Param´ etrages et ´ equations dans l’espace

Universit´e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles

Ann´ee universitaire 2013-2014 MA 0803 - Master 1

Espaces affines euclidiens:

Param´ etrages et ´ equations dans l’espace

TD3

On se place dans l’espace affine euclidien muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,−→ i ,−→

j ,−→ k).

Exercice 1

1. D´eterminer une ´equation du plan contenantD1et parall`ele `aD⁰₁avec :

D1:







x= 1 + 2t y= 1−t z= 3t

et D⁰₁:

x−y= 0 x+y+z= 1

2. (a) Montrer queD2et D₂⁰ sont s´ecantes, avec : D2:

x= 2 +z

y =−1−3z et D⁰₂:

x+ 2y+z−4 = 0 3x+ 3y+ 2z−7 = 0 (b) Donner une ´equation du plan contenantD2et D₂⁰.

Exercice 2

1. D´eterminer les coordonn´ees des points d’intersection de la sph`ereS(O,1) avec la droiteDpassant par le pointA(1,1,1) et dirig´ee par−→u(1,2,1).

2. D´eterminer une ´equation cart´esienne du cylindre de r´evolution de rayon 2 et d’axeD=O+V ect(−→u) avec

−

→u = (1,2,1)

Exercice 3 On consid`ere dans un rep`ere orthonorm´e une droite non horizontaleDayant pour vecteur directeur

−

→u(a, b, c) (a, b, c6= 0) et passant par un point donn´eA(x0, y0, z0).

1. A quelle condition cette coupe-t-elle la droite (Oz)?

2. D´eterminer une ´equation cart´esienne de la surface Σ obtenue par rotation deDautour de (Oz) en distin- guant les cas o`u Dcoupe ou non (Oz).

Exercice 4 On consid`ere la droiteDd’intersection des plans non parall`elesP et P⁰ : P : ux+vy+wz+h= 0 etP⁰: u⁰x+v⁰y+w⁰z+h⁰= 0.

D´eterminer tous les plans contenant D.

Exercice 5 Soitλ∈Ret soient les plansP1,P2et P3 d’´equations :

ˆ P1: λx+y+z+ 1 = 0;

ˆ P₂: x+λy+z+λ= 0;

ˆ P₃: x+y+λz+ 1 = 0.

D´eterminer selonλla nature de l’intersection des ces trois plans.

Dans le cas o`u cette intersection est une droite, donner une repr´esentation param´etrique de cette droite.

Exercice 6 D´eterminer les ´equations cart´esiennes de la perpendiculaire commune aux deux droites : D:

x−y−z−2 = 0

3x+y−2z+ 4 = 0 et D⁰ :

2x−4y+z−1 = 0 3x−6y+ 4z+ 3 = 0

1

Exercice 7

1. Soient deux droites non parall`eles D et D⁰. D´eterminer une ´equation de l’ensemble des points M

´

equidistants des droites Det D⁰.

2. Soienta, b, c∈R. On consid`ere la droiteDpassant parA(a, b, c) et dirig´ee par−→u = (1,2,1) et la droiteD⁰ passant parA⁰(c, b, a) et dirig´ee par−→

u⁰ = (2,1,2). A quelle condition sura, b, cces deux droites sont-elles coplanaires? Donner alors une ´equation de leur plan commun.

Exercice 8

1. Soient A(0,0,3) etB(2,2,2). D´eterminer une ´equation de la sph`ereS<sub>1</sub> de diam`etreAB.

2. Soient S2la sph`ere de centre Ω(1,3,0) et passant parA(−1,1,2).

(a) D´eterminer une ´equation de la sph`ereS2. (b) Donner une ´equation du plan tangent `aS2 enA.

3. Soient S3:x²+y²+z²−2x+ 2y−4z−3 = 0.

(a) D´eterminer les coordonn´ees du centre et le rayon de la sph`ereS3.

(b) Montrer que le planP : 2x+ 2y−z−7 = 0 est tangent `a S3et d´eterminer les coordonn´ees du point de contact.

Exercice 9 Soient le pointA(1,2,1) et les vecteurs−u→1(1,1,−2), −→u2(1,−1,1) et−u→3(3,0,2). On note :

ˆ P1le plan passant par Aet de vecteur normal−u→1;

ˆ P2le plan passant par Aet de vecteurs directeurs−→u₂ et−u→₃;

ˆ P₁⁰ le plan d’´equation 2x+y+z+ 1 = 0;

ˆ P₂⁰ le plan d’´equationx−y−z−4 = 0.

SoientD=P1∩ P2 etD⁰ =P₁⁰ ∩ P₂⁰.

1. Montrer que D et D⁰ sont des droites. Donner un point et un vecteur directeur pour chacune de ces droites.

2. Soient Π le plan orthogonal `aDenAet Π<sup>0</sup> le plan orthogonal `aD⁰ enA⁰(1,−1,−2).

(a) D´eterminer une ´equation de Π.

(b) D´eterminer une ´equation de Π⁰.

(c) D´eterminer une repr´esentation param´etrique de ∆ = Π∩Π⁰.

3. SoitS la sph`ere tangente `aDenAet `a D⁰ enA⁰. On note Ω son centre et Rson rayon.

(a) Montrer que Ω∈Π.

(b) D´eterminer les coordonn´ees de Ω.

(c) D´eterminerR.

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