Convexité holomorphe du revêtement de Malcev d'après S. Leroy

(1)

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Convexité holomorphe du revêtement de Malcev d’après S. Leroy

Benoît Claudon

To cite this version:

Benoît Claudon. Convexité holomorphe du revêtement de Malcev d’après S. Leroy. 2008. �hal-

00319102�

(2)

d'après Sandrine Leroy

Benoît Claudon

Résumé

Dansettenote,nousprésentons l'approhede[Ler99℄onernantle

as nilpotent delaonjeturede Shafarevih. Leas projetif esttraité

dans[Kat97 ℄ maisladémonstrationde S.Leroy proède demanièrein-

dépendanteets'appliqueaussibienauaskählérien.Elleestentièrement

fondéesurl'existenedesvariétésd'Albanesesupérieures(onstruitespar

R.Hain).

Introdution

Laonjeture deShafarevih [Sha74℄ prédit quele revêtementuniversel Xe

d'unevariétéprojetiveX ^estholomorphiquementonvexe(i.e.admetuneap- pliation holomorphe propre sur un espae de Stein). Dans toute sa général-

ité, ette onjeture est atuellement hors de portée mais, en imposant er-

taines onditionsalgébriquessurlegroupefondamental deX^,^il^devient^possi-

bled'obtenirlaonvexitéholomorphedeXe^.^Ainsi,^si^le^groupefondamentalest presque-abélien

1

, onmontre aisémentqueXe âdmetûneâppliation^propre^sur Cⁿ (revêtement universel de Alb(X^′)âve X^′ −→ X ^revêtement^étale ⁿⁱ ^de X⁾êtXe ^vérie^don^laônjeture^deShafarevih.

Dans la atégorie des groupes de type ni, les groupes nilpotents suè-

dentimmédiatementauxgroupesabéliensen equionernelaomplexitéal-

gébrique.NousmontronsiiquelaonjeturedeShafarevihestenorevériée

pouretteatégoriedegroupes(fondamentaux). Pluspréisément,si

π1(X)−→π1(X)nilp

désignela omplétion nilpotente (modulo torsion)de π1(X)^(voir^la ^setion¹

pour les notions utilisées), on notera X^nilp ^le ^revêtement ^dont ^le ^groupe ^de

Galoisestπ1(X)nilp^;X^nilp êstâussiâppelé ^revêtement^de^Mal£ev.

Théorème 0.1 ([Kat97℄,[Ler99℄)

Le revêtement de Mal£ev d'une variété kählérienne ompate X ^est ^holomor-

phiquement onvexe.

Corollaire0.1

Si π1(X)^est presque-nilpotent, Xe ^est holomorphiquementonvexe.

1

un groupeest dit presque-abélien (resp. presque-nilpotent)si iladmet unsous-groupe

d'indieniabélien(resp.nilpotent).

(3)

pelonslafaçondontproède[Kat97℄danslasituationd'ungroupeπ1(X)^nilpo-

tent sans torsion. Un tel groupe admettant des quotients abéliens libres non

triviaux, l'appliationd'Albanesede X âûne îmage ^de ^dimension^stritement

positive; notons α : X −→ S ^la fatorisation de Stein de ette appliation.

Remarquonstoutde suitequesiS ^est ^lisse,^ladémonstrationduthéorème0.1 est élémentaire et est reproduite au paragraphe3.1. Toute la diulté réside

don dans leséventuelles singularitésde S^, ^et ^obstale^étant^surmonté ^grâe

àl'utilisationde Struturesde HodgeMixtes 2

(voirleparagraphe2.1 pourles

notionsonsidérées).

Lesbresdeα^sont^les^sous-v^ariétésZ ^deX ^vériant^:

Im (H1(Z,Q)−→H1(X,Q)) = 0. ⁽¹⁾

L'existene deshm surles algèbresdeLieLC(π1(X)) ^etLC(π1(Z))^(théorème

2.1)etleuraratèrefontoriel,ombinésavelearatèrestritdesmorphismes

deshm(voir[Del71℄),permetdepasserdel'homologieàl'homotopie:

Im (H1(Z,Q)−→H1(X,Q)) = 0⇐⇒Im (π1(Z)−→π1(X)) ^est^ni. ⁽²⁾

L'appliationαînduitâlorsûne âppliation

˜

α:Xe −→Se

entre les revêtement universels qui est propre en vertu de (2). D'autre part,

S ^étant ^nie ^sur ûn ^tore, ^son ^revêtement ûniversel Se êst ^Stein êt Xe êst ^bien

holomorphiquementonvexe. Remarquonsenn quel'hypothèse projetiveest

essentielledansladémonstrationde[Kat97℄,ladémonstrationde(2)sefaisant

parrédutionauxasdesourbes(grâeauthéorèmedeLefshetz).

Ladémonstrationprésentéeiis'appuiedemanièreessentiellesurl'existene

desvariétésd'Albanesesupérieures.Cesvariétés,onstruitesparR.Hain(voir

[Hai87b℄), jouentlemême rle vis-à-visdes quotientsnilpotents(sans torsion)

deπ1(X)^que^la^variété^d'Albanese^usuelleAlb(X)^pourl'abélianisédugroupe fondamental (qui n'est autre que le premier quotient de la tour nilpotente).

Ainsi, si (Albs(X))s≥1 ^désigne^la ^suite^des ^variétés ^d'Albanese supérieures, le groupefondamental

π1(Albs(X))

est en partiulieranoniquementisomorphe au s^ième ^quotient ^sans ^torsion ^de π1(X)^.^Remarquons^tout^de^suite^que^es^variétés^sontessentiellementdesquo- tientsdegroupesdeLie(simplementonnexes)omplexesnilpotentsetqu'elles

ne sonten généralpasompates,ni mêmekählériennes.Ces variétéss'organ-

isentenune tourdebrationsprinipales:

· · · −→Albs+1(X)−→Albs(X)−→ · · · −→Alb1(X) = Alb(X)

debresdesquotientsdegroupesdeLieomplexesabéliens.Rappelonsdeplus

quelavariétéX ^est^elle-même^munie^de^morphismes αs:X−→Albs(X)

2

shmdanstoutelasuite.

(4)

Ladémonstrationonsistealorsàremarquerquelasuitedesimages

(αs(X)⊂Albs(X))s≥1

stationne pours âssez^grand^(e ^qui ^n'est ^bien êntendu ^pasnéessairementle asde latournilpotente). LerevêtementdeMal£evX^nilp êstâlorsessentielle- mentobtenuentirantenarrièreparl'appliationαs^le^revêtementûniversel^de

Albs(X)^(poursâssez^grand).^Leâratère^Stein ^deê ^dernier^permetâlors^de

onlurequantàlaonvexitéholomorphedeX^nilp^.

Dansunpremiertemps,nousdonneronsquelquesélémentsderappelssurla

suiteentraled'ungroupedetypeniainsiquesurlaomplétiondeMal£evd'un

groupe(detypeni) nilpotentsanstorsion.L'existened'uneshmsurlaom-

plétiondeMal£evdeπ1(X)^(pourX ^variétékählérienneompate)permetalors d'expliiter laonstrutiondesvariétésd'Albanese supérieureset d'en obtenir

les propriétés essentielles.Dans la dernièrepartie, nous montrerons omment

rendreeetiveslesgrandeslignesdéritesi-dessus.

Remarque 0.1

AprèsavoirétudiéleasnilpotentdelaonjeturedeShafarevih,ilsemblerait

naturel de s'intéresser à la situation d'un groupe fondamental résoluble. Or,

il se trouve que la atégorie des groupes kählériens possèdent des propriétés

très partiulières;enpartiulier,T. Delzantmontredans[Del07℄qu'ungroupe

kählérienrésolubleest automatiquementpresque-nilpotent.Leasrésolublede

laonjeturedeShafarevihestdonomprisdansleorollaire0.1.

Remarque 0.2

Conernant la onjeture de Shafarevih, les résultats les plus signiatifs à

l'heure atuelle onernent les revêtement linéaires, omme 'est le as dans

[Eys04℄. Les groupesnilpotents (de type ni) étant eux-mêmes linéaires (voir

[Seg83,hap.5℄),lesrésultatsde[Eys04℄impliquentdonlethéorème0.1.Ilnous

aependantsembléintéressantd'exposerladémonstrationi-dessouspourson

aratèreoriginal.

1 Rappels et préliminaires

1.1 Suite entrale desendante

SoitGûn^groupe^de ^type^ni.Ônâssoie^àG^sa ^suiteêntrale^deendante

dénie par:

G1=G ^et ∀i≥1, Gi+1= [Gi, G]

UntelgroupeG^est^dit^nilpotent^de^lasse^au^pluss^siGs+1={1}^.^Les^quotients

suessifsassoiésàlasuiteentrales'organiseenunetour

· · ·G/Gi+1−→G/Gi−→ · · ·G/G3−→G/G2=Gab−→1,

lesextensions

1−→Gi/Gi+1−→G/Gi+1−→G/Gi−→1

étantentralesparonstrution,aveG/Gi+1 ^nilpotent^de^lasse^au^plusi^.

(5)

Onnote

Tor (G) ={g∈G| ∃n≥1, gⁿ= 1}

la torsionde G^. ^Si G êst ^nilpotent, Tor (G) êstûn sous-groupe aratéristique de G êt ^le^groupe Gst =G/Tor (G) êst ^sans ^torsion. ^Si ^de ^plus G êst ^de ^type

ni, Tor (G) ^est^ni.

Ceis'applique enpartiulierauxquotientsG/Gi^;^on^note^alors

G^′i = Ker (G−→(G/Gi)_st) ={g∈G| ∃n≥1, gⁿ∈Gi}.

Dénition1.1

SoitG^un^groupe^de ^type^ni. ^On^note

G∞=\

i≥1

G^′_i ^etGnilp=G/G∞.

Gnilp ^s'appelle ^la ^omplétion ^nilpotente ^modulo ^torsion^;^'est ^le ^plus^gros ^quo-

tientde G^obtenu^omme^limite^projetive ^de ^groupes^nilpotents^sans ^torsion.

1.2 Complétion de Mal£ev

La atégoriedes groupesnilpotents de type ni possède des propriétés de

nitude tout à fait remarquables. Ainsi, si G ^est ^un ^groupe ^de ^type ^ni, ^les

quotientsGi/Gi+1 ^restent^de^typeⁿⁱ^[Seg83,ôr.^7,^p.^13℄ êt,^siGêst^de^plus

nilpotent,ilestobtenuparunesuitenied'extensionsentralespardesgroupes

detypeni.

La suite entrale desendante possède une autre propriété intéressante, à

savoir:

∀i, j≥1,[Gi, Gj]⊂Gi+j. ⁽³⁾

SiK ^désigneûnôrps^dearatéristique0etsiGêst^nilpotent^(de^lasses⁾^de

typeni,ononsidère

LK(G) = Ms

i=1

(Gi/Gi+1)⊗K

qui est anoniquement munie d'une struture d'algèbre de Lie (de dimension

nie) sur K ^: ^d'après ^3, ^le ^rohet[x, y] = xyx⁻¹y⁻¹ ^dans G înduit ûn êet

unrohetde Liesur LK(G)^.^Celle-i ^hérite immédiatementdespropriétés de

G ^: ^'est ^une ^algèbre^de ^Lie nilpotente. Laformule de Campbell-Haussdorfse réduit alorsen une identité polynmiale et permet de munirl'espae vetoriel

sous-jaentàLK(G)^d'une^struture^de^groupe^de^Lie^dont^l'algèbre^de^Lieêst LK(G) ^(voir^le^hapitre⁵^de^[BK81℄).^Le ^groupeâinsi ôbtenu êstûne ^sorte^de

omplétion deG^.

Théorème 1.1 (Mal£ev,[Mal49℄)

Soit G ûn ^groupe ^nilpotent ^de ^type ⁿⁱ êt K ûnôrps ^de aratéristique 0. Il existe alors ununique groupede Lie GˆK ^nilpotent ^déni^surK êt^d'algèbre^de

LieLK(G)^,^ainsi ^qu'un^morphisme

i:G−→GˆK

telque:

(6)

1. Ker(i) =^T^or(G)^et

2. Im(i)êstôompate^dansGˆR^.^SiGêstsans-torsion,onpeutdonanon- iquementréaliser G ômme ^réseau ^d'un^groupe ^de ^Lie ^nilpotent ^(simple-

mentonnexe).

Le groupe GˆK ^s'appelle ^la ^omplétion ^de ^Mal£ev ^de G^. ^Dans ^la ^suite, ^on ^va

s'intéresserauas où G^est ^un^des ^quotients^nilpotents sans-torsiondeπ1(X)

aveX kählérienneompate.

2 Variétés d'Albanese supérieures

2.1 Strutures de Hodge mixtes

Nousallons brièvement exposer iila onstrution desvariétés d'Albanese

supérieuressupérieures(dûeàR.Hain)assoiéesàunevariétékählérienneom-

pateX^.^Celle-i^repose^sur^l'existene^d'une^shm ^sur^la^omplétion^de^Mal£ev

du groupefondamental de X^.Ân ^d'alléger ^le^formalisme întroduit î-dessus,

nousadopteronslesnotationssuivantespourX êstûne^variétékählérienneom- pateets≥1 ûnêntier^:

- G_s(C) =LC π1(X)/π1(X)^′s+1

et

- Gs(C)^la^omplétion^de^Malev^deπ1(X)/π1(X)^′_s+1 ^dénie^surC^.

Rappelonstout d'abordlanotiondeshm.

Dénition2.1

Une shm de poids k ^sur ^un Q^-espae ^vetoriel ^de ^dimension ^nie HQ ^est ^la

donnée d'une ltration roissante W^• ^de HQ ^(dite ^ltr^ation ^par ^le ^poids) ^et

d'une ltration déroissante F^• ^de HC = HQ⊗C ^(dite ^ltration ^de ^Hodge)

ompatiblesdanslesenssuivant:la ltrationF^• ^induit ^sur^haque ^gradué Gr^W_n (H) =Wⁿ(HQ)/Wⁿ⁻¹(HQ)

une struturede Hodge(rationnelle)pure depoids n+k^.

L'undesintérêtsmajeursdesshm résidedanslerésultatsuivant.

Théorème 2.1 (Deligne, [Del71℄)

Lesmorphismes de shmsont stritspour lesltrationsW^• ^etF^• ^:^si φ: (HQ, W, F)−→(VQ, U, G)

estunmorphisme de shm,on aalors

Im(φ)∩U^•(VQ) = φ(W^•(HQ)) Im(φ)∩G^•(VC) = φ(F^•(HC))

LestravauxdeHainmontrentquel'algèbredeLiedeMal£evdugroupefonda-

mentald'unevariétékählérienneompateestnaturellementmunied'uneshm.

Théorème 2.2 (Hain,[Hai87a℄)

SoitX ûne ^variétékählérienne ompate ets≥1^.Îlêxiste ûne ^shm^surG_s(C)

(fontorielle en X⁾ ^dont ^la ^ltration ^par ^le ^poids W^• ^est ^donnée ^par ^la ^suite

entrale desendantede l'algèbrede LieG_s(C)^.^De^plus,^pour^ette^struture,^le

rohet de Lieestunmorphisme de struturedeHodge mixte.

(7)

pourêtreexposéeen quelqueslignes;nous renvoyonsà[PS08℄ pourune expo-

sitionraisonnabledesonstrutionsdeHain.

NotonsF^• ^la ^ltration^de ^Hodgeôbtenue ^surG_s(C) êt ônsidérons^l'appli-

ationexponentielle

exp :G_s(C)−→Gs(C).

LegroupedeLieGs(C)^étant^nilpotentêt^simplementônnexe,êtteâppliation

est undiéomorphismeet,parabusdenotation,nousnoterons

F⁰Gs(C) = exp(F⁰(G_s(C)))

lesous-groupeferméassoiéeàlasous-algèbreF⁰(G_s(C))^.

2.2 Constrution des variétés d'Albanese supérieures

Dans[Hai87b℄,R.Hainmontrelerésultatsuivant:

Théorème 2.3 (Hain,[Hai87b℄)

Soit X ^une ^variété kählérienne ompate. Il existe alors des variétés lisses

(Albs(X))_s≥1 ^et^des^morphismes (holomorphes)

αs:X−→Albs(X)^etπs: Albs+1(X)−→Albs(X)

rendantlediagramme suivantommutatif:

X

αs+1

xxpppppppppppp

αs

α1

))

RR RR RR RR RR RR RR R

//

_ _

_ Albs+1(X) ^π^s //Albs(X)_ _ _ _ _ _//Alb1(X)

Lespropriétés suivantessont égalementsatisfaites :

1. Alb1(X)ôinideâve^la ^variété ^d'Albanese ûsuelle^(ainsi ^queα1^),

2. lesmorphismesαs ^induisent^desisomorphismes

αs:π1(X)/π1(X)^′_s−→^∼ π1(Albs(X))

3. etles projetionsπs: Albs+1(X)−→Albs(X)^sont ^des^brations ^prini-

pales debreunquotientd'ungroupede Lieomplexeonnexeetabélien.

Indiquonsbrièvementommentdérireesvariétés.Les^ième^quotient Gs(Z) =π1(X)/π1(X)^′_s

seplongedanssaomplétion deMal£evGs(C)^sur^laquelle îlâgit^librementêt

proprementdisontinûment 3

. Le quotient Gs(Z)\Gs(C)ônstitue ûnândidat

naturelpourAlbs(X)^mais^il ^sut ^d'examiner^la^situation^pours= 1^pour^se

onvainrequ'ilnousfaut modier ettedénition naïve.En eet,pours= 1^,

l'abélianisé(sans-torsion)dugroupefondamentaleest

G1(Z) =π1(X)/π1(X)^′2≃Z^2g

3

ilfautiibiensegarderderoirequelequotientestompat,equiestleassionhoisit

R^au^lieu^deC

(8)

aveg=q(X)^et^nous^avons

G1(C) =G1(Z)⊗C≃C^2g.

Le quotient naïf G1(Z)\G1(C)^ne ^représente ^pas ^la^variété ^d'Albanese ^usuelle

et nous devons faire un quotient intermédiaire pour éliminer la "partie anti-

holomorphe"deGs(C)^. ^Selon^R.^Hain,^les^quotients^suivants Albs(X) =Gs(Z)\Gs(C)/F⁰Gs(C)

vérienttouteslespropriétésénonéesdanslethéorème2.3.

Remarque 2.1

Lesbrationsπs: Albs+1(X)−→Albs(X)^se^déduisent^aisément^des^extensions

entrales(d'algèbresdeLieetdegroupesdeLie respetivement)

0−→π1(X)s+1/π1(X)s+2⊗C−→G_s+1(C)−→G_s(C)−→0

et1−→π1(X)s+1/π1(X)s+2⊗C−→Gs+1(C)−→Gs(C)−→0

Remarque 2.2

Outre l'expliation fournie i-dessus, le fait de quotienter Gs(C) ^par ^le ^sous-

groupeF⁰Gs(C)^a^également^pour^fontion^de^rendre^le^morphisme^d'Albanese αsholomorphe.

Nous aurons également besoin de la propriété suivante des variétés d'Al-

banesesupérieures, onséquenediretedelaonstrutionévoquéei-dessus.

Proposition2.1

Pour s≥1^,^le^revêtement ûniversel^de Albs(X)êst analytiquement isomorphe àunespae Cⁿ^;ên partiulier,

Alb^s(X)^est^Stein.

3 Convexité holomorphe de

X

^nilp

3.1 Un as partiulier

Nous ommençons parexposer un as partiulier intéressant du théorème

0.1, elui orrespondant à la situation où l'image de X ^par ^son ^appliation

d'Albanese(usuelle)estlisse.Eneet,ladémonstrationduasgénéralestassez

similaire àellede e aspartiulier(à ladiérene qu'ilnousfaudra prendre

enomptetouteslesvariétésd'Albanesesupérieures).Nousallonsnousappuyer

surlerésultatsuivant.

Théorème 3.1 ([Cam95℄)

Soit X ^une ^variété kählérienne ompate, αX :X −→ Alb(X)^son ^appliation

d'AlbaneseetdésignonsparY ^un^modèle^lisse^de^l'imageαX(X)^.^Le^morphisme

naturelπ1(X)−→π1(Y)înduitûn^morphismeêntrê^lesômplétionsnilpotentes (modulo torsion)

α^nilp_∗ :π1(X)nilp −→π1(Y)nilp

qui estinjetifet dontl'image est d'indienie dansπ1(Y)nilp^.

(9)

ladémonstrationde[Cam95℄proèdeependantdefaçonindépendanteettout

àfaitélémentaire.

Démonstration du théorème0.1 ave αX(X) ^lisse^:

SoitY =αX(X)⊂Alb(X)^l'image^deX^par^sonâppliationd'Albanese.Le théorème3.1nousindiquequelemorphismeα:X−→Y înduitûn^morphisme

α^nilp_∗ :π1(X)nilp −→π1(Y)nilp

injetif et d'imaged'indienie. Considéronsalors Ye ^l'image^réiproque^de Y

dans

Alb(X)^ ^:

Ye

// ^Alb(X)

Y //Alb(X) ;

lemorphismeπ1(Y)−→π1(Alb(X))^étant^surjetif,Ye ^est^onnexe. ^CommeYe

estferméedans

Alb(X)^ ^quiêst^Stein, Ye êst^égalementûne^variété^de^Stein.^Le

revêtement Ye −→ Y êst ûn ^revêtement âbélien^; îl êst ^partiulier ^dominé ^par Y^nilp ^:

Y^nilp−→Ye −→Y.

LavariétéY^nilpêst^donêlleâussi^Stein,ômme^revêtement^étale^d'une^variété

Stein[Ste56℄.Deplus,l'injetivitédumorphismeα^nilp∗ ^montre^quel'appliation

α:X −→Y ^se^relève^àX^nilp ^en^un^diagramme X^nilp ^α^˜ //

Y^nilp

X ^α //Y.

Lefaitqueα^nilp∗ âit ûneîmage^d'indie^nie^dansπ1(Y)nilp ^montreîmmédiate-

mentquel'appliationα˜êst^propre^;X^nilpêstâlorsholomorphiquementonvexe (aradmettantuneappliationpropresurune variétéStein).

3.2 Démonstration du théorème 0.1

Commeil en aété fait mentioni-dessus, ladémonstration du asgénéral

proède delamêmemanièrequeelleprésentée dansleparagraphepréédent.

En revanhe,ilnousfautmaintenantprendre enompte toutelatourdesvar-

iétésd'AlbaneseetplusseulementAlb1(X)^.^Le^fait^ruial^est^que^ette^tour^se

stabilise àpartird'un ertain rang(ontrairement àe qu'ilse passe pourles

quotientssuessifsdelasuiteentraledeπ1(X)^).

NotonseneetYs=αs(X)^les^images^deX ^par^ses^morphismes^d'Albanese

(10)

X

αs+1

||zzzzzzzz

αs

α1

&&

NN NN NN NN NN NN N

//

_ _ _ Ys+1

πs

//Ys //______ Y1

danslequellesappliationsαs ^etπs^sontsurjetives.

Lemme 3.1

SoitX ûnêspaeômplexeirrédutibleompat munie d'undiagramme omme i-dessus; il existe alors unentier k ≥1 ^à ^partir^duquel ^les normaliséesYˆs ^de

Ys ^sontbiholomorphes entreelles.

Tenantpouraquislelemme préédent,nouspouvonsonlurela

Démonstration du théorème0.1 :

Soiteneetunentierk≥1 ^donné^par^le^lemme^3.1^ets≥k^;^on^sait^don

que les normalisées Yˆs ^des îmages Ys ^sont ^toutes biholomorphes à une même variétéquenousnoteronsYˆ^.Ôn^peutâlorsônstruire^le^diagramme^suivant

Zs f ns

//

Y_s^′ //

Alb^s(X)

Yˆ ⁿ

s //Ys //Albs(X)

danslequelZs^est ^le^produit^bré

Zs= ˆY ×YsY_s^′.

Commelemorphismeαs^se^relève^en

X −→^α^ˆ^s Yˆ −→Albs(X),

onobtientlediagrammesuivant

π1(X) ^α^s^∗ ////

##

HH HH HH HH

H π1(Albs(X))

π1( ˆY)

88

rr rr rr rr rr

danslequellaèheαs∗êst^surjetive.Ônên^déduit^que^le^morphismeπ1( ˆY)−→

π1(Albs(X)) êst ^surjetif, ôu ênore ^que ^le ^produit ^bré Zs êst ônnexe. ^Le

revêtementZs−→Yˆ ^est^don^un^revêtement^galoisien^(onnexe)^de^groupe^de

Galois:

Gal Zs/Yˆ

=π1(Albs(X)) =π1(X)/π1(X)^′_s. ⁽⁴⁾

Remarquonstout desuiteque Zs ^est ^Stein^: ^le^morphismefns ^étant^déduit ^du

morphismedenormalisationns^par^produit^bré,îlêst^donⁿⁱêtY_s^′ êst^Stein

arferméedans

Alb^s(X)(proposition2.1).Ononlutalorsquantauaratère