OD11 – Tige solide et module d’Young
On étudie la propagation de vibrations longitudinales dans une tige cylindrique d’axe Ox. On appelle µ la masse volumique, S la section et L la longueur du cylindre. On modélise le réseau cristallin par une chaîne infinie d’oscillateurs harmoniques parallèles à Ox. Les atomes sont modélisés par des masses ponctuelles m reliées entre elles par des ressorts sans masse et de constante de raideur k. A l’équilibre, toutes les masses sont équidistantes de d appelé pas du réseau. Un atome d’indice n a pour abscisse x=nd à l’équilibre. On note 𝑦𝑦𝑛𝑛 son élongation à un instant t.
1°) Écrire l’équation différentielle reliant 𝑦𝑦𝑛𝑛,𝑦𝑦𝑛𝑛−1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑛𝑛+1.
2°) On étudie le passage du discret au continu en supposant que l’élongation varie très peu d’un atome à un autre atome voisin. On définit la fonction y(x,t) par 𝑦𝑦𝑛𝑛(𝑒𝑒) =𝑦𝑦(𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑒𝑒). Montrer que si 𝑛𝑛 →0, l’équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme d’une équation de d’Alembert. Exprimer la célérité c en fonction de k,d et m.
3°) Si on applique lentement une force F aux deux extrémités du cylindre, on a un allongement δL du cylindre. Le module d’Young E est défini par :
𝐹𝐹
𝑆𝑆=𝐸𝐸δ𝐿𝐿𝐿𝐿. Exprimer E en fonction de µ, k, d et m. En déduire la célérité des ondes en fonction de E et µ.
4°) Une onde sonore plane progressive harmonique se propage dans la tige étudiée précédemment. Le module d’Young vaut 𝐸𝐸 = 21 × 1010 𝑃𝑃𝑃𝑃 et la masse volumique 𝜇𝜇= 7,9 × 103 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−3. Calculer la célérité des ondes c. La condition pour pouvoir passer du discret au continu est-elle vérifiée ?
OD12 - Corde avec frottement fluide
On s'intéresse à une corde horizontale de masse linéique µ, tendue sous la tension To. Chaque point de la corde vibre verticalement, et on note y(x,t) l'altitude d'un point par rapport à l'axe Ox. Un élément dx de la corde subit la force de frottement fluide :
𝑛𝑛𝑑𝑑����⃗=−λ𝑛𝑛𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢����⃗ 𝑦𝑦
On posera : 𝑣𝑣² =�𝑇𝑇𝜇𝜇0 𝑒𝑒𝑒𝑒 α=µωλ
a) Établir l'équation aux dérivées partielles satisfaite par y(x, t) dans le cadre du modèle classique, en ajoutant simplement le frottement fluide.
b) Une onde plane progressive 𝑦𝑦 (𝑑𝑑,𝑒𝑒) = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗(𝑘𝑘𝑘𝑘−𝜔𝜔𝜔𝜔), où 𝜔𝜔 est la pulsation, se propage sur la corde selon les x croissants. Quelles sont alors les valeurs possibles de k, dans la limite des faibles frottements ?
c) Commenter la forme de l'onde y(x,t).
OD13 – Câble coaxial
Les câbles coaxiaux sont couramment utilisés dans la vie de tous les jours (câble d’antenne de télévision par exemple). La structure d’un câble coaxial est donnée sur la figure :
L’âme est un cylindre conducteur (en cuivre), le conducteur extérieur est constitué d’une tresse de fils de cuivre très fins, ces deux conducteurs étant séparés par un isolant. La tresse extérieure est reliée à la masse du réseau et l’âme « reçoit » le signal.
Si les conducteurs et l’isolant sont parfaits, il n’y a aucune dissipation d’énergie. Un tronçon de câble compris entre les abscisses x et x+dx peut être modélisé par le schéma de la figure de droite, dit « modèle des constantes réparties ». Ce morceau de câble possède une inductance γdx et une capacité λdx : γ et λsont donc respectivement l’inductance linéique et la capacité linéique du câble. On suppose dx petit devant la distance caractéristique de variation de u(x,t) et i(x,t) de telle sorte que l’on puisse appliquer les lois des mailles et les lois des nœuds sur la portion de câble représentée sur la figure.
1°) Établir les équations aux dérivées partielles vérifiées par i(x,t) et par u(x,t).
2°) Quelle est l’expression de la célérité c des ondes dans le câble ?
3°) On cherche i(x,t) sous la forme d’une onde plane progressive se propageant dans le sens des x positifs. En déduire l’expression de u(x,t) en fonction de i(x,t) et de la grandeur 𝑍𝑍𝐶𝐶=�λγ, appelée impédance caractéristique du câble. Qu’en est-il pour une onde se propageant dans l’autre sens ?
4°) Le câble s’étend de x = 0 à x = L. On branche en x=0 un générateur de tension délivrant la fem 𝑒𝑒(𝑒𝑒) = 𝐸𝐸0 cos(𝜔𝜔𝑒𝑒). L’extrémité x = L est ouverte.
Déterminer i(x, t) et u(x,t) en régime sinusoïdal forcé. Définir et calculer l’impédance d’entrée du câble. Expliquez pourquoi, quand on fait varier la fréquence de la tension d’alimentation du câble, on observe que la tension à l’entrée x = 0 du câble, visualisée à l’aide d’un oscilloscope, présente des maximas d’amplitude pour certaines fréquences 𝑑𝑑𝑛𝑛 régulièrement espacées.
OD14 – Corde de Melde
On considère une corde vibrante de masse linéique µ, de longueur L sans élasticité et sans torsion, se déformant faiblement au voisinage d'un axe Ox. On néglige les effets de la pesanteur.
1°) Établir l'équation de propagation de d'Alembert sachant que le déplacement y(x,t) est un infiniment petit d'ordre un, ainsi que l'angle α=𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑘𝑘 que fait la corde au point d'abscisse x avec l'axe Ox.
2°) La corde est tendue par le poids d'une masse m maintenue fixée sur la poulie en x = 0. Un dispositif impose le mouvement 𝑦𝑦(𝐿𝐿,𝑒𝑒) =𝑏𝑏 cos (ω𝑒𝑒) avec b « L. On cherche y(x,t) de la forme 𝑑𝑑(𝑑𝑑)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (ω𝑒𝑒). On suppose que sin�ω𝐿𝐿𝑐𝑐�≠ 0. Définir les nœuds et ventres de vibration.
3°) Montrer que pour certaines valeurs de ω, il y a résonance et que les pulsations possibles se mettent sous la forme ω𝑛𝑛=𝑛𝑛ω1. Représenter les noeuds et les ventres de vibration pour n = 1 et n = 2.
OD15 – Décomposition en série de Fourier
De nombreux problèmes (corde vibrante, cavité électromagnétique, laser) conduisent à la résolution d'un problème à une dimension spatiale et une dimension temporelle, dans lequel l'inconnue est un signal u(x, t) vérifiant simultanément plusieurs conditions :
- Une équation locale de propagation, de type équation de d'Alembert :
𝜕𝜕²𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑑𝑑²= 1 𝑣𝑣2
𝜕𝜕²𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑒𝑒²
- Des conditions aux limites du domaine. On considère ici une corde (une cavité à une dimension) délimitée par les plans d'abscisses x = 0 et x
= L. On envisage le cas où les conditions aux limites se traduisent par la nullité à chaque instant du signal sur ces limites : 𝑢𝑢(0,𝑒𝑒) = 𝑢𝑢(𝐿𝐿,𝑒𝑒) = 0
- Des conditions initiales. À l'instant pris comme origine des temps, on suppose connues les propriétés du signal, notamment sa valeur sur l'intervalle [0,L] et celles de sa dérivée temporelle. Pour fixer les idées, nous proposerons :
𝑢𝑢(𝑑𝑑, 0) = 𝑢𝑢𝑜𝑜(𝑑𝑑) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑒𝑒(𝑑𝑑, 0) = 0
Ce qui signifie qu'à l'instant initial, la corde (l'onde dans la cavité) possède une forme arbitraire et est immobile.
Nous proposons de déterminer la solution générale de ce problème, en mettant en œuvre l'outil de la décomposition en série de Fourier.
a) Quel type de solution à l'équation de d'Alembert doit-on plutôt envisager : ondes progressives ou ondes stationnaires ?
b) Quelles contraintes imposent les conditions aux limites (8) ? Écrire alors la forme de la solution correspondante un(x, t), où n est un entier.
c) Représenter l'allure de un(x, t) à un instant donné pour n = 1, 2 et 3.
d) Construire à partir des un(x, t) une solution plus générale. Interpréter ce résultat.
e) Quelles simplifications apporte la seconde condition initiale 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜔𝜔(𝑑𝑑, 0) = 0 ?
f) Déterminer alors exactement la fonction u (x, t) qui vérifie les deux conditions initiales. On pourra faire intervenir une fonction 2L-périodique qui coïncide avec l'allure de la corde sur [0, L], et qui soit impaire.
g) Pour une guitare par exemple, la forme initiale de la corde a-t-elle une influence sur le son entendu ?
OD16 - Vibrations longitudinales d'une lame de céramique
On étudie les petits mouvements de déformation le long de l'axe horizontal Ox d'une lame de céramique de section S (perpendiculairement à l'axe Ox) et de masse volumique 𝜇𝜇0. À l'équilibre, la pression est uniforme dans la lame, égale à 𝑃𝑃0. À l'instant t, un plan d'abscisse x au repos se trouve à l'abscisse x+y(x,t), sa vitesse vibratoire est u(x,t). On néglige tout effet lié à la pesanteur. Dans le domaine d'élasticité du matériau, la force de traction T permettant à la lame de section S et de longueur L de s'allonger de ∆𝐿𝐿 est donnée par la loi de Hooke : 𝑇𝑇=𝐸𝐸𝐸𝐸∆𝐿𝐿𝐿𝐿 où E est le module de Young du matériau.
1°) Montrer qu'a l'abscisse x, à l'instant t, la force de traction que la partie droite de la lame exerce sur la partie gauche est : 𝑇𝑇(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝐸𝐸𝐸𝐸𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑘𝑘(𝑑𝑑,𝑒𝑒) 2°) Écrire l'équation du mouvement d'une tranche de lame située au repos entre les plans d'abscisses x et x + dx. En déduire que la déformation y(x,t) vérifie une équation de d'Alembert à une dimension. Quelle est la célérité c des ondes ?
Application numérique :
Calculer c pour une lame de masse volumique 𝜇𝜇0= 3400 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−3, de module de Young 𝐸𝐸= 8, 0. 1010 𝑁𝑁.𝑚𝑚−2. 3°) Donner sans démonstration la forme des solutions de cette équation. Interpréter chaque terme.
OD17 - Corde plombée
La corde représentée ci-dessous est plombée en son milieu M par une masse m. On néglige la pesanteur, et la corde, fixée à ses deux extrémités, est tendue avec la tension 𝑇𝑇0 quand l'ensemble est au repos.
1°) L'élongation dans les deux parties de la corde s'écrit : - pour 0≤ 𝑑𝑑 ≤𝐿𝐿2 ,𝑦𝑦(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝑦𝑦1(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝐴𝐴1𝑐𝑐𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑘𝑘𝑑𝑑)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒) - pour 𝐿𝐿2≤ 𝑑𝑑 ≤ 𝐿𝐿 ,𝑦𝑦(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝑦𝑦2(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝐴𝐴2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑘𝑘(𝐿𝐿 − 𝑑𝑑))𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒) avec ω=𝑘𝑘𝑐𝑐.
En déduire le système d’équation que vérifie les amplitudes 𝐴𝐴1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴2∶
� (𝐴𝐴1− 𝐴𝐴2)𝑐𝑐𝑠𝑠𝑛𝑛 �𝑘𝑘𝐿𝐿 2�= 0 𝑚𝑚𝐴𝐴1ω²sin(𝑘𝑘𝐿𝐿
2) =𝑘𝑘𝑇𝑇0(𝐴𝐴2+𝐴𝐴1)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑘𝑘𝐿𝐿 2) 2°) Le système d’équation présente plusieurs solutions que nous allons étudier :
a) Si : 𝑘𝑘𝐿𝐿= 2𝑛𝑛𝑛𝑛, conclure sur la position de la masse
b) Si : 𝑘𝑘𝐿𝐿 ≠2𝑛𝑛𝑛𝑛, déterminer en particulier les pulsations propres de la corde et étudier les cas limites m≪ 𝜇𝜇𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚 ≫ 𝜇𝜇𝐿𝐿.
OD21 – Intensité sonore
1°) Deux ondes sonores, dont l'une a une fréquence égale au double de la fréquence de l'autre, ont des amplitudes de déplacement égales. Laquelle de ces ondes correspond à la surpression de plus grande amplitude ? Dans quel rapport ? Quel est le rapport de leur intensité ?
2°) Si l'amplitude d'une onde sonore est triplée, de combien de décibels l'intensité sonore augmente-t-elle ?
3°) Quelle est l'intensité sonore en décibels d'une onde sonore se propageant dans l'air pour laquelle l'amplitude de déplacement des particules de fluide est de 0,1 mm à 180 Hz ?
4°) Si deux pétards qui explosent en même temps produisent une intensité sonore de 90 dB, quelle serait l'intensité sonore si un seul des deux pétards explosait ?
OD22 – Tuyau d’orgue
On considère un tuyau d'orgue rempli d'air de masse volumique µo. On note p1 la surpression acoustique et u1 la vitesse particulaire. La célérité du son est notée c. L'extrémité est fermée en x = 0 et ouverte en x = L. On cherche p1(x,t) sous la forme d'ondes stationnaires :
𝑝𝑝1(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝑝𝑝0cos(𝜔𝜔𝑒𝑒) cos (𝑘𝑘𝑑𝑑+Φ) 1°) Déterminer la vitesse particulaire en fonction de 𝑝𝑝𝑜𝑜,µ0,𝑐𝑐,𝑤𝑤,𝑘𝑘,𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒 Φ.
2°)
- Déterminer la fréquence νo du fondamental et les fréquences des harmoniques νn, avec n entier - Déterminer la position des nœuds et des ventres de surpression acoustique pour νo et ν1.
3°) L'amplitude maximale du déplacement des particules est ξ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘= 0,4 𝑚𝑚𝑚𝑚. En déduire l'amplitude maximale 𝑝𝑝𝑜𝑜 de la surpression acoustique pour la fréquence νo.
Application numérique : µ𝑜𝑜= 1,3 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−3 ; 𝑐𝑐 = 340 𝑚𝑚.𝑐𝑐−1 ; 𝐿𝐿 = 60 𝑐𝑐𝑚𝑚.
OD23 – Fréquences propres d’une sphère rigide
On cherche à étudier les modes propres de vibration à l’intérieur d’une sphère rigide de rayon R. On écrit la surpression sous la forme : 𝑝𝑝(𝑟𝑟,𝑒𝑒) =𝐴𝐴
𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)+𝐵𝐵 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝑘𝑘𝑘𝑘)
1°) Justifier cette expression et écrire le champ des vitesses.
2°) Quelles sont les conditions aux limites ? Déterminer l’équation vérifiée par les fréquences propres.
3°) Donner une valeur numérique approchée de la plus basse de ces fréquences. Effectuer l’application numérique pour R=5,0cm.
OD24 – Le vent porte le son
On s’intéresse à une onde sonore se propageant dans un fluide parfait en mouvement à la vitesse uniforme 𝑣𝑣0𝑢𝑢����⃗ dans le référentiel d’étude. On 𝑘𝑘
décrit les champs eulériens de la manière suivante :
- µ(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =µ0+µ1(𝑑𝑑,𝑒𝑒) pour le champ de masse volumique du fluide, - 𝑝𝑝(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝑝𝑝0+𝑝𝑝1(𝑑𝑑,𝑒𝑒) pour le champ de pression et,
- 𝑣𝑣⃗(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝑣𝑣����⃗0+𝑣𝑣1(𝑑𝑑,𝑒𝑒)𝑢𝑢����⃗𝑘𝑘 pour le champ des vitesses.
Les quantités 𝑣𝑣𝑣𝑣1
0,µµ1
0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝10 seront traitées comme des infiniment petits du premier ordre.
1°) Écrire les équations fondamentales qui régissent la propagation des ondes acoustiques.
2°) Linéarises ces équations.
3°)
a) A l’aide des équations linéarisées, démontrer que µ1(𝑑𝑑,𝑒𝑒) vérifie :
𝜕𝜕2µ1
𝜕𝜕𝑒𝑒2 + 2𝑣𝑣0𝜕𝜕2µ1
𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑒𝑒= (𝑐𝑐2− 𝑣𝑣02)𝜕𝜕2µ1
𝜕𝜕𝑑𝑑2 𝑐𝑐ù 𝑙𝑙′𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑟𝑟é𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑃𝑃 𝑐𝑐2.
b) Dans quel cas particulier retrouve-t-on l’équation de d’Alembert. Par conséquent, l’équation de d’Alembert vous semble-t-elle invariante par changement de référentiel galiléen ? Dans quel référentiel particulier est-elle alors valable ? Connaissez-vous des problématiques semblables dans d’autres domaines de la physique ?
4°) On recherche une solution sous la forme d’une onde progressive harmonique : µ1(𝑑𝑑,𝑒𝑒) =𝑅𝑅𝑒𝑒�𝐴𝐴𝑒𝑒𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)�
a) Établir la relation entre k et ω(relation de dispersion).
b) En déduire k en fonction de ω et d’autres paramètres. Quelles sont les vitesses de propagation possibles pour ces ondes planes progressives harmoniques ? Commenter.
OD25 – Ondes sphériques
On s'intéresse à la propagation d'ondes sonores à symétrie sphérique : les champs p1(M,t) ,µ1(M,t) et u(M,t) ne dépendent que de r, distance à un point fixe O et du temps t. Le laplacien d'une fonction f (r, t) en coordonnées sphériques est :
∆𝑑𝑑=1 𝑟𝑟
𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑑𝑑)
𝜕𝜕𝑟𝑟²
1°) Déterminer l'expression générale de la surpression p1(r,t). Interpréter. On étudie dans la suite de l'exercice une onde sphérique divergente harmonique de la forme : 𝑝𝑝1(𝑟𝑟,𝑒𝑒) =𝑝𝑝𝑘𝑘0𝑒𝑒𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠(ω𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑟𝑟)
2°) Montrer que le champ des vitesses s'écrit comme la somme de deux termes. Justifier la dénomination de champ proche et champ lointain et examiner leur contribution à l'intensité I de l'onde. Estimer la limite entre les deux champs.
3°) Exprimer l'impédance 𝑍𝑍=𝑝𝑝𝜕𝜕1 d'une telle onde en fonction de µoc et kr. Commenter.
4°) Une petite sphère de rayon moyen ro effectue un petit mouvement radial harmonique : r(t)= ro+ acos(ωt) avec 𝑃𝑃 ≪ 𝑟𝑟𝑜𝑜.
Exprimer po en fonction de a, ω et ro puis la puissance d'émission sonore P de la sphère pulsante en fonction des données a, ω et ro entre autres.
Les sources de petite taille sont-elles adaptées à produire des sons graves ?
Application numérique : calculer l'amplitude a avec laquelle doit vibrer une membrane de haut-parleur en forme de calotte sphérique de rayon ro = 5 cm pour produire un son grave de fréquence f = 50 Hz et de forte intensité IdB = 90 dB à une distance r = 1 m. Commenter.
OD26 - Détermination de la célérité des ondes acoustiques
On considère un tuyau horizontal, cylindrique, d'axe Ox, de section S, rempli d'air assimilé à un gaz parfait de masse molaire M. Dans les conditions de l'expérience (à la température de 18°C), sa masse volumique au repos est 𝜌𝜌0.
La longueur du tuyau est L=1,45 m. À l'extrémité x=L, est placé un haut-parleur associé à un générateur basse fréquence : le déplacement de la membrane du haut-parleur est 𝜉𝜉(𝑒𝑒) =𝜉𝜉0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒). À l'autre extrémité (x=0), l'expérimentateur place une plaque métallique rigide en aluminium. Un microphone mobile, relié à un millivoltmètre, peut se déplacer à l'intérieur du tuyau sans perturber les phénomènes étudiés. On suppose que les grandeurs vibratoires ne dépendent que de x et de t.
Le micro délivre une tension proportionnelle à la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la pression acoustique : 𝑉𝑉=𝛼𝛼�〈𝑝𝑝2(𝑑𝑑,𝑒𝑒)〉𝜔𝜔.
1°) Déterminer l'expression de la pression p(x,t) dans le tuyau en tenant compte des conditions aux limites.
2°) L'expérimentateur relève la position du premier minimum de tension rencontré à partir de x=0 et celui du i-ème pour trois fréquences différentes (tableau ci-dessus).
Calculer pour chacune de ces fréquences les valeurs de la longueur d'onde λ, de la célérité c des ondes acoustiques dans le tuyau et celle de γ=𝐶𝐶𝐶𝐶𝑝𝑝
𝑣𝑣. Commenter.
3°) Le micro étant placé en x=0, l'expérimentateur observe que les indications du voltmètre passent par des valeurs très importantes pour certaines fréquences dont il relève quelques valeurs : 355Hz, 472Hz, 590Hz. Expliquer ces résultats. Y a-t-il contradiction avec le fait que c'est le déplacement de la membrane qui génère les ondes.
OD27 - Dérivation de l'équation des ondes sonores
On cherche à modéliser une onde sonore qui se propage selon la direction Ox. On rappelle qu'une onde sonore consiste en la dilatation et la compression de tranches d'air. La tranche d'air qui se trouve au repos à l'abscisse x se situe en présence de l'onde en x + ξ(x + t). L'onde sonore perturbe aussi la pression, qui vaut po + p1(x, t), et la masse volumique notée µo + µ1(x, t). po et µo sont les pressions et masse volumique en l'absence d'onde sonore. On supposera que l'onde sonore perturbe peu le milieu, soit : 𝜕𝜕ξ𝜕𝜕𝑘𝑘≪1,𝑝𝑝1≪ 𝑝𝑝0 𝑒𝑒𝑒𝑒 µ1≪µ0
a) En prenant comme système l'air qui, au repos, se trouve sur une section S entre x et x + dx, et en utilisant la conservation de la masse, écrire l'expression de µ1 en fonction de ξ.
b) Comment doit-on choisir dx par rapport à la longueur d'onde ainsi qu'au libre parcours moyen 𝑙𝑙 (distance moyenne entre deux chocs) ? c) On suppose que, pour une onde sonore, la tranche d'air subit une transformation adiabatique réversible, caractérisée par le coefficient de
compressibilité isentropique χ𝑠𝑠. En déduire une relation entre µ1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝1. d) Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour le système.
e) En déduire l'équation de propagation vérifiée par la pression p(x, t).
f) Exprimer χ𝑠𝑠 pour un gaz parfait caractérisé par γ = 1,4 et M=29.10-3 kg.mol-1. Montrer que la vitesse du son selon ce modèle est 𝑐𝑐 =�γRTM0
OD28 - Influence du milieu sur la propagation d’une onde sonore
La définition d'un coefficient de compressibilité isentropique χs, sous forme d'une constante suppose que les variations µ de la masse volumique ρ sont en phase avec les variations p de la pression. En réalité, la réponse du milieu à une variation de pression n'est pas instantanée et elle peut être modélisée par l'équation d'évolution liant les variations de µ à celles de p : 𝑝𝑝=𝜇𝜇01𝜒𝜒𝑠𝑠�𝜇𝜇+𝜏𝜏𝑑𝑑𝜇𝜇𝑑𝑑𝜔𝜔� où τ est un temps de relaxation.
1°) En considérant que l'on impose brutalement à un milieu initialement au repos une surpression constante p0, montrer que l'équation précédente traduit effectivement une réponse retardée du milieu à cette excitation.
2°) Démontrer pour les ondes sonores, l’équation du mouvement et de la conservation de la masse à partir des expressions générales de la mécanique des fluides.
3°) Montrer qu'en tenant compte du retard de la réponse du milieu, l'équation de propagation de la surpression p prend ici la forme : 𝑛𝑛²𝑝𝑝
𝑛𝑛𝑒𝑒²− 𝑐𝑐²�𝜕𝜕²𝑝𝑝
𝜕𝜕𝑑𝑑²+𝜏𝜏 𝜕𝜕3𝑝𝑝
𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑑𝑑²�= 0
4°) En cherchant une solution sous la forme d'une O.P.P.M de pulsation ω et de vecteur d’onde 𝑘𝑘�⃗=𝑘𝑘𝑒𝑒���⃗𝑘𝑘, soit en notation complexe 𝑝𝑝= 𝑝𝑝0𝑒𝑒𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘), déterminer la relation liant ω et k. Montrer que cette relation conduit à une propagation de l'onde qui est atténuée exponentiellement et calculer le coefficient d'atténuation. On fera l'hypothèse que ωτ ≪1 et on se limitera dans les calculs aux termes d'ordre 1 en ωτ. Dans cette approximation, quelle est la vitesse de phase des ondes acoustiques dans le milieu ?
OD31 – OPPM dans le vide et vecteur de Poynting
On considère une onde plane progressive monochromatique (OPPM) qui se propage suivant l’axe Ox. Le champ électrique est polarisé suivant 𝑢𝑢𝑦𝑦
����⃗.
1°) Établir l’équation de propagation et en déduire la relation de dispersion.
2°) Déterminer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde à travers une surface S perpendiculaire à la direction de propagation.
3°) Déterminer le flux du champ magnétique à travers un cadre carré de côté a=1m, formé de N spires et situé dans un plan perpendiculaire à 𝑢𝑢����⃗ pour 𝑧𝑧 une fréquence f = 100 MHz.
4°) Que se passe-t-il, pour le flux, si la fréquence vaut f = 160 kHz ?
OD32 - Ondes planes stationnaires entre deux plans
On dispose dans le vide deux plans parfaitement conducteurs, parallèles, d'équations respectives x=0 et x=a. On se propose d'étudier une onde électromagnétique, stationnaire, plane, monochromatique, à polarisation rectiligne entre ces deux plans : 𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸0 𝑑𝑑(𝑑𝑑) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(ω𝑒𝑒) 𝑢𝑢����⃗𝑦𝑦
1°) En admettant que les champs 𝐸𝐸�⃗ et 𝐵𝐵�⃗ sont nuls dans un métal parfaitement conducteur, écrire les conditions aux limites que doivent vérifier les champs 𝐸𝐸�⃗ et 𝐵𝐵�⃗ dans le vide en x=0 et x=a par continuité de la composante tangentielle de 𝐸𝐸�⃗ et normale de 𝐵𝐵�⃗.
2°) Déterminer la fonction f(x) et montrer que la pulsation ω est nécessairement quantifiée.
3°) Calculer le champ magnétique à de cette onde.
4°) Calculer l'énergie électrique ε𝑒𝑒 et l'énergie magnétique ε𝐵𝐵, emmagasinée dans un volume cylindrique d'axe (0x), situé entre les deux plans et de section S.
Montrer qu'il y a échange permanent entre énergie électrique et énergie magnétique.
OD33 – Pression de radiation
Soit une onde plane, monochromatique, de fréquence ν, se propageant dans la direction et le sens de 𝑢𝑢����⃗, dont le champ électrique est 𝐸𝐸�⃗(𝑑𝑑,𝑘𝑘 𝑒𝑒) = 𝐸𝐸0cos(ω𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑑𝑑) 𝑢𝑢����⃗. On rappelle que l’éclairement 𝜀𝜀 est la puissance moyenne qui traverse une surface d’aire unité perpendiculaire à la direction de 𝑦𝑦
propagation.
1°) Exprimer 𝜀𝜀 en fonction de 𝜀𝜀0,𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸0.
2°) On considère cette onde comme un faisceau de photons se propageant dans la direction et le sens de 𝑢𝑢����⃗. 𝑘𝑘
a) Exprimer le nombre 𝑁𝑁0 de photons traversant par unité de temps l’unité de surface perpendiculaire à Ox en fonction de 𝜀𝜀 et de ν.
b) L’onde arrive sur une surface plane perpendiculaire à Ox, d’aire S, parfaitement réfléchissante. On étudie le rebondissement des photons sur cette surface.
- Quelle est la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d’un choc photon-paroi ? - Quelle est la force subie par la paroi en fonction de 𝜀𝜀, S et c ?
- Exprimer la pression p subie par la paroi en fonction de 𝜀𝜀 et c puis en fonction de 𝜀𝜀0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸0. c) Reprendre la question ci-dessus lorsque la paroi est parfaitement absorbante.
d) Calculer ε,𝐸𝐸0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝 sur une paroi totalement absorbante pour un laser ayant un diamètre d = 5,00 mm et une puissance moyenne P = 100 W (laser utilisé industriellement pour la découpe de feuilles).
3°) L’onde est maintenant absorbée par une sphère de rayon a, bien inférieur au rayon du faisceau.
a) Quelle est, en fonction de ε , a et c la force 𝐹𝐹⃗ subie par la sphère ?
b) Le Soleil donne au voisinage de la Terre (juste au-dessus de l’atmosphère terrestre) l’éclairement ε= 1,40. 103 𝑊𝑊.𝑚𝑚−2. L’émission est isotrope, la distance Terre-Soleil est égale à 𝐷𝐷 = 150 × 106 𝑘𝑘𝑚𝑚. Sur une surface de dimensions petites devant D, l’onde arrivant du Soleil est quasi- plane. Quelle est la puissance 𝑃𝑃0 émise par le Soleil ?
Un objet sphérique, de rayon a, de masse volumique µ, est, dans le vide interplanétaire, à la distance r du Soleil et absorbe totalement le rayonnement solaire. Évaluer le rapport entre la force due à l’absorption du rayonnement solaire et la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur cet objet dans les deux cas suivants :
- Cas d’une météorite : 𝜇𝜇 = 3,0 × 103 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃 = 1,0 𝑚𝑚.
- Cas d’une poussière interstellaire : 𝜇𝜇 = 1,0 × 103 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃 = 0,1 𝜇𝜇𝑚𝑚. Commenter.
Données : constante de la gravitation universelle 𝐺𝐺 = 6,67 × 10−11 𝑁𝑁.𝑚𝑚2.𝑘𝑘𝑘𝑘−2 et la masse du Soleil : 𝑀𝑀𝑆𝑆= 2,0 × 1030 𝑘𝑘𝑘𝑘.
OD34 - Ondes se propageant entre deux plans
Une onde électromagnétique se propage dans le vide, parallèlement à (0x), entre les plans z=0 et z=a considérés comme conducteurs parfaits. Son champ électrique est :
𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸0𝑐𝑐𝑠𝑠𝑛𝑛 �π 𝑧𝑧
𝑃𝑃 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(ω𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑑𝑑) 𝑢𝑢����⃗ 𝑦𝑦
1°) Quel est le champ magnétique associé à cette onde ? 2°) Cette onde est-elle plane ? transverse ?
3°) Quelle est la relation de dispersion des ondes étudiées ?
4°) Quelle vitesse de phase 𝑣𝑣𝜑𝜑=ω𝑘𝑘 pouvons-nous associer à ces ondes ? Quelle est la particularité de cette vitesse ?
5°) Calculer l'énergie moyenne 〈𝜀𝜀〉 contenue dans un parallélépipède de volume ∆x∆y∆z avec ∆x=∆y=1 et ∆z=a.
6°) Quelle est l'énergie moyenne 〈φ〉 transportée, par unité de temps, par l'onde à travers une section de hauteur a et de largeur unité perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde ?
7°) Quelle vitesse d'énergie 𝑣𝑣𝑒𝑒=〈φ〉〈𝜀𝜀〉 pouvons-nous associer à cette onde ? La comparer à la vitesse de phase.
OD35 - Propagation guidée et relation de dispersion
On considère deux plans parfaitement conducteurs, parallèles au plan Oyz, d’abscisses x=0 et x=d. Une onde électromagnétique se propage dans le vide suivant 𝑢𝑢����⃗ entre ces deux plans. On appelle c la célérité de la lumière dans la vide. 𝑧𝑧
1°) Établir l’équation de propagation.
2°) On cherche le champ électrique sous la forme :
𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸(𝑑𝑑) 𝑒𝑒𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑢𝑢����⃗𝑦𝑦
Établir la relation de dispersion. Montrer que l’on doit avoir une fréquence supérieure à une fréquence minimale 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 pour avoir propagation de cette onde. Déterminer 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 en fonction de c et d. Quelle est la nature de l’onde ?
OD36 - Profondeur de pénétration d'une onde thermique
Les variations de température à la surface du sol se répercutent de proche en proche en profondeur. Cet exercice vise à interpréter pour quelle raison une gelée brutale, apparue en une nuit, a beaucoup moins d'influence sur la végétation qu'un long hiver. Pour la terre, on adopte la valeur de diffusivité suivante : 𝐾𝐾=µ𝑐𝑐λ. Pour simplifier l'étude, on assimile chaque évolution temporelle sur l'une ou l'autre période (jour ou année) à une sinusoïde.
a) Chercher une solution à l'équation de la chaleur unidimensionnelle, sous forme d'une onde progressive de vecteur d'onde éventuellement complexe (on raisonnera en notation complexe et on ne manquera pas de relever l'analogie avec la pénétration d'une onde électromagnétique dans un métal).
b) Calculer, dans les deux cas envisagés, à quelle profondeur on enregistre une amplitude de variation égale au dixième de celle observée à la surface. Commenter.
c) Les variations à la surface du sol et à cette profondeur sont-elles en phase ?
OD37 - Onde cylindrique
On étudie une onde électromagnétique cylindrique, émise par des sources situées le long d'un axe Oz. En coordonnées cylindriques d'axe Oz, le champ électrique s'écrit : 𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀,𝑒𝑒) =𝐸𝐸(𝑟𝑟) exp𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔 — 𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑢𝑢����⃗; où E(r) est réel. L'onde se propage dans le vide. 𝑧𝑧
1°) Déterminer le champ magnétique associé à ce champ électrique, en utilisant le formulaire suivant.
𝑟𝑟𝑐𝑐𝑒𝑒
������⃗ 𝐴𝐴⃗ =
⎝
⎜⎜
⎜⎛ 1
𝑟𝑟𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧
𝜕𝜕θ − 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑧𝑧θ
𝜕𝜕𝐴𝐴𝑘𝑘
𝜕𝜕𝑧𝑧 −𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧
1 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑟𝑟 �𝜕𝜕(𝑟𝑟𝐴𝐴θ)
𝜕𝜕𝑟𝑟 −𝜕𝜕𝐴𝐴𝑘𝑘
𝜕𝜕θ�⎠
⎟⎟
⎟⎞
Commenter l'expression du champ magnétique obtenu.
2°) Quelle est la valeur moyenne 〈𝑛𝑛�⃗〉 du vecteur de Poynting ? En déduire la puissance moyenne P rayonnée à travers un cylindre d'axe Oz de hauteur h = 1 m et de rayon r.
3°) En déduire l'expression de E(r) en fonction de r, P, k, ω et µ0.
4°) Dans la zone de champ lointain (r>>λ), donner les champ 𝐸𝐸�⃗ et 𝐵𝐵�⃗ et décrire la structure de l'onde.
5°) En déduire la relation de dispersion, en considérant l'onde dans la zone de champ lointain.
On rappelle l'expression du laplacien d'un champ scalaire de la forme U (r, t) en coordonnées cylindriques : ∆𝑈𝑈=1𝑘𝑘𝜕𝜕𝑘𝑘𝜕𝜕�𝑟𝑟𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑘𝑘�
OD41 – Onde de marée
La relation de dispersion d’une onde à la surface d’une eau de profondeur h est donnée par : ω2=�𝑘𝑘𝑘𝑘+µγ𝑘𝑘3�tanh(𝑘𝑘ℎ)
où g est l’accélération de la pesanteur, µ la masse volumique de l’eau et γ la constante de tension superficielle à l’interface eau-air.
1°) Déterminer la dimension de γ.
2°) Déterminer la distance caractéristique 𝑙𝑙𝑐𝑐, appelée longueur capillaire, qui permet de comparer les effets de la tension superficielle (Second terme) et ceux de la pesanteur (Premier terme).
3°) Comment se simplifie l’équation de dispersion si la longueur d’onde λ est très inférieure à 𝑙𝑙𝑐𝑐 ? Si elle est très supérieure à 𝑙𝑙𝑐𝑐 ?
Donner dans chaque cas la vitesse de phase 𝑣𝑣𝜑𝜑 et la vitesse de groupe 𝑣𝑣𝑔𝑔 dans un milieu de faible profondeur (ℎ ≫λ) puis dans un milieu de grande profondeur (ℎ ≪λ). Quand a-t-on dispersion ?
4. On donne γ = 7,3 × 10−2𝐽𝐽𝑚𝑚−2
Calculer 𝑙𝑙𝑐𝑐. Calculer 𝑣𝑣𝜑𝜑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣𝑔𝑔 pour une onde de marée dans l’océan (on prendra λ= 1000𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 ℎ= 5𝑘𝑘𝑚𝑚), une houle de longueur d’onde 5 m dans un océan profond, puis pour une onde dans une cuve à onde (λ= 3𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 ℎ= 1𝑚𝑚𝑚𝑚).
OD42 – Ondes planes progressives harmoniques dans un conducteur métallique
Dans un conducteur métallique, les électrons assurent la conduction et nous admettrons que leur mouvement est régi par l’équation : 𝜕𝜕𝑣𝑣�⃗𝜕𝜕𝜔𝜔+𝑣𝑣�⃗𝜏𝜏=
−𝑚𝑚𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗ où τest un temps caractéristique reflétant l’interaction des électrons avec le réseau cristallin. La densité volumique d’électrons est notée n.
1°) Montrer qu’il est possible de définir une conductivité complexe du métal si n est une constante. Donner le lien entre 𝛾𝛾0 conductivité en régime indépendant du temps et τ.
Par la suite, la densité volumique d’électrons notée n est supposée uniforme et constante et on étudie la propagation d’une onde plane progressive monochromatique en notation complexe.
2°)
a) Montrer que n=cste est équivalent à n’étudier que les ondes transverses.
b) Montrer que l’équation de propagation s’écrit : ∆𝐸𝐸�⃗ −𝑐𝑐12
𝜕𝜕2𝐸𝐸�⃗
𝜕𝜕𝜔𝜔2=µ0𝜕𝜕𝚥𝚥⃗
c) En déduire la relation de dispersion en fonction de γ. 𝜕𝜕𝜔𝜔
d) On pose : ω𝑝𝑝2=𝑛𝑛𝑒𝑒ε 2
0𝑚𝑚. Exprimer 𝑘𝑘2 en fonction de τ, ω et ω𝑝𝑝.
Dans le cas du cuivre : 𝑛𝑛= 1029𝑚𝑚−3,τ= 10−14𝑐𝑐,𝑒𝑒= 1,6 10−16𝐶𝐶 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚= 9,1 10−31𝑘𝑘𝑘𝑘.
e) Calculer les pulsations caractéristiques 1τ 𝑒𝑒𝑒𝑒 ω𝑝𝑝. À quel domaine d’ondes correspondent-elles ?
3°) On pose 𝑘𝑘=𝑘𝑘1− 𝑗𝑗 𝑘𝑘2. On a représenté l’évolution de 𝑘𝑘1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘2 dans un diagramme « log – log » en fonction de ω. En déduire l’existence de trois régimes asymptotiques dont on précisera les caractéristiques.
4°) On se place à basse fréquence ω≪1τ :
a) Donner une expression simplifiée de 𝑘𝑘. Exprimer les champs électrique et magnétique pour une OPPM se propageant selon les z croissants et polarisées selon (Ox).
b) Montrer que l’onde s’atténue rapidement avec une profondeur caractéristique dont on donnera l’expression en fonction ω de et 𝛾𝛾0. Calculer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne. Que remarque-t-on à la limite du très bon conducteur ?
5°) On se place à haute fréquence ω≫1τ∶
a) Montrer que suivant les valeurs de ω, l’onde peut ou ne peut pas se propager. À quel domaine d’ondes correspond la transparence ?
b) Dans le cas où il n’y a pas propagation, caractériser l’onde en exprimant ses champs pour une onde plane monochromatique s’atténuant selon les z croissants et polarisée selon (Ox). Calculer son vecteur de Poynting et sa valeur moyenne. Comparer au résultat de 4b).
OD43 - Propagation dans l’ionosphère, influence du champ magnétique terrestre
Un plasma peu dense, est plongé dans un champ magnétique statique 𝐵𝐵����⃗0. Une onde électromagnétique plane polarisée rectilignement se propage dans ce plasma dans une direction perpendiculaire à 𝐵𝐵����⃗0. On note m la masse des électrons du plasma, e la charge élémentaire et 𝑛𝑛0 la densité volumique d’électrons dans le plasma.
1°) La relation de dispersion du plasma est-elle modifiée lorsque les directions du champ électrique 𝐸𝐸�⃗ de l’onde et le champ magnétique 𝐵𝐵����⃗ sont parallèles 0
ou perpendiculaires ?
Dans le cas où elle est modifiée, on montre que la relation de dispersion s’écrit : 𝑘𝑘2𝑐𝑐2=�𝜔𝜔2− 𝜔𝜔𝑝𝑝2�2− 𝜔𝜔𝑐𝑐2𝜔𝜔2
𝜔𝜔2− 𝜔𝜔𝑝𝑝2− 𝜔𝜔𝑐𝑐2 𝑐𝑐ù 𝜔𝜔𝑐𝑐=𝑒𝑒𝐵𝐵0
𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜔𝜔𝑝𝑝2=𝑛𝑛0𝑒𝑒2 𝑚𝑚𝜀𝜀0
2°) On fournit le tracé de la courbe 𝑘𝑘2𝑐𝑐2=𝑑𝑑(𝜔𝜔2) en déduire le(s) domaine(s) de pulsation pour le(s)quel(s) l’onde peut se propager dans le plasma.
3°) L’ionosphère se comporte comme un plasma de densité uniforme 𝑛𝑛0. On envoie verticalement une onde depuis la Terre. Lorsque l’émission de l’onde est telle que le champ électrique est parallèle au champ magnétique terrestre, il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d’onde émise supérieure à 𝜆𝜆0= 42,70 𝑚𝑚. Lorsque ces deux directions sont perpendiculaires, l’écho se produit pour une longueur d’onde supérieure à 𝜆𝜆1= 38,90 𝑚𝑚.
a) En déduire les valeurs numériques de la densité volumique d’électrons 𝑛𝑛0 et du champ magnétique terrestre 𝐵𝐵0. b) Le champ magnétique terrestre décroît en fonction de l’altitude z selon la loi : 𝐵𝐵0(𝑧𝑧) =𝐵𝐵0(0)�1 +𝑅𝑅𝑧𝑧22�−
3
2 où 𝐵𝐵0(0) = 47000 × 10−8 𝑇𝑇 est sa valeur au niveau du sol et 𝑅𝑅= 6360𝑘𝑘𝑚𝑚 le rayon terrestre.
Calculer l’altitude de la couche réfléchissante. Proposer une application de cette propriété.
OD44 - Effet de peau dans un cylindre métallique
Un cylindre métallique de rayon a et grande longueur L, et de conductivité γ, est placé à l'intérieur d'un solénoïde de très grande longueur parcouru par un courant 𝐼𝐼=𝐼𝐼0cos(𝜔𝜔𝑒𝑒) à la fréquence f = 1 kHz.
a) Quelle est l'unité de δ=�𝜇𝜇01𝛾𝛾𝜔𝜔 ? Calculer cette quantité.
b) On observe un échauffement du cylindre. Expliquer.
c) Montrer que l'équation de Maxwell-Ampère prend une forme simplifiée dans le cylindre métallique. En déduire l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ magnétique dans le cylindre métallique.
d) Quelle est la forme du champ magnétique 𝐵𝐵�⃗ dans le cylindre ? Montrer que son amplitude complexe 𝐵𝐵�⃗ obéit à l'équation : 𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑢𝑢 �𝑢𝑢 𝑛𝑛𝐵𝐵 𝑛𝑛𝑢𝑢�=𝑠𝑠𝑢𝑢𝐵𝐵 où u est une variable qu'on définira.
e) La solution est une fonction de Bessel-Kelvin, dont les parties réelle ber et imaginaire bei sont tracées ci-dessous. Commenter.
f) Que dire des courants ?
On donne : γ= 108Ω−1𝑚𝑚−1, et en coordonnées cylindriques :
∆𝑑𝑑=1 𝑟𝑟
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑟𝑟 �𝑟𝑟𝜕𝜕𝑑𝑑
𝜕𝜕𝑟𝑟�+1 𝑟𝑟2
𝜕𝜕2𝑑𝑑
𝜕𝜕θ 2 +𝜕𝜕2𝑑𝑑
𝜕𝜕𝑧𝑧2 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∆��⃗𝐴𝐴⃗=
⎝
⎜⎛∆𝐴𝐴𝑘𝑘− 𝐴𝐴𝑟𝑟2𝑘𝑘− 2 𝑟𝑟2𝜕𝜕𝐴𝐴θ
𝜕𝜕θ
∆𝐴𝐴θ− 𝐴𝐴𝑟𝑟2θ+ 2𝑟𝑟2𝜕𝜕𝐴𝐴𝑘𝑘
𝜕𝜕θ
∆𝐴𝐴𝑧𝑧 ⎠
⎟⎞
OD45 - Plasma
On étudie la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma globalement neutre constitué de N électrons libres par unité de volume de masse m et de N ions positifs par unité de volume de masse M. Une onde électromagnétique : 𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀,𝑒𝑒) =𝐸𝐸𝑜𝑜ei(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑧𝑧)𝑢𝑢����⃗ se propage dans ce milieu. On 𝑘𝑘
pose ω𝑝𝑝2=𝑁𝑁𝑒𝑒𝑚𝑚ε2
0. On suppose que M » m.
Données∶ ε0=36π 101 9𝐹𝐹𝑚𝑚−1 ; 𝑒𝑒 = 1,6 10−19 𝐶𝐶 ; 𝑁𝑁 = 1,22 1012é𝑙𝑙𝑒𝑒𝑐𝑐𝜔𝜔𝑘𝑘𝑜𝑜𝑛𝑛𝑠𝑠
𝑚𝑚3 ,𝑐𝑐 = 3 108 𝑚𝑚.𝑐𝑐−1 ; 𝑚𝑚 = 9,1 10−31 𝑘𝑘𝑘𝑘
1°) Montrer que l'action du champ magnétique sur un électron est négligeable devant celle du champ électrique. Exprimer les vecteurs courant de conduction 𝚥𝚥��⃗ et courant de déplacement 𝚥𝚥𝑐𝑐 ���⃗ en fonction de 𝐸𝐸�⃗, ω, ω𝑑𝑑 p et ε0. Établir l'équation de propagation et la relation de dispersion.
2°) Montrer que la fréquence de l'onde doit être supérieure à une fréquence de coupure 𝑑𝑑𝑐𝑐 pour avoir propagation. Calculer 𝑑𝑑𝑐𝑐 . Dans le cas où il y a propagation, représenter graphiquement la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la fréquence. Exprimer l'indice dans le plasma en fonction de ω et ωp.
OD51 - Transmission d'une onde sonore au travers d'un mur
Un mur, d'épaisseur e et masse volumique µm, est atteint par une onde sonore incidente se propageant dans l'air de masse volumique µ0 et célérité sonore c. L'impédance acoustique de l'air est notée Z.
a) Donner les formes des ondes sonores de pression et vitesse incidentes qui sont des ondes planes progressives monochromatiques, de pulsation ω. On note A l'amplitude de la surpression et on utilisera la notation complexe.
b) Faire de même avec les ondes réfléchie et transmise. On note r et t les coefficients de réflexion et transmission en pression dans l'air derrière le mur.
c) On suppose que le mur vibre en bloc. Qu'est-ce que cela signifie sur son épaisseur e ? Expliquer pourquoi, lors de l'écriture des relations de passage de part et d'autre du mur, on peut supposer le mur d'épaisseur quasi nulle.
d) Qu'en déduire sur les vitesses particulaires avant et après le mur ? e) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au mur.
f) En déduire l'expression de t.
g) Calculer le coefficient de transmission en puissance T. On rappelle que : <𝑑𝑑 𝑘𝑘> =12 𝑅𝑅 𝑒𝑒 (𝑑𝑑 𝑘𝑘∗).
h) Commenter son expression. Comment le mur se comporte-t-il aux basses et hautes fréquences ? Comment doit-on s'y prendre pour que le mur atténue efficacement les ondes sonores ?
i) Application numérique pour 𝑑𝑑 = 100 𝐻𝐻𝑧𝑧,𝑍𝑍 = 410 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−2.𝑐𝑐−1,𝑒𝑒 = 15 𝑐𝑐𝑚𝑚,µ𝑚𝑚 = 2 000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚−3 (𝑏𝑏é𝑒𝑒𝑐𝑐𝑛𝑛). Pour un son extérieur de niveau 80 dB, quel est le niveau sonore à l'intérieur ?
OD52 – Interface atmosphère - ionosphère
L’ionosphère peut être assimilée à un plasma neutre. On étudie la propagation des ondes radio à l’interface atmosphère - ionosphère supposée plane.
L’ionosphère est dans la région z>0 et l’atmosphère dans la région z<0. Le champ incident est : 𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖=𝐸𝐸0 𝑒𝑒𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑧𝑧)����⃗. Lorsque l’onde arrive sur l’interface, 𝑢𝑢𝑘𝑘
une partie est réfléchie et l’autre partie est transmise. L’indice de réfraction de l’ionosphère est 𝑛𝑛 =�1−𝜔𝜔𝜔𝜔𝑝𝑝22. La fréquence plasma vaut 𝑑𝑑𝑝𝑝= 6,9 𝑀𝑀𝐻𝐻𝑧𝑧.
On admet la continuité du champ électromagnétique en z=0.
1°) Déterminer les coefficients de réflexion r et de transmission t en amplitude pour le champ électrique. En déduire les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance. Quelle est la relation entre R et T ?
2°) Quelle est la valeur de R lorsque ω<ω𝑝𝑝 ? Dans ce cas, à quoi peut-on assimiler l’interface atmosphère-ionosphère ?
3°) On se place maintenant dans le cas d’une incidence oblique, et on désigne par i l’angle d’incidence. A quelles conditions une onde peut-elle être transmise dans l’ionosphère ?
4°) Un poste émetteur, au niveau de la mer, émet une onde radio de fréquence 12 MHz vers l’ionosphère, dans une direction faisant l’angle i avec la normale à l’interface. En supposant que l’onde arrive sur l’interface précédente sous forme d’onde plane, calculer l’angle i, à partir duquel l’onde incidente ne traversera plus l’interface.
OD53 – Couche antireflet
Un milieu transparent, d’indice N est limité par une surface plane. Cette surface est recouverte par une couche mince transparente d’indice n et d’épaisseur uniforme e. Une onde plane progressive monochromatique (1) tombe sur la surface x=0 sous incidence normale. Elle donne naissance à une onde réfléchie 𝐸𝐸1′
����⃗ et une onde transmise 𝐸𝐸����⃗. L’onde 𝐸𝐸2 ����⃗ tombe sur la surface x=e. Elle donne naissance à une onde réfléchie 𝐸𝐸2 ����⃗2′ et une onde transmise 𝐸𝐸����⃗. On rappelle les 3 relations de passage :
𝐸𝐸2
����⃗ − 𝐸𝐸����⃗1=σ
ε0 𝑛𝑛1→2 ; 𝐵𝐵����⃗ − 𝐵𝐵2 ����⃗1=µ0𝚥𝚥��⃗ ∧ 𝑛𝑛𝑠𝑠 ���������⃗ 1→2
1°) Déterminer r le coefficient de réflexion en amplitude 𝑟𝑟=𝐸𝐸𝐸𝐸1′
1 dans le cas où 𝑒𝑒=4𝑛𝑛λ.
2°) Comment doit-on choisir n pour éliminer les pertes de lumière par réflexion ? Application numérique : N = 1,8.
