OD11 – Tige solide et module d’Young

OD11 – Tige solide et module d’Young

OD12 – Corde avec frottement fluide

OD13 – Câble coaxial

OD14 – Corde de Melde

OD15 – Décomposition en série de Fourier

OD16 - Vibrations longitudinales d'une lame de céramique

1°) La tranche qui se trouve au repos entre les plans d'abscisses x et x+dx s'est allongée de 𝑦𝑦(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) en présence de la déformation donc, l'allongement relatif de cette tranche est :

𝑦𝑦(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑦𝑦

𝜕𝜕𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

au premier ordre en dx. La force de traction exercée par la partie droite de la lame sur la partie gauche est dirigée dans le sens positif de l'axe Ox si le matériau est allongé donc la force recherchée est bien :

𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐸𝐸 ^{𝜕𝜕𝜕𝜕} _{𝜕𝜕𝜕𝜕} (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) .

2°) La tranche qui se trouve au repos entre les plans d'abscisses x et x+dx est soumise aux deux forces de traction en x + dx et en x. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur Ox donne :

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕²𝑦𝑦

𝜕𝜕𝑡𝑡² = 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) soit, au premier ordre en dx et après simplification par dx :

𝜇𝜇 ₀ 𝐸𝐸 𝜕𝜕²𝑦𝑦

𝜕𝜕𝑡𝑡² = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜕𝜕²𝑦𝑦

𝜕𝜕𝑥𝑥² (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ou encore :

C'est bien une équation de d'Alembert à une dimension. La célérité des ondes est 𝑐𝑐 =

� _𝜇𝜇 ^𝐸𝐸

0

. Nous retrouvons l'expression vue dans le cours mais présentée à partir d'un modèle différent.

Application numérique : c = 4851 m.s

3°) Les solutions de cette équation sont de la forme :

𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑡𝑡) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑡𝑡) , le premier terme représentant une onde plane

progressive dans le sens des x croissants et le second une onde plane progressive dans le

sens des x décroissants, les deux ondes se propageant à la vitesse c.

OD17 – Corde plombée

1°) Dans les deux parties de la corde, nous pouvons écrire l'élongation y(x,t) comme la superposition de deux ondes qui se propagent en sens inverse ou comme des ondes stationnaires. Choisissons cette seconde possibilité. Les conditions aux limites imposant : 𝑦𝑦(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝐿𝐿, 𝑡𝑡) = 0, l'élongation dans les deux parties de la corde s'écrit :

- pour 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ^𝐿𝐿 ₂ , 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑦𝑦 ₁ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 ₁ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡)

- pour ^𝐿𝐿 ₂ ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐿𝐿 , 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑦𝑦 ₂ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 ₂ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥))𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) avec ω _{= 𝑘𝑘𝑐𝑐.}

Les conditions aux limites en 𝑥𝑥 = ^𝐿𝐿 ₂ sont données par la continuité de l'élongation et par le PFD appliqué à la masse m.

𝑌𝑌(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 ₁ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘 ^𝐿𝐿 ₂ )𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 ₂ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘(𝐿𝐿 − ^𝐿𝐿 ₂ ))𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑑𝑑 𝑑𝑑²𝑌𝑌

𝑑𝑑𝑡𝑡² 𝑢𝑢 ����⃗ _𝜕𝜕 = 𝑇𝑇�⃗ � 𝐿𝐿 ⁺

2 , 𝑡𝑡� − 𝑇𝑇�⃗ � 𝐿𝐿 ⁻ 2 , 𝑡𝑡�

En projection sur l'axe Ox, au premier ordre non nul, cette équation montre que le module de la tension est le même dans les deux parties de la corde, égal à 𝑇𝑇 ₀ . En projection sur l'axe Oy, nous obtenons :

𝑑𝑑 𝑑𝑑²𝑌𝑌

𝑑𝑑𝑡𝑡² 𝑢𝑢 ����⃗ _𝜕𝜕 = 𝑇𝑇 ₀ 𝜕𝜕𝑦𝑦 ₂

𝜕𝜕𝑥𝑥 � 𝐿𝐿

2 , 𝑡𝑡� − 𝑇𝑇 ₀ 𝜕𝜕𝑦𝑦 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 � 𝐿𝐿 2 , 𝑡𝑡�

ce qui donne :

−𝑑𝑑𝐴𝐴 ₁ ω ²sin(𝑘𝑘 𝐿𝐿

2) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) = −𝑘𝑘𝑇𝑇 ₀ (𝐴𝐴 ₂ + 𝐴𝐴 ₁ )𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑘 𝐿𝐿

2) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) Les amplitudes 𝐴𝐴 2 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐴𝐴 1 vérifient donc le système d'équations :

� ( 𝐴𝐴 1 − 𝐴𝐴 2 ) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑘𝑘 𝐿𝐿 2 � = 0 𝑑𝑑𝐴𝐴 ₁ ω ²sin(𝑘𝑘 𝐿𝐿

2) = 𝑘𝑘𝑇𝑇 ₀ (𝐴𝐴 ₂ + 𝐴𝐴 ₁ )𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑘 𝐿𝐿 2) 2°)

a) Si 𝑘𝑘𝐿𝐿 = 2𝑠𝑠𝑛𝑛 où n est un nombre entier, 𝐴𝐴 ₁ = − 𝐴𝐴 ₂ . Les élongations 𝑦𝑦 ₁ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑦𝑦 ₂ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) sont les restrictions aux deux demi-cordes des modes propres de la corde non plombée. La présence de la masse ne modifie pas le mouvement de la corde. Elle se trouve sur un nœud de vibration donc ne bouge pas.

b) Si 𝑘𝑘𝐿𝐿 ≠ 2𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝐴𝐴 ₁ = 𝐴𝐴 ₂ et tan(𝑘𝑘 ^𝐿𝐿 ₂ ) = ^{2𝑘𝑘𝑇𝑇} _{𝑚𝑚 ω}

_²

⇔ _{𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠 �} ^𝜔𝜔

𝑐𝑐 𝐿𝐿

2 � = ² _𝑚𝑚

^µ _ω ^𝑐𝑐

⇔ _{𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠(} ^{𝜔𝜔𝐿𝐿}

2𝑐𝑐 ) = 2 µ _𝑐𝑐 𝑑𝑑 ω

La pulsation ω vérifie donc l'équation : 𝑐𝑐𝑐𝑐tan( ^{𝜔𝜔𝐿𝐿} _2𝑐𝑐 ) = ^{𝜔𝜔𝐿𝐿} _2𝑐𝑐 ∗ _µ ^𝑚𝑚 _𝐿𝐿

Posons 𝑋𝑋 = ^{𝜔𝜔𝐿𝐿} _2𝑐𝑐 . Les valeurs possibles de X sont données par l'intersection de la courbe 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠(𝑋𝑋) = 𝑡𝑡𝑋𝑋 𝑐𝑐ù 𝑡𝑡 = _µ ^𝑚𝑚 _𝐿𝐿

Il y a une pulsation propre dans chaque intervalle [(𝑠𝑠 − 1)𝑛𝑛, 𝑠𝑠𝑛𝑛] pour X donc dans chaque intervalle �(𝑠𝑠 − 1) ^{2𝜋𝜋𝑐𝑐} _𝐿𝐿 , 𝑠𝑠 ^{2𝜋𝜋𝑐𝑐} _𝐿𝐿 � pour ω.

- Si 𝑑𝑑 ≪ 𝜇𝜇𝐿𝐿, la pente de la droite est très faible et les intersections entre la droite et la courbe cotan(X) sont très proches des zéros de la fonction cotan(X), soit :

𝑋𝑋 = 𝑠𝑠𝑛𝑛

2 𝑒𝑒𝑡𝑡 ω _{= 𝑠𝑠} ^{𝑛𝑛𝑐𝑐}

Nous retrouvons les pulsations propres de la corde non lestée, c'est normal puisque 𝐿𝐿 la masse du lest est négligeable.

- Si 𝑑𝑑 ≫ 𝜇𝜇𝐿𝐿 , la pente de la droite est très grande et l'intersection entre la droite et la courbe cotan(X) est très proche de 0. Un développement limité au premier ordre de l'équation vérifiée par les pulsations propres donne :

tan �𝑘𝑘 𝐿𝐿

2 � = 2𝑘𝑘𝑇𝑇 0

𝑑𝑑 ω ²

⇔ _𝑘𝑘 ^𝐿𝐿 2 =

2𝑘𝑘𝑇𝑇 ₀ 𝑑𝑑 ω ² ⇔ ^𝐿𝐿

2 = 2𝑇𝑇 ₀ 𝑑𝑑 ω ²

⇔ ω = 2� _{𝑚𝑚𝐿𝐿} ^𝑇𝑇

.

Chaque demi-corde oscille en bloc (la longueur d'onde est très grande devant la longueur de la corde) et se comporte comme un ressort de raideur k telle que :

⇔ _𝑑𝑑 ω ² = k

⇔ _{k =} ^𝑇𝑇

𝐿𝐿/4 .

OD21 – Intensité sonore

1°) La surpression et l'amplitude de déplacement sont reliées par : 𝑝𝑝 ₁ = 𝑍𝑍𝑣𝑣 ₁ ⇒ _{𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜇𝜇 0 𝑐𝑐 𝜔𝜔𝜉𝜉 ��� 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝑣𝑣

donc l'onde de fréquence deux fois plus grande correspond à une surpression deux fois plus grande. Son intensité sonore 𝐼𝐼 =< 𝑝𝑝 ₁ 𝑣𝑣 ₁ > est quatre fois plus grande que celle de l'autre onde.

𝐼𝐼 ₂ = 4𝐼𝐼 ₁ En décibels 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 log � _𝐼𝐼 ^𝐼𝐼

𝑟𝑟é𝑒𝑒

� , elle est supérieure de 6dB à celle de l'autre onde : 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑2} − 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑1} = 10 log � 𝐼𝐼 ₂

𝐼𝐼 ₁ � = 10 log(4) = 6𝑑𝑑𝑑𝑑

2°) L'intensité sonore est augmentée de 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 log(9) = 9,5 dB quand on triple l'amplitude de l'onde.

3°) Nous avons vu que 𝑝𝑝 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝜔𝜔𝜉𝜉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} donc ici 𝑝𝑝 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 50𝑃𝑃𝑡𝑡 en prenant c= 340 m.s

et 𝜇𝜇 ₀ = 1, 3 𝑘𝑘𝑔𝑔. 𝑑𝑑 ⁻³ . L'intensité sonore correspondante est de 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 log � _2.10 ⁵⁰

� = 128 dB, voisine du seuil de douleur.

4°) Un seul pétard émet une intensité sonore inférieure de 10 log 2 = 3 dB à celle qu'émettent les deux pétards, donc une intensité sonore de 87 dB. En effet :

𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑1} = 10 log � 𝐼𝐼 ₁

𝐼𝐼 _{𝑟𝑟é𝑒𝑒} � 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑2} = 10 log � 𝐼𝐼 ₂

𝐼𝐼 _{𝑟𝑟é𝑒𝑒} � = 10 log � 2𝐼𝐼 ₁ 𝐼𝐼 _{𝑟𝑟é𝑒𝑒} �

⇒ _{𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑1 = 𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑2 −} 10𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔2 = 87𝑑𝑑𝑑𝑑

OD22 – Tuyau d’orgue

OD23 – Fréquences propres d’une sphère rigide

OD24 – Le vent porte le son

3°) a)

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑝𝑝 ₁ = 𝑐𝑐 ² 𝜇𝜇 ₁ µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + µ _{0 𝑣𝑣 0} ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 ₁

𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁ 𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑡𝑡 + µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0

⇒ _� µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑣𝑣 ₀ �− 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 � = −𝑐𝑐 ² 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ µ ₀ ^{𝜕𝜕 2 𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡 ² − 𝑣𝑣 0 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑡𝑡 µ ₀ ^{𝜕𝜕 2 𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 ₀ �− 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² � = −𝑐𝑐 ² 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

⇒ ₋ ^{𝜕𝜕 2 𝜇𝜇 1}

𝜕𝜕𝑡𝑡 ² − 𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑣𝑣 ₀ �− 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕 ² 𝑥𝑥 � = −𝑐𝑐 ² 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

⇒ ^{𝜕𝜕 2} µ ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡 ² + 2𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕 ² µ ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑡𝑡 = (𝑐𝑐 ² − 𝑣𝑣 ₀ ² ) 𝜕𝜕 ² µ ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

OD25 – Ondes sphériques

1°) La surpression vérifie l'équation de d'Alembert tridimensionnelle :

∆𝑝𝑝 ₁ = 1 𝑐𝑐²

𝜕𝜕²𝑝𝑝 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡 ²

Dans le problème à symétrie sphérique qui nous intéresse, cette équation s'écrit : 1

𝑟𝑟

𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑝𝑝 ₁ )

𝜕𝜕𝑟𝑟² = 1

𝑐𝑐²

𝜕𝜕²𝑝𝑝 ₁

𝜕𝜕𝑡𝑡 ² ⇔ ^{𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑝𝑝 1 )}

𝜕𝜕𝑟𝑟² = 1

𝑐𝑐²

𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑝𝑝 ₁ )

𝜕𝜕𝑡𝑡 ²

La fonction (𝑟𝑟𝑝𝑝 ₁ ) vérifie l'équation de d'Alembert unidimensionnelle donc se met sous la forme :

𝑝𝑝 1 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓 �𝑡𝑡 − 𝑟𝑟𝑐𝑐�

������� 𝑟𝑟

𝑜𝑜𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠ℎé𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑔𝑔 �𝑡𝑡 + 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑐𝑐�

�������

𝑜𝑜𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠ℎé𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒

2°) Utilisons l'équation d'Euler linéarisée dans le cadre de l'approximation acoustique :

𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − 1 𝜇𝜇 ₀

𝜕𝜕𝑝𝑝 ₁ Or : 𝜕𝜕𝑟𝑟

𝑝𝑝 ₁ (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ₀

𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟)

⇒ 𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − 1 𝜇𝜇 0 � 𝑝𝑝 0

𝑟𝑟 (−𝑠𝑠𝑘𝑘)𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) − 𝑝𝑝 0

𝑟𝑟² 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) �

= 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) �𝑠𝑠𝑘𝑘 + 1 𝑟𝑟 � Donc :

𝑢𝑢 = 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑟𝑟 � 1

𝑠𝑠 ω ^{� 𝑒𝑒} 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) �𝑠𝑠𝑘𝑘 + 1

𝑟𝑟 � + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒

= 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 � 𝑐𝑐

𝑟𝑟²𝑠𝑠𝜔𝜔 + 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑠𝑠

𝑟𝑟𝑠𝑠𝜔𝜔 � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒

= 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 �− 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑟𝑟²𝜔𝜔 + 1

𝑟𝑟 � 𝑒𝑒 ^{𝑟𝑟( ω 𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟)} + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒 ce qui donne (en éliminant tout champ statique) :

𝑢𝑢�⃗(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 � 1

𝑟𝑟 − 𝑠𝑠𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟² � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑟𝑟 = 𝑢𝑢�⃗ 1 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) + 𝑢𝑢�⃗ 2 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) 𝑐𝑐ù 𝑢𝑢�⃗ ₁ (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 0

𝜇𝜇 0 𝑐𝑐 1

𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑢𝑢�⃗ ₂ (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 �− 𝑠𝑠𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟² � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟

Le premier terme, en ¹ _𝑟𝑟 , prédomine quand r est grand, il est appelé champ lointain, le

second, en, _{𝑘𝑘𝑟𝑟²} ¹ = _{2𝜋𝜋𝑟𝑟²} ^𝜆𝜆 , prédomine quand r est petit, il est appelé champ proche.

La limite entre les deux champs est de l'ordre de la longueur d'onde : si 𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆, �𝑢𝑢�⃗ 1 � ≫ �𝑢𝑢�⃗ 2 � et inversement si 𝑟𝑟 ≪ 𝜆𝜆 .

Le champ proche est en quadrature de phase avec la surpression, la valeur moyenne de 𝑝𝑝 1 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡)𝑢𝑢 2 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) est donc nulle (si 𝑝𝑝 1 est en 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝜔𝜔𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 2 est en 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 ( 𝜔𝜔𝑡𝑡 ) et réciproquement). Seul le champ lointain, en phase avec la surpression, contribue à l'intensité de l'onde.

3°)

Soit : 𝑢𝑢 = _𝜇𝜇 ^𝑠𝑠

0

𝑐𝑐 �− _𝑟𝑟 ^{𝑟𝑟𝑐𝑐}

_𝜔𝜔 + ¹ _𝑟𝑟 � 𝑒𝑒 ^{𝑟𝑟( ω 𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟)} = ^𝑠𝑠

_𝜇𝜇 ^{(𝑟𝑟,𝑑𝑑)}

0

𝑐𝑐 �1 − _{𝑟𝑟𝑘𝑘} ^𝑟𝑟 � ⇒ _{𝑍𝑍 =} ^𝜇𝜇

^𝑐𝑐

1−

= ^𝜇𝜇

^𝑐𝑐

1−

Si 𝑟𝑟 ≪ 𝜆𝜆, 𝑍𝑍~𝑠𝑠𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑟𝑟 est imaginaire pure : la surpression et la vitesse sont en quadrature (le champ proche prédomine).

Si 𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆, 𝑍𝑍~𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 c'est l'impédance d'une onde plane progressive. À des distances grandes devant la longueur d'onde, l'onde apparaît comme quasi-plane.

4°) Au niveau de la sphère pulsante, la composante normale de la vitesse du fluide est égale à celle de la sphère donc 𝑢𝑢(𝑟𝑟(𝑡𝑡), 𝑡𝑡) = −𝑡𝑡 ω _{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(} ω _𝑡𝑡). L'amplitude des mouvements de la sphère étant petite, nous écrirons cette condition en 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 ₀ et non en 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟(𝑡𝑡). D'autre part, λ = 6.8𝑑𝑑 ≫ 𝑟𝑟 ₀ ∶ au voisinage de la sphère, le champ des vitesses se réduit au champ proche. Finalement, en écrivant la condition ci-dessus en notation complexe, nous arrivons à l'expression :

− 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐

𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑟𝑟 ₀ ² = 𝑠𝑠𝑡𝑡𝜔𝜔 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑢𝑢�⃗(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 � 1

𝑟𝑟 − 𝑠𝑠𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟 ² � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟 ⇔ _{𝑝𝑝 0 = −𝑡𝑡𝜇𝜇 0 𝜔𝜔²𝑟𝑟 0} ² Or la puissance d'émission sonore P est égale à :

𝑃𝑃 = 〈𝑝𝑝 1 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑟𝑟, 𝑡𝑡)〉 = 1

2 𝑅𝑅𝑒𝑒 �𝑝𝑝 ₁ (𝑟𝑟, 𝑡𝑡)𝑢𝑢 ^∗ (𝑟𝑟, 𝑡𝑡)� = 𝑝𝑝 ₀ ²

2𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟² = 𝑡𝑡²𝜇𝜇 ₀ 𝜔𝜔 ⁴ 𝑟𝑟 ₀ ² 2𝑐𝑐𝑟𝑟²

Cette puissance est proportionnelle à 𝑡𝑡²𝑟𝑟 ₀ ² 𝜔𝜔 ⁴ ∶ plus le son est grave, plus 𝑟𝑟 0 doit être grand (a doit rester petit devant 𝑟𝑟 ₀ ) donc les sources de petites tailles ne sont pas adaptées à la production de sons graves.

Une intensité sonore de 90 dB correspond à : 90 = 10 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔 � 𝑝𝑝 ₀ ²

2𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟² 1

10 ⁻¹² � ⇔ _{− 3 = 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔 �} ^{𝑝𝑝 0 2} 2𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟² � ce qui est équivalent à : 𝑝𝑝 ₀ = (2. 10 ⁻³ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟²)

= 0.9𝑃𝑃𝑡𝑡 avec r=1 m.

Alors : 𝑡𝑡 = _𝜇𝜇 ^𝑠𝑠

0

(2𝜋𝜋𝑒𝑒)

𝑟𝑟

= 2.9𝑑𝑑𝑑𝑑 .

La valeur obtenue est assez grande. L'approximation 𝑡𝑡 ≪ 𝑟𝑟 ₀ est tout juste vérifiée (le

rapport entre les deux est égal à 0, 059).

OD26 - Détermination de la célérité des ondes acoustiques

1°) Nous pouvons rechercher les solutions sous forme d'ondes stationnaires ou bien comme superposition d'ondes planes progressives harmoniques, l'une dans un sens, l'autre dans l'autre. La première méthode est plus logique puisqu'il y a deux conditions aux limites, la seconde est plus simple à mettre en œuvre grâce à la notion d'impédance acoustique.

- Première méthode :

Cherchons la surpression sous la forme : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ₀ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜓𝜓)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝜑𝜑)

où 𝜔𝜔 est la pulsation du haut-parleur et 𝜔𝜔 = 𝑘𝑘𝑐𝑐. La vitesse particulaire s'en déduit grâce à une des deux équations de couplage, par exemple l'équation d'Euler linéarisée :

𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − 1 𝜌𝜌 ₀

𝜕𝜕𝑝𝑝 Il vient : 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = _ρ ^𝑠𝑠

𝜕𝜕𝑥𝑥

0

c 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜓𝜓)sin(𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝜑𝜑) Les conditions aux limites sont :

- vitesse nulle en x = 0,

- vitesse égale à celle du haut-parleur en x = L.

La première relation donne : 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜑𝜑 = 0 . On choisit 𝜑𝜑 = 0 (un choix différent ne fait que changer le signe de 𝑝𝑝 0 .

Le déplacement de la membrane du haut-parleur est 𝜉𝜉(𝑡𝑡) = 𝜉𝜉 ₀ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡)sa vitesse est 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝜔𝜔𝑡𝑡 ).

La deuxième condition aux limites s'écrit : u(L,t) = v(t), soit : 𝑝𝑝 ₀

ρ ₀ c 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜓𝜓)sin(𝑘𝑘𝐿𝐿) = −𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) Nous en déduisons que 𝜓𝜓 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑝𝑝 ₀ = − ^{𝜔𝜔𝜉𝜉} _{sin(𝑘𝑘𝐿𝐿)}

^ρ

^c

La surpression dans le tuyau est donc : 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = − 𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ ρ ₀ c

sin(𝑘𝑘𝐿𝐿) cos( ω 𝑡𝑡) cos(𝑘𝑘𝑥𝑥).

- Deuxième méthode :

Cherchons la surpression sous la forme :

𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 1 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝑘𝑘𝑥𝑥)) + 𝑝𝑝 2 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘𝑥𝑥)) La vitesse s'écrit :

𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 1

𝑍𝑍 _𝑎𝑎 �− 𝑝𝑝 1 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝑘𝑘𝑥𝑥)) + 𝑝𝑝 ₂ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘𝑥𝑥))�

où 𝑍𝑍 _𝑎𝑎 = ρ ₀ c

On pose : 𝜉𝜉(𝑡𝑡) = 𝜉𝜉 ₀ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡)

Les conditions aux limites donnent :

• en x = 0 : 𝑝𝑝 ₁ − 𝑝𝑝 ₂ = 0

• en x = L : ¹

𝑍𝑍

� 𝑝𝑝 ₂ exp(−ikL) − 𝑝𝑝 ₁ exp(ikL)� = iωξ ₀

ce qui donne 𝑝𝑝 1 = 𝑝𝑝 2 = − _{2sin(𝑘𝑘𝐿𝐿)} ^{𝜔𝜔𝜉𝜉}

^ρ

^c . La surpression est donc égale à : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = − 𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ ρ ₀ c

sin(𝑘𝑘𝐿𝐿) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡) ou encore : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = − ^{𝜔𝜔𝜉𝜉} _{sin(𝑘𝑘𝐿𝐿)}

^ρ

^c 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡)

2°) Les nœuds de pression sont espacés de ^𝜆𝜆 ₂ , avec c = λ f et 𝛾𝛾 = ^{𝑀𝑀 𝑐𝑐} _{𝑅𝑅𝑇𝑇}

𝑐𝑐𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑐𝑐 = � ^{𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇} _𝑀𝑀 . L'application numérique donne :

• pour f = 300 Hz, λ = 114 cm, c = 342 m.s

et 𝛾𝛾 = 1, 40 ;

• pour f = 500 Hz, λ = 68, 2 cm, c = 341 m.s

et 𝛾𝛾 = 1, 39 ;

• pour f = 988 Hz, λ = 34, 7 cm, c = 342 m.s

et 𝛾𝛾 = 1, 40 . On prendra c = 342 m.s

et 𝛾𝛾 = 1,40.

3°) Il y a résonance quand sin(kL) = 0 donc pour les fréquences 𝑓𝑓 𝑜𝑜 = ^{𝑜𝑜𝑐𝑐} _2𝐿𝐿 . Avec les valeurs numériques précédentes, les résonances ont lieu pour des fréquences égales à 118 Hz, 236 Hz, 354 Hz, 472 Hz, 590 Hz, 708 Hz, etc. Les fréquences relevées par l'expérimentateur font bien partie de cette suite.

En x = 0, à la résonance, l'amplitude de vibration maximale des couches d'air est très

grande devant l'amplitude de vibration du haut-parleur. Le haut-parleur peut donc être

considéré comme un nœud de vibration c'est-à-dire une paroi rigide et on se trouve dans

le cas d'un tuyau fermé à ses deux extrémités. Il y a résonance quand la fréquence du

haut-parleur est une des fréquences propres du tuyau.

OD27 – Dérivation de l’équation des ondes sonores

OD28 - Influence du milieu sur la propagation d’une onde sonore

1°) La surpression p est constante p=p

. La solution de l'équation différentielle est : 𝑝𝑝 ₀ = _𝜒𝜒 ¹

𝑠𝑠

𝜌𝜌

�𝜇𝜇 + 𝜏𝜏 ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} �

⇔ 𝜇𝜇 𝜏𝜏 + 𝑑𝑑𝜇𝜇

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜌𝜌 ₀ 𝑝𝑝 ₀ 𝜒𝜒 _𝑆𝑆 𝜏𝜏

⇒ 𝜇𝜇(𝑡𝑡) = 𝜌𝜌 ₀ 𝑝𝑝 ₀ 𝜒𝜒 _𝑆𝑆 �1 − 𝑒𝑒 ^{−𝑑𝑑𝜏𝜏} �

µ retrouve donc la valeur 𝜌𝜌 0 𝑝𝑝 0 𝜒𝜒 𝑆𝑆 qu'après un certain temps de l'ordre de quelques τ.

2°)

a) Equation du mouvement : ρ _� ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + �𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗� = −𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗ (𝑝𝑝 ₀ + 𝑝𝑝)

⇒ � ρ _{0 +} µ _⏟

≪ ρ

�

⎝

⎜ ⎛ 𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

� 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝑜𝑜𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑒𝑒 1 𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑣𝑣

+ �𝑣𝑣⃗. ������� 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗

𝑜𝑜𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑒𝑒 2 𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑣𝑣

⎠

⎟ ⎞

= −𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗ � 𝑝𝑝 ⏟ 0 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑝𝑝�

On se limite aux termes du premier ordre donc tout produit de deux termes du premier ordre est un deuxième ordre et sera négligé d’où :

ρ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = −𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗ 𝑝𝑝

En projection sur le vecteur 𝑢𝑢 ����⃗ _𝜕𝜕 , cette relation devient : ρ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑑𝑑 = − ^{𝜕𝜕𝑠𝑠} _{𝜕𝜕𝜕𝜕}

b) Conservation de la masse :

𝜕𝜕𝜌𝜌

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑣𝑣(𝜌𝜌𝑣𝑣⃗) = 0 or 𝜌𝜌 = 𝜇𝜇 + 𝜌𝜌 ₀

⇒ 𝜕𝜕 µ

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑣𝑣(𝑣𝑣⃗ ). (𝜇𝜇 + 𝜌𝜌 ₀ ) + 𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗ (𝜇𝜇 + 𝜌𝜌 ₀ ) = 0 Or 𝜇𝜇 ≪ 𝜌𝜌 ₀ et 𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ����������⃗𝜇𝜇 est un terme d'ordre 2 ≪ ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑}

Donc :

𝜕𝜕 µ

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑣𝑣(𝑣𝑣⃗). (𝜌𝜌 0 ) = 0 ⇒ 𝜕𝜕 µ

𝜕𝜕𝑡𝑡 = −𝜌𝜌 ₀ 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑥𝑥 3°) Posons 𝑐𝑐² = _𝜒𝜒 ¹

𝑠𝑠

𝜌𝜌

d'où 𝑝𝑝 = 𝑐𝑐² �𝜇𝜇 + 𝜏𝜏 ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} � d'où en dérivant deux fois par rapport à x :

𝜕𝜕 ² 𝑝𝑝 𝜕𝜕²𝜇𝜇 𝜕𝜕 ³ 𝜇𝜇

Et :

𝜕𝜕 ² 𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑥𝑥 �−𝜌𝜌 0 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑡𝑡 � = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑡𝑡 �−𝜌𝜌 0 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑥𝑥 � = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑡𝑡 � 𝜕𝜕𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑡𝑡 � = 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑡𝑡 ²

⇒ 𝜕𝜕²𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑡𝑡² − 𝑐𝑐² � 𝜕𝜕²𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑥𝑥² + τ ^{𝜕𝜕 3 𝜇𝜇}

𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑥𝑥² � = 0 Or : 𝜇𝜇 = _𝑐𝑐 ^𝑠𝑠

− 𝜏𝜏 ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑}

⇒ 𝑑𝑑 ² 𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑡𝑡 ² − 𝑐𝑐 ² � 𝜕𝜕 ² 𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² + τ ^{𝜕𝜕 3 𝑝𝑝}

𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑥𝑥 ² � = 0

4°) Soit 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 ₀ 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝜕𝜕) ⇒ −𝜔𝜔² + 𝑐𝑐²�𝑘𝑘 ² + 𝜏𝜏𝑘𝑘 ² 𝑗𝑗𝜔𝜔� = 0

⇒ 𝑘𝑘 ² = 𝜔𝜔² 𝑐𝑐²

1 1 + 𝑗𝑗𝜏𝜏𝜔𝜔 si 𝜔𝜔𝜏𝜏 ≪ 1 , après développement limité :

𝑘𝑘 = 𝜔𝜔

𝑐𝑐 �1 − 𝑗𝑗𝜏𝜏𝜔𝜔 2 � Posons 𝛼𝛼 = ^{𝜔𝜔²𝜏𝜏} _2𝑐𝑐 d'où : 𝑘𝑘 = ^𝜔𝜔 _𝑐𝑐 − 𝑗𝑗 α

⇒ 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 ₀ 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝜕𝜕) = 𝑝𝑝 ₀ 𝑒𝑒 ^{−𝛼𝛼𝜕𝜕} 𝑒𝑒 𝑗𝑗�𝜔𝜔𝑑𝑑−𝜔𝜔𝑐𝑐𝜕𝜕�

avec le facteur d'atténuation 𝑒𝑒 ^{−𝛼𝛼𝜕𝜕} et la vitesse de phase c.

OD31 – OPPM dans le vide et vecteur de Poynting

OD32 - Ondes planes stationnaires entre deux plans

OD33 – Pression de radiation

OD34 - Ondes se propageant entre deux plans

OD35 – Propagation guidée et relation de dispersion

OD36 - Profondeur de pénétration d'une onde thermique

OD37 – Onde cylindrique

OD41 – Onde de marée

OD42 – Ondes planes progressives harmoniques dans un conducteur

métallique

OD43 - Propagation dans l’ionosphère, influence du champ magnétique terrestre

OD44 - Effet de peau dans un cylindre métallique

OD45 – Plasma

OD51 – Transmission d'une onde sonore au travers d'un mur

OD52 – Interface atmosphère – ionosphère

OD53 – Couche anti-reflet

� 𝐸𝐸 ₂ 𝑒𝑒 ^{−𝑗𝑗 ϕ}

+ 𝐸𝐸 ₂ ′𝑒𝑒 ^{+𝑗𝑗 ϕ}

= 𝐸𝐸 ₃ 𝑒𝑒 ^{−𝑗𝑗 ϕ}

𝑠𝑠 �𝐸𝐸 ₂ 𝑒𝑒 ^{−𝑗𝑗 ϕ}

− 𝐸𝐸 ₂ ′𝑒𝑒 ^{𝑗𝑗 ϕ}

� = 𝑁𝑁𝐸𝐸 ₃ 𝑒𝑒 ^{−𝑗𝑗 ϕ}

𝑐𝑐ù ϕ _{2 = 𝑘𝑘 2 𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑡𝑡} ϕ _{3 = 𝑘𝑘 3 𝑒𝑒}

2°) On suppose : 𝐸𝐸 ₁ ^′ = 0 alors :

� 𝐸𝐸 ₁ = 𝐸𝐸 ₂ + 𝐸𝐸 ₂ ^′

𝐸𝐸 ₁ = 𝑠𝑠 �𝐸𝐸 ₂ − 𝐸𝐸 ₂ ^′ � ⇒ _{𝐸𝐸 2 + 𝐸𝐸 2} ^′ _{= 𝑠𝑠 �𝐸𝐸 2 − 𝐸𝐸 2} ^′ _� ⇒ ^{𝐸𝐸 2}

′

𝐸𝐸 ₂ = 𝑠𝑠 − 1 𝑠𝑠 + 1 Des autres relations on obtient :

𝑁𝑁 �𝐸𝐸 ₂ 𝑒𝑒 ^{−𝑗𝑗 ϕ}

+ 𝐸𝐸 ₂ ′𝑒𝑒 ^{+𝑗𝑗 ϕ}

� − 𝑠𝑠 �𝐸𝐸 ₂ 𝑒𝑒 ^{−𝑗𝑗 ϕ}

− 𝐸𝐸 ₂ ′𝑒𝑒 ^{𝑗𝑗 ϕ}

� = 0

⇔ ^{𝐸𝐸 2}

𝐸𝐸 2 = 𝑠𝑠 − 𝑁𝑁

𝑠𝑠 + 𝑁𝑁 𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

Par conséquent on a l’égalité :

𝑠𝑠 − 𝑁𝑁

𝑠𝑠 + 𝑁𝑁 𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

= 𝑠𝑠 − 1 𝑠𝑠 + 1

⇔ _𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

₌ ^{𝑠𝑠 − 1}

𝑠𝑠 + 1 ∗ 𝑠𝑠 + 𝑁𝑁 𝑠𝑠 − 𝑁𝑁

Les indices étant réels on forcément : ϕ _{2 = 0 [𝑛𝑛]} ⇒ _𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

_{= ±1} 1

cas : 𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

= 1

⇒ ^{𝑠𝑠 − 1}

𝑠𝑠 + 1 ∗ 𝑠𝑠 + 𝑁𝑁 𝑠𝑠 − 𝑁𝑁 = 1

⇒ ^{𝑠𝑠 2 − 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠𝑁𝑁 − 𝑁𝑁} 𝑠𝑠 ² − 𝑁𝑁 + 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑁𝑁 = 1

⇒ _𝑠𝑠 ² _{− 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠𝑁𝑁 − 𝑁𝑁 = 𝑠𝑠} ² _{− 𝑁𝑁 + 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑁𝑁}

⇒ _{𝑠𝑠 ( 𝑁𝑁 − 1) = 𝑠𝑠(1 − 𝑁𝑁} )

⇒ _𝑁𝑁 = 1 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝑠𝑠 = 0 Les deux solutions sont impossibles.

1

cas : 𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

= −1

⇒ ^{𝑠𝑠 − 1}

𝑠𝑠 + 1 ∗ 𝑠𝑠 + 𝑁𝑁

𝑠𝑠 − 𝑁𝑁 = −1

⇒ _𝑠𝑠 ² _{− 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠𝑁𝑁 − 𝑁𝑁 = −𝑠𝑠} ² _{+ 𝑁𝑁 − 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠𝑁𝑁}

⇒ _𝑠𝑠 ² _{− 𝑁𝑁 = −𝑠𝑠} ² _{+ 𝑁𝑁} Egalité réalisable si seulement si 𝑁𝑁 = 𝑠𝑠 ² ⇒ _{𝑠𝑠 = √𝑁𝑁} 3°) La condition : 𝑒𝑒 ^{−2𝑗𝑗 ϕ}

= −1 peut s’écrire :

2𝑘𝑘 ₂ 𝑒𝑒 = (2𝑝𝑝 + 1)𝑛𝑛

⇒ ^2𝑛𝑛

𝜆𝜆 ₀ 𝑠𝑠 𝑒𝑒 = �𝑝𝑝 + 1 2 � 𝑛𝑛

⇒ _{𝑒𝑒 = �𝑝𝑝 +} ¹ 2 � 𝜆𝜆 ₀ D’où : 2𝑠𝑠

𝑒𝑒 _{𝑚𝑚𝑟𝑟𝑜𝑜} = 𝜆𝜆 ₀

4𝑠𝑠

OD54 – Polarisation des ondes

OD55 – Coefficients de réflexion et transmission

OD56 – Transmission à travers une membrane

OD57 - Réflexion sur un conducteur parfait

OD58 – Plasma

A - Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma

B - Réflexion/Transmission d'une onde à la surface d'un plasma

OD59 – Cavité sans pertes

OD61 – Cavité résonante

OD62 - Laser à trois niveaux

1°) Les équations d’évolution sont :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑑𝑑𝑁𝑁 ₁

𝑑𝑑𝑡𝑡 = −𝛤𝛤𝑁𝑁 ₁ + 𝐴𝐴 ₂₁ 𝑁𝑁 ₂ + 𝑑𝑑 ₂₁ 𝑢𝑢( ν _{)𝑁𝑁 2 − 𝑑𝑑 12 𝑢𝑢(} ν _{)𝑁𝑁 1} 𝑑𝑑𝑁𝑁 ₂

𝑑𝑑𝑡𝑡 = −𝐴𝐴 ₂₁ 𝑁𝑁 ₂ − 𝑑𝑑 ₂₁ 𝑢𝑢( ν _{)𝑁𝑁 2 + 𝑑𝑑 12 𝑢𝑢(} ν _{)𝑁𝑁 1 +} ^𝑁𝑁 τ ³ 𝑑𝑑𝑁𝑁 3

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛤𝛤𝑁𝑁 ₁ − 𝑁𝑁 3

τ

2°) On somme les trois relations précédentes et on obtient : 𝑑𝑑𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 ⇒ _{𝑁𝑁 1 + 𝑁𝑁 2 + 𝑁𝑁 3 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒} 3°) De la troisième relation :

𝑑𝑑𝑁𝑁 ₃

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 ⇒ _{𝛤𝛤𝑁𝑁 1 −} ^𝑁𝑁 τ ^{3 = 0}

⇒ _{𝑁𝑁 1 =} ^{𝑁𝑁 3} 𝛤𝛤 τ De la première relation :

𝑑𝑑𝑁𝑁 ₁

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 ⇒ − 𝛤𝛤𝑁𝑁 ₁ + 𝐴𝐴 ₂₁ (𝑁𝑁 ₁ + 𝛥𝛥𝑁𝑁) + 𝑑𝑑 ₂₁ 𝑢𝑢( ν )(𝑁𝑁 ₁ + 𝛥𝛥𝑁𝑁) − 𝑑𝑑 ₁₂ 𝑢𝑢( ν )𝑁𝑁 ₁ = 0

⇒ _{𝑁𝑁 1 �−𝛤𝛤 + A 21 + 𝑑𝑑 21 𝑢𝑢(} ν ) − 𝑑𝑑 ₂₁ 𝑢𝑢( ν )� = 𝛥𝛥𝑁𝑁�−𝐴𝐴 ₂₁ − 𝑑𝑑 ₂₁ 𝑢𝑢( ν )�

⇒ ^{𝑁𝑁 3}

𝛤𝛤 τ ^{(−𝛤𝛤 + A 21 ) = −𝛥𝛥𝑁𝑁�𝐴𝐴 21 + 𝑑𝑑 21 𝑢𝑢( ν )�}

⇒ _{∆𝑁𝑁 =} ^{𝛤𝛤 − 𝐴𝐴 21}

𝐴𝐴 ₂₁ + 𝑑𝑑 ₂₁ 𝑢𝑢( ν ₎ ^𝑁𝑁 _𝛤𝛤 ³ τ 4°) Pour réaliser une inversion de population il faut ∆𝑁𝑁 > 0

⇒ _{𝛤𝛤 > 𝐴𝐴 21}

OD63 – LIDAR

1°) 𝜆𝜆 ₀ = 1,06 µ _𝑑𝑑 ⇒ _{𝐼𝐼𝑅𝑅} 2°) Soit : θ _{= π} ^λ

𝑤𝑤

= 8,4 10 ⁻⁴ 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑍𝑍 _𝑅𝑅 = ^{π 𝑤𝑤} _λ

0

= 0,47𝑑𝑑 Par conséquent : 𝑤𝑤 ₁₅₀₀ = 𝑤𝑤 ₀ � 1 + � _𝑧𝑧 ^𝑧𝑧

𝑅𝑅

� ² = 1,26𝑑𝑑

Il faut donc réduire la taille du faisceau pour effectuer une mesure précise. Il faut donc le collimater.

3a) On réalise le schéma optique proposé, mais pour plus de clarté on rappelle celui du cours.

La distance entre les deux lentilles vaut : 𝑑𝑑 = |𝑓𝑓 ₂ ^′ | − |𝑓𝑓 ₁ ^′ | = 180𝑑𝑑𝑑𝑑 .

L’intérêt d’utiliser une lentille divergente est de réduire la taille du dispositif.

3b) On a 𝑍𝑍 _𝑟𝑟 ≫ 𝑓𝑓 ₁ ^′ , on considère donc une onde plane et le faisceau gaussien converge au foyer image de la première lentille. Son waist est donc positionné au niveau de l’image intermédiaire. La divergence à la sortie de la première lentille est :

θ _{′ =} ^{𝑤𝑤 0}

| 𝑓𝑓 ₁ ^′ | = 0,02 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 A la sortie de la deuxième lentille on a : θ ^′ ₌ ^𝑤𝑤

𝑒𝑒

= 0,02 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ⇒ _{𝑤𝑤 0} ^′′ _{= 4𝑑𝑑𝑑𝑑} D’où la longueur de Rayleigh du faisceau gaussien émergent :

𝑍𝑍 _𝑅𝑅 ^′′ = π _{𝑤𝑤′′ 0} ²

λ ₀ ^{= 47 𝑑𝑑} ⇒ θ ^′′ ₌ λ ₀

π _{𝑤𝑤 0} ^{′′ = 8,4 10 −5 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑} 3c) Donc : 𝑤𝑤 1500, 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑é = 𝑤𝑤 ₀ � 1 + � _𝑧𝑧 ^𝑧𝑧

𝑅𝑅

� ² = 0,126 𝑑𝑑

OD64 – Coefficients d’Einstein

OD65 – Oscillateur à pont de Wien

OD66 – Diode Laser