] (avec n ∈ N) non nul de degré d ∈ N et soit S une partie finie de Z. Si x1, . . . , xn sont choisis uniformément aléatoirement dans S, alors P

P(x₁, . . . , x_n) = 0

≤ _|S|^d .

Exercice 8.En déduire que TEP∈coRP.

3 Fonctions à sens unique

Supposons que :

— on ait une bijectionf des entiers surnbits vers les entiers surnbits, pour tout n∈N(c.-à-d., sur une entréex de nbits,f(x) est un entier surnbits tel quef(x) =f(y)⇒x=y) ;

— la fonction f se calcule en temps polynomial ;

— la fonction inverse de f ne peut pas se calculer en temps polynomial.

On dit quef est une fonction à sens unique.

Exercice 9.Montrer que si une telle bijection existe, alors P6=NP.

Indication : Montrer que le langage L={hx, f(y)i |x, y∈ {0,1}^∗,|x|=|y| ∧x≤y} appartient à NP\P.

Exercice 10. Montrer de plus que, si elle existe, alorsNP∩coNP6=P.

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