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Ressource déposée par pinel le 29/10/2012 sur le site revisermonbac.fr

Ce fichier est extrait du document 502 2006-2007, DS 05 : suites et fonctions

Type : Devoirs Surveillés Classe(s) : Première ES Matières : Mathématiques

Mots clés : suites arithmétiques, géométriques, somme, étude de fonctions

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Première ES DS n°4 Mai 2006-2007

D.S n°4 PREMIERE E.S. 29/05/2007

Calculatrice autorisée. Durée 2h.

Traitez les exercices dans l’ordre de votre choix.

Le barème est donné à titre indicatif.

EXERCICE 1 – Le cours ( ?? points)

Partie A

1. Donner la définition de suite arithmétique et de suite géométrique.

2. Pour les suites de nombre suivantes, dire si elles sont arithmétiques, géométriques (et donnez leur raison) ou ni l’une ni l’autre.

→

( )

^uⁿ est une suite de nombres telle que pour passer d’un terme au suivant on divise toujours par 3.

→

( )

vn est une suite de nombres qui baisse de 3% d’un rang au suivant.

→

( )

wn est une suite de nombres telle que les points de coordonnées

(

n w^, n

)

sont sur la droite d’équation 4 1

y= +x .

Partie B

1. A quelle condition graphique une fonction f représentée par C admet-elle un nombre dérivé en a ?

2. Soit f une fonction définie sur et représentée dans la figure de gauche.

Trois de ses tangentes ont été représentées.

a. Déterminer les nombres f '(0), f '(3), f'(5). b. Résoudre l’inéquation f '( )x ≥0 sur l’intervalle [0 ;6].

Partie C

Soit f la fonction représentée ci-contre.

Déterminer, à l’aide du graphique, les asymptotes à la courbe représentant f .

En déduire les limites de f en –2 et en l’infini.

A

B

C

Figure 1

2 3 4 5 6 7

-1 2 3 4 5

-1

-2

-3

0 1

1

x y

A

B

C

0 1 1

x y

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EXERCICE 2 – ( ?? points)

Afin d’acquérir et d’aménager une boutique du centre ville, un investisseur décide d’emprunter 150000€.

1. La banque A lui propose de rembourser ce prêt sur 12 ans, en 12 versements, chacun des versements étant un des termes consécutifs de la suite arithmétique de premier terme u₀ =15000 (premier versement) et de raison a = 600€.

a. Calculer le montant des deux versements suivants u et u₁ ₂. b. Déterminer le montant du dernier versement.

c. Déterminer u₀ + + + +u₁ u₂ ... u₁₄.

d. En déduire le coût du crédit avec la banque A.

2. La banque B lui propose également de rembourser ce prêt sur 12 ans, en 12 versements, mais à des conditions différentes de celles de la banque A.

Le premier remboursement annuel, serait de v₀ =20000. Les remboursements suivants, v₁,v₂... seraient chacun en augmentation de 0.2% par rapport au remboursement précédent.

a. Calculer le montant des deux versements suivants v et v₁ ₂. b. Déterminer la nature de la suite en justifiant votre réponse.

c. Déterminer v₀ + + + +v₁ v₂ ... v₁₄.

d. En déduire le coût du crédit avec la banque B (arrondir à l’euro).

EXERCICE 3 – ( ?? points)

Un artisan fabrique des objets en bois, qu’il propose ensuite aux touristes de passage. Pour chaque mois, il estime que le coût de production de x objets est donné en euros, par : C x( )=x²+60x+121, x∈ =I [1; 30].

1. Le coût moyen de production d’un objet est donné par ( ) C x^{( )}

f x = x , x∈I . a. Dériver f et montrer que

( )( )

2

11 11

'( ) x x

f x

x

− +

= .

b. Dresser le tableau de signe de f ‘ sur I.

c. En déduire le tableau de variations de f puis la production minimisant le coût unitaire moyen.

2. L’artisan vend chaque objet 110€.

a. Montrer que le bénéfice généré par la vente et la production de x objets est donné par

( ) 2 50 121

B x = − +x x− .

b. Calculer B’(x) et étudier son signe.

c. En déduire le tableau de variations de la fonction B, puis la production permettant de maximiser le bénéfice. Est-ce cohérent avec le 1c ?

d. Déterminer le bénéfice maximum.

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