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ParisDescartes2012—2013Mathématiquesetcalcul1 Intermède Intermède

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Texte intégral

(1)

Intermède

Intermède

(2)

Intermède

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É

Les entiers naturels :

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n, · · · }

É

Les entiers relatifs :

Z = {· · · , − n, · · · , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n · · · }

É

Les nombres rationnels : Q = { p

q | p ∈ Z , q ∈ N , q 6 = 0}

É

Les nombres réels :

R

É

Les nombres complexes :

C = { a + i.b | a ∈ R , b ∈ R , i

2

= −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(3)

Intermède

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É

Les entiers naturels :

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n, · · · }

É

Les entiers relatifs :

Z = {· · · , − n, · · · , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n · · · }

É

Les nombres rationnels : Q = { p

q | p ∈ Z , q ∈ N , q 6 = 0}

É

Les nombres réels :

R

É

Les nombres complexes :

C = { a + i.b | a ∈ R , b ∈ R , i

2

= −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(4)

Intermède

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É

Les entiers naturels :

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n, · · · }

É

Les entiers relatifs :

Z = {· · · , − n, · · · , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n · · · }

É

Les nombres rationnels : Q = { p

q | p ∈ Z , q ∈ N , q 6 = 0}

É

Les nombres réels :

R

É

Les nombres complexes :

C = { a + i.b | a ∈ R , b ∈ R , i

2

= −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(5)

Intermède

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É

Les entiers naturels :

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n, · · · }

É

Les entiers relatifs :

Z = {· · · , − n, · · · , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n · · · }

É

Les nombres rationnels : Q = { p

q | p ∈ Z , q ∈ N , q 6 = 0}

É

Les nombres réels :

R

É

Les nombres complexes :

C = { a + i.b | a ∈ R , b ∈ R , i

2

= −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(6)

Intermède

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É

Les entiers naturels :

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n, · · · }

É

Les entiers relatifs :

Z = {· · · , − n, · · · , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n · · · }

É

Les nombres rationnels : Q = { p

q | p ∈ Z , q ∈ N , q 6 = 0}

É

Les nombres réels :

R

É

Les nombres complexes :

C = { a + i.b | a ∈ R , b ∈ R , i

2

= −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(7)

Intermède

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É

Les entiers naturels :

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n, · · · }

É

Les entiers relatifs :

Z = {· · · , − n, · · · , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , · · · , n · · · }

É

Les nombres rationnels : Q = { p

q | p ∈ Z , q ∈ N , q 6 = 0}

É

Les nombres réels :

R

É

Les nombres complexes :

C = { a + i.b | a ∈ R , b ∈ R , i

2

= −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(8)

Intermède

π

π = périmètre du cercle

diamètre du cercle

(9)

Intermède

π

π = périmètre de l’hexagone

diamètre du cercle = 3

(10)

Intermède

π

π = périmètre du dodécagone

diamètre du cercle = 3 , 105 828 541

(11)

Intermède

π

π = périmètre pour 24 côtés

diamètre du cercle = 3 , 132 628 613

(12)

Intermède

π

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 -

169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 -

628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 -

844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 -

701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 -

975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 -

145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 -

249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 -

829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 -

466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 -

953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 -

962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 -

833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 -

702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 -

818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 . . .

(13)

Intermède

Les nombres réels

On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possède les propriétés suivantes :

É

R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ R

É

R possède une addition et une multiplication qui

prolongent l’addition et la multiplication définies sur Q

É

R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur Q

É

R possède la propriété d’Archimède :

Si A ∈ R , A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n

(14)

Intermède

Les nombres réels

On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possède les propriétés suivantes :

É

R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ R

É

R possède une addition et une multiplication qui

prolongent l’addition et la multiplication définies sur Q

É

R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur Q

É

R possède la propriété d’Archimède :

Si A ∈ R , A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n

(15)

Intermède

Les nombres réels

On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possède les propriétés suivantes :

É

R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ R

É

R possède une addition et une multiplication qui

prolongent l’addition et la multiplication définies sur Q

É

R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur Q

É

R possède la propriété d’Archimède :

Si A ∈ R , A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n

(16)

Intermède

Les nombres réels

On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possède les propriétés suivantes :

É

R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ R

É

R possède une addition et une multiplication qui

prolongent l’addition et la multiplication définies sur Q

É

R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur Q

É

R possède la propriété d’Archimède :

Si A ∈ R , A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n

(17)

Les suites

Les suites

(18)

Les suites

Définitions

Limite d’une suite Unicité de la limite Suites bornées Suites divergentes

Sommes et produits de suites Comparaison de suites

Valeurs absolues

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Suites monotones

Suites adjacentes

Suites extraites

Suites récurrentes

(19)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . .

u

n

= n

u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . .

u

n

= 2 n

u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . .

u

n

= 2 n + 1

u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(20)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . .

u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . .

u

n

= 2 n

u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . .

u

n

= 2 n + 1

u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(21)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n

u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . .

u

n

= 2 n

u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . .

u

n

= 2 n + 1

u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(22)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . .

u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . .

u

n

= 2 n + 1

u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(23)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n

u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . .

u

n

= 2 n + 1

u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(24)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . .

u

n

= 2 n + 1 u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(25)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . . u

n

= 2 n + 1

u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(26)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . . u

n

= 2 n + 1 u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . .

u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(27)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . . u

n

= 2 n + 1 u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . . u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(28)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . . u

n

= 2 n + 1 u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . . u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . .

u

n

=

sin(n)

n2+1

(29)

Les suites Définitions

Une suite de nombres réels est un ensemble de nombres réels numérotés.

u

0

= 0 , u

1

= 1 , u

2

= 2 , u

3

= 3 , u

4

= 4 , . . . u

n

= n u

0

= 0 , u

1

= 2 , u

2

= 4 , u

3

= 6 , u

4

= 8 , . . . u

n

= 2 n u

0

= 1 , u

1

= 3 , u

2

= 5 , u

3

= 7 , u

4

= 9 , . . . u

n

= 2 n + 1 u

1

=

11

, u

2

=

12

, u

3

=

13

, u

4

=

14

, u

5

=

15

, . . . u

n

=

1n

u

0

= 0 , u

1

=

sin(1)2

, u

2

=

sin(2)5

, u

3

=

sin(3)10

, . . . u

n

=

sin(n)

n2+1

(30)

Les suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

n

Remarque : On note u

n

les éléments de la suite, plutôt que

u(n) ; on « numérote » chaque élément de la suite : u

0

:

premier élément, u

1

: deuxième élément, . . . , u

n

: n + 1-ième

élément, etc.

(31)

Les suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

n

Remarque : On note u

n

les éléments de la suite, plutôt que

u(n) ; on « numérote » chaque élément de la suite : u

0

:

premier élément, u

1

: deuxième élément, . . . , u

n

: n + 1-ième

élément, etc.

(32)

Les suites Définitions

u

0

= − 1

2 et u

n+1

= (u

n

+ 1 )( 9 − u

n

) 4

u1=(u0+1)(9−4 u0) =1,19 u7=(u6+1)(9−4 u6)=5,86 u2=(u1+1)(9−4 u1) =4,27 u8=(u7+1)(9−4 u7)=5,39 u3=(u2+1)(49−u2) =6.23 u9=(u8+1)(49−u8)=5,77 u4=(u3+1)(49−u3) =5,01 u10=(u9+1)(49−u9) =5,47 u5=(u4+1)(49−u4) =6 u11=(u10+1)(49−u10)=5,71 u6=(u5+1)(49−u5) =5,25 u12=(u11+1)(49−u11)=5,52

(33)

Les suites Définitions

u

0

= − 1

2 et u

n+1

= (u

n

+ 1 )( 9 − u

n

) 4

u1=(u0+1)(9−4 u0) =1,19 u7=(u6+1)(9−4 u6)=5,86 u2=(u1+1)(9−4 u1) =4,27 u8=(u7+1)(9−4 u7)=5,39 u3=(u2+1)(49−u2) =6.23 u9=(u8+1)(49−u8)=5,77 u4=(u3+1)(49−u3) =5,01 u10=(u9+1)(49−u9) =5,47 u5=(u4+1)(49−u4) =6 u11=(u10+1)(49−u10)=5,71 u6=(u5+1)(49−u5) =5,25 u12=(u11+1)(49−u11)=5,52

(34)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

(35)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(36)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5u1= 1,19

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(37)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u2= 4,27

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(38)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u3= 6,23

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(39)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u4= 5,01

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(40)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u5= 6

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(41)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u6= 5,25

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(42)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u7= 5,86

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(43)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u8= 5,39

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(44)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u9= 5,77

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(45)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u10= 5,47

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(46)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u11= 5,71

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(47)

Les suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u12= 5,52

u

n+1

=

(un+1)(94 −un)

f(x) =

(x+1)(94 −x)

(48)

Les suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite (u

n

)

n∈N

et L un nombre réel, on dit que u

n

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ

Notation : lim

n→∞

u

n

= L

On dit aussi : u

n

converge vers L

| u

n

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

n

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

n

≤ L + ϵ

(49)

Les suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite (u

n

)

n∈N

et L un nombre réel, on dit que u

n

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ Notation : lim

n→∞

u

n

= L

On dit aussi : u

n

converge vers L

| u

n

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

n

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

n

≤ L + ϵ

(50)

Les suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite (u

n

)

n∈N

et L un nombre réel, on dit que u

n

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ Notation : lim

n→∞

u

n

= L

On dit aussi : u

n

converge vers L

| u

n

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

n

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

n

≤ L + ϵ

(51)

Les suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite (u

n

)

n∈N

et L un nombre réel, on dit que u

n

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ Notation : lim

n→∞

u

n

= L

On dit aussi : u

n

converge vers L

| u

n

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

n

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

n

≤ L + ϵ

(52)

Les suites Limite d’une suite

Limite

u

n

2 n

3 2

2

L

L + ε

L − ε

N =

1ε

u

n

= 1 +

1n

, ε =

14

(53)

Les suites Limite d’une suite

Limite

u

n

2 n

3 2

2

L L + ε

L − ε

N =

1ε

u

n

= 1 +

n1

, ε =

101

(54)

Les suites Limite d’une suite

Limite

u

n

2 n

3 2

2

L L + ε

L − ε

N =

1ε

u

n

= 1 +

n1

, ε =

201

(55)

Les suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite (u

n

)

n∈N

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ=|L−L

0| 3

∃N∈N: sin≥N, |un−L| ≤ϵ et |un−L0| ≤ϵ

É |L−L0|=|L−un+un−L0| ≤ |L−un|+|un−L0| ≤2|L−3L0|

(56)

Les suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite (u

n

)

n∈N

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0

É pour 0< ϵ=|L−L

0| 3

∃N∈N: sin≥N, |un−L| ≤ϵ et |un−L0| ≤ϵ É |L−L0|=|L−un+un−L0| ≤ |L−un|+|un−L0| ≤2|L−3L0|

(57)

Les suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite (u

n

)

n∈N

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ=|L−L

0| 3

∃N∈N: sin≥N, |un−L| ≤ϵ et |un−L0| ≤ϵ

É |L−L0|=|L−un+un−L0| ≤ |L−un|+|un−L0| ≤2|L−3L0|

(58)

Les suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N : pour n ≥ N, | u

n

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite (u

n

)

n∈N

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ=|L−L

0| 3

∃N∈N: sin≥N, |un−L| ≤ϵ et |un−L0| ≤ϵ É |L−L0|=|L−un+un−L0| ≤ |L−un|+|un−L0| ≤2|L−3L0|

(59)

Les suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite (u

n

)

n∈N

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R , ∀ n ∈ N : | u

n

| ≤ C Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

n

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

(60)

Les suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite (u

n

)

n∈N

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R , ∀ n ∈ N : | u

n

| ≤ C Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

n

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

(61)

Les suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite (u

n

)

n∈N

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R , ∀ n ∈ N : | u

n

| ≤ C

Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

n

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

(62)

Les suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite (u

n

)

n∈N

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R , ∀ n ∈ N : u

n

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R , ∀ n ∈ N : | u

n

| ≤ C Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

n

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

(63)

Les suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |un−L| ≤1 É |un|=|un−L+L| ≤ |un−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u0|,|u1|,· · · |uN−1|} a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|ui|

É ∀n∈N, soit : n < N et |un| ≤M

soit : n≥N et |un| ≤1+|L| dans tous les cas :

|un| ≤max(M,1+|L|)

(64)

Les suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |un−L| ≤1

É |un|=|un−L+L| ≤ |un−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u0|,|u1|,· · · |uN−1|} a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|ui|

É ∀n∈N, soit : n < N et |un| ≤M

soit : n≥N et |un| ≤1+|L| dans tous les cas :

|un| ≤max(M,1+|L|)

(65)

Les suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |un−L| ≤1 É |un|=|un−L+L| ≤ |un−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u0|,|u1|,· · · |uN−1|} a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|ui|

É ∀n∈N, soit : n < N et |un| ≤M

soit : n≥N et |un| ≤1+|L| dans tous les cas :

|un| ≤max(M,1+|L|)

(66)

Les suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |un−L| ≤1 É |un|=|un−L+L| ≤ |un−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u0|,|u1|,· · · |uN−1|} a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|ui|

É ∀n∈N, soit : n < N et |un| ≤M

soit : n≥N et |un| ≤1+|L| dans tous les cas :

|un| ≤max(M,1+|L|)

(67)

Les suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |un−L| ≤1 É |un|=|un−L+L| ≤ |un−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u0|,|u1|,· · · |uN−1|} a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|ui|

É ∀n∈N, soit : n < N et |un| ≤M

soit : n≥N et |un| ≤1+|L| dans tous les cas :

|un| ≤max(M,1+|L|)

(68)

Les suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente

Exemples :

(69)

Les suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

n

= ( −1 )

n

u0=1, un=−1, u2=1, u3=−1, . . . , u2p=1, u2p+1=−1, . . .

Supposons que limn→∞un=L

É Pourϵ=12, ∃N∈N, ∀n≥N: |un−L| ≤ 12 É Pourn=2p≥N:

2=|u2p−u2p+1|=|u2p−L+L−u2p+1|

≤ |u2p−L|+|u2p+1−L| ≤1 2+1

2=1

Conséquence :une suite bornée n’est pas forcément convergente !

Références

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