Stabilisation de syst`emes non linéaires discrets

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Stabilisation de syst‘emes non linéaires discrets

Mohamed Bensoubaya, Abdelhak Ferfera, Abderrahman Iggidr

To cite this version:

Mohamed Bensoubaya, Abdelhak Ferfera, Abderrahman Iggidr. Stabilisation de syst‘emes non

linéaires discrets. Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 1995,

321 (3), pp.371–374. �hal-01860805�

Rubrique : Automatique th´ eorique

Stabilisation de syst` emes non lin´ eaires discrets

Mohamed B ensoubaya

, Abdelhak F erfera

et Abderrahman I ggidr

R´ esum´ e – Nous nous int´ er´ essons ` a des syst` emes non lin´ eaires en temps discret, x(k+1)=f(x(k), u(k)), f(0,0) = 0, pour lesquels nous ´ etablissons une condition n´ ecessaire d’´ existence d’un feedback stabilisa- teur continu. Nous donnons aussi une condition suffisante de stabilisation globale pour des syst` emes affines en contrˆ ole.

Stabilization of discrete-time nonlinear systems

Abstract – We consider discrete-time nonlinear systems, x(k + 1) = f (x(k), u(k)), f(0,0) = 0, for which we give a necessary condtion for the existence of a continuous stabilizing feedback. We also give a sufficient condition for the global stabilization of discrete-time nonlinear systems affine in controls.

1. I ntroduction . – Un probl` eme important de l’Automatique est celui de la sta- bilisation d’un syst` eme par un retour d’´ etat.

Le cas des syst` emes non lin´ eaires en temps continu a fait l’objet de nombreux travaux.

Ainsi Brockett [1] a d´ emontr´ e qu’une condition n´ ecessaire d’existence d’une loi de com- mande stabilisatrice et r´ eguli` ere en l’origine pour un syst` eme de classe C

: ˙ x = f (x, u), f (0, 0) = 0, est que l’application f soit surjective sur un voisinage de l’origine.

Pour les syst` emes non lin´ eaires en temps discret, dont l’int´ erˆ et est croissant (cf. la bibliographie de [5]) , il n’existe que fort peu de r´ esultats de stabilisation. En [2] des conditions suffisantes sont donn´ ees pour des sys` emes :

x(k + 1) = f(x(k)) + g(x(k))u(k)

Celles-ci n´ ecessitent la connaissance d’une fonction de Liapounov V de classe C

, v´ erifiant l’analogue, en temps discret, des conditions de Jurdjevic-Quinn [6] et telle que

V (f (x) + g(x)u)

soit un polynˆ ome en u de degr´ e 2. V doit, en plus, satisfaire une condition de convexit´ e si on veut une stabilisation globale.

1

INRIA Lorraine (Projet CONGE) & Universit´ e de Metz. 4, rue Marconi, 57 070 METZ – FRANCE.

T´ el.: 87 20 35 14 - T´ el´ ecopie : 87 76 39 77.

Le but de cette note est de donner, en temps discret, une condition n´ ecessaire analogue

`

a celle de [1] ainsi qu’une condition suffisante de stabilisation globale g´ en´ eralisant celles de [2]. On d´ emontre que tout syst` eme de classe C

affine en contrˆ ole de type Jurdjevic- Quinn est globalement stabilisable par une commande born´ ee.

2. C ondition n´ ecessaire de stabilisation . – Soit le syst` eme :

x(k + 1) = f (x(k), u(k)), f(0, 0) = 0, k = 0, 1, 2, . . . (1)

o` u x(k) ∈ R

, u(k) ∈ R

et f est une fonction continue sur un voisinage A ×U de (0, 0).

Le syst` eme (1) est C

-stabilisable s’il existe une loi de commande x 7→ u(x), u(0) = 0, continue au voisinage de l’origine telle que pour le syst` eme boucl´ e :

x(k + 1) = f x(k), u(x(k))

l’origine soit un point d’´ equilibre asymptotiquement stable (cf. [7]).

T h´ eor ` me 1. – Une condition n´ ecessaire pour que le syst` eme (1) soit C

-stabilisable est que l’application γ : A × U → R

d´ efinie par γ(x, u) = f (x, u) − x soit surjective sur un voisinage de l’origine.

Posons a(x) = f (x, u(x)). Si l’origine est un point d’´ equilibre asymptotiquement stable pour x(k + 1) = a(x(k)), il existe sur A une fonction de Lyapounv de classe C

: V (x) > 0 pour x 6= 0, V (0) = 0, telle que, pour x au voisinage de l’origine, x 6= 0, V (a(x)) − V (x) < 0 (cf. [3], [4]). Pour α > 0 suffisamment petit, l’ensemble :

V

= {x ∈ A | V (x) ≤ α}

´ etant compact, on a sup{V (a(x)) | x ∈ V

} = β < α et il existe η > 0 tel que pour x ∈ V

et ξ ∈ B

=

x ∈ R

kxk ≤ η :

|V (a(x) − ξ) − V (a(x))| ≤ K|ξ|, K = sup

y∈V^α+B_η

|∇V (y)|

Il s’ensuit que pour |ξ| ≤ δ = min{η,

} on a V (a(x) − ξ) ≤ α. Ainsi x 7→ a(x) − ξ est une application continue de V

dans lui-mˆ eme. Par ailleurs, en consid´ erant l’homotopie φ : V

× [0, 1] → V

donn´ ee par φ(x, t) = ψ

x,

, t 6= 1, φ(x, 1) = 0, o` u ψ est d´ efini

par ∂ψ

∂t = −∇V (ψ), ψ(x, 0) = x, on constate que V

est contractile et donc que V

a une homologie triviale. On peut alors conclure par application du th´ eor` eme du point fixe de Lefschetz.

Exemple. – Comme en temps continu, un syst` eme non lin´ eaire en temps discret peut ˆ

etre compl` etement contrˆ olable sans ˆ etre C

-stabilisable. C’est ce qu’illustre l’exemple suivant :



 

 

 

 

x

(k + 1) = x

(k) + u

(k) x

(k + 1) = x

(k) + u

(k)

x

(k + 1) = x

(k) + x

(k)u

(k) − x

(k)u

(k)

L’image de l’application γ : R

×R

→ R

d´ efinie par : γ(x, u) = ( u

, u

, x

u

−x

u

)

ne contient aucun point de la forme ( 0, 0, ε )

, ε 6= 0. Ainsi, le syst` eme n’est pas C

-stabilisable. On peut, cependant, ´ etablir ais´ ement, grˆ ace ` a des techniques d’alg` ebre de Lie (cf. [5]), que c’est un syst` eme compl` etement contrˆ olable. Notons que le lin´ earis´ e

`

a l’origine ne poss` ede aucun mode incontrˆ olable et instable.

2. C ondition suffisante de stabilisation . – Soit le syst` eme :

x(k + 1) = f (x(k)) + g(x(k))u(k), f (0) = 0, x(k) ∈ R

, u(k) ∈ R

(2)

o` u f : R

→ R

et g : R

→ R

sont continues sur R

et o` u l’on suppose que : (i). – Le syst` eme en r´ egime libre x(k + 1) = f (x(k)) est stable et l’on connait une fonction de Liapounov V (x), de classe C

, telle que V (f (x)) ≤ V (x), ∀ x 6= 0.

(ii). – Les ensembles

W

=

x ∈ R

| V (f

(x)) − V (f

(x)) = 0, k = 0, 1, ...

W

=

x ∈ R

| ∂V

∂x (f

(x))g(f

(x)) = 0, k = 0, 1, ...

satisfont W

∩ W

= {0}.

Posons, pour x ∈ R

et u ∈ R

:

ϕ(x, u) = − Z

0

∂V

∂x (f (x) + tg(x)u)g(x)

dt

P roposition – Si pour tout x la fonction ϕ(x, .) admet un point fixe u(x) = ϕ(x, u(x)) d´ ependant continuement de x tel que u(0) = 0, le syst` eme (2) est globalement stabilisable par la loi de commande x 7→ u(x).

En effet, la variation ∆V (x) = V (f (x)+g(x)u(x))−V (x) de V le long des trajectoires du syst` eme boucl´ e v´ erifie :

∆V (x) = V (f(x)) − V (x) − u

(x)u(x) ≤ 0

d’o` u la stabilit´ e. Par application du principe d’invariance de LaSalle [7], il suffit, pour la stabilit´ e asymptotique globale, de montrer que le plus grand ensemble invariant Ω contenu dans {x ∈ R

| V (f (x)) − V (x) = 0 et u(x) = 0} est r´ eduit ` a l’origine de R

. Notons que

u(x) = 0 ⇒ ∂V

∂x (f (x))g(x) = 0

Soit, alors une solution x(k) telle que x(0) = x ∈ Ω. Comme u(x) s’annule identiquement sur Ω, on a x(k) = f

(x), ∀k. Il vient alors que x ∈ W

∩ W

et par suite x = 0.

Comme premi` ere illustration de ce r´ esultat, notons que lorsque V (f (x) + g(x)u) est un polynˆ ome en u de degr´ e 2 (cf. [2]) il vient :

ϕ(x, u) = − ∂V

∂x (f (x))g(x)

− 1

2 g

(x) ∂

V

∂x

(f (x)) g(x)u Si, comme dans [2], on suppose que

(f (x)) ≥ 0 on aboutit ` a :

u(x) = −M

(x) ∂V

∂x (f (x))g(x)

, M (x) = I + 1

2 g

(x) ∂

V

∂x

(f (x)) g(x) En fait, on n’a pas besoin de l’hypoth` ese

(f (x)) ≥ 0 car si on d´ esigne par ρ(x) le rayon spectral de la matrice

g

(x)

(f (x)) g(x), le changement de contrˆ ole ˜ u = (1 + ρ(x))u transforme ϕ(x, u) en :

˜

ϕ(x, u) = ˜ − ∂V

∂x (f (x))g(x)

− 1

2 + 2ρ(x) g

(x) ∂

V

∂x

(f (x)) g(x)˜ u qui admet le point fixe :

˜

u(x) = − M ˜

(x) ∂V

∂x (f (x))g(x)

, M ˜ (x) = I + 1

2 + 2ρ(x) g

(x) ∂

V

∂x

(f (x)) g(x)

Il s’ensuit que la commande u(x) =

u(x) v´ ˜ erifiant u(0) = 0, stabilise globallement le syst` eme (2).

Le r´ esultat suivant montre que tout syst` eme de la forme (2) v´ erifiant (i) et (ii) est globalement C

-stabilisable par une commande born´ ee.

T h´ eor` eme 2. – Si les conditions (i) et (ii) sont satisfaites, alors, pour tout η ∈ R

, le syst` eme (2) est globalement C

-stabilisable par une commande u(x) v´ erifiant ku(x)k ≤ η, pour tout x ∈ R

.

Soit α : R

× R

→ R

la fonction d´ efinie par :

α(x, u) = η

1 + K

(x) + 2ηK

(x) ϕ(x, u)

K

(x) = sup

kuk≤η

kϕ(x, u)k, K

(x) = sup

kuk≤η

k ∂ϕ

∂u (x, u)k Pour tous x ∈ R

et u ∈ R

tel que kuk ≤ η, on a :

kα(x, u)k ≤ η,

∂α

∂u (x, u)

≤ 1 2

Par application du th´ eor` eme du point fixe, pour tout x ∈ R

la fonction α(x, .) admet un point fixe unique u(x) = α(x, u(x)) d´ ependant continuement de x et v´ erifiant ku(x)k ≤ η, u(0) = 0. Il vient alors :

∆V (x) = V (f (x)) − V (x) − 1

η (1 + K

(x) + 2ηK

(x)) u

(x)u(x) ≤ 0 Le Th´ eor` eme d´ ecoule, comme pr´ ec´ edemment, du principe d’invariance de LaSalle.

References

R´ ef´ erences bibliographiques PUBLICATIONS

[1] R.W. B rockett , Asymptotic stability and feedback stabilization, dans Differential

Geometric Control Theory, Birkhauser, Boston, 1983, p. 181-191. [2] C.I. B yrnes ,

W. L in et B.K. G hosh , Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state

feedback, Systems & Control Letters, 21, 1993, p. 255-263. [3] W. H ahn , Stability of

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discrete-time systems: a Lie-algebraic approach, SIAM J. Control Optim., 28, 1990, p. 1-33.

[6] V. J urdjevic et J.P. Q uinn , Controllability and stability, Journal of Differential

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Processes, Springer-Verlag, New York, 1986.