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Ce fichier est extrait du document 505 2006-2007, Test 03 corrigé : trinômes

Type : Devoirs Surveillés Classe(s) : Première ES Matières : Mathématiques

Mots clés : fonctions trinômes, équations, inéquations

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Première ES 2006-2007

Durée : 1h – Calculatrice autorisée. Test 03 mardi 05/12/06

Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Soyez concis et soignez présentation et rédaction.

La barème est donné à titre indicatif.

Exercice 01 – 6.5 pts

1. Donner, lorsque cela est possible, les formes factorisées des fonctions suivantes :

( ) 2 6

f x =x − −x , g x( )=3x²+2x+1, h x( )= −1 4x².

2. Résoudre l’équation f(x) = h(x).

3. Donnez une interprétation graphique du résultat précédent.

Exercice 02 – 2 pts

Résoudre l’inéquation suivante : ( )^E ^: ^x²⁻²^x^>⁸

Exercice 03 – 4 pts

Antoine et Jessica placent un même capital pendant 2 ans.

Au bout des deux ans, celui d’Antoine a subi une hausse de 12%.

Parallèlement, celui de Jessica a subi une baisse de t% la première année puis une hausse de 2t% la seconde.

1. Déterminer les coefficients multiplicateurs associés à chaque placement.

2. En déduire les taux t qui feront que le placement de Jessica sera le plus rentable.

Exercice 04 – 7.5 pts

Une entreprise fabrique et vend des sacs de sport.

Une étude de marché a montré que, pour un prix de vente unitaire p (en euros) le nombre d’articles demandés et vendus est n = 288 – 12p, avec ^p^∈[^{5; 24}]^.

1. Déterminer le montant de la recette R(p) en fonction de p, lorsque n articles sont vendus.

2. Ecrire R(p) sous forme canonique et en déduire pour quelle(s) valeur(s) de p la recette R(p) est maximale.

3. Quel est alors le nombre d’articles vendus ?

On admet que le coût de production de n sacs est donné en Euros par C n( )=2n+864.

4. Exprimer en fonction de p, le coût puis le bénéfice B(p).

5. Déterminer les prix de vente unitaires p qui rendent l’entreprise rentable.

6. A l’aide des coordonnées du sommet d’une parabole, déterminer le prix unitaire p qui maximise le bénéfice ainsi que le bénéfice maximum associé.

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Durée : 1h – Calculatrice autorisée. Test 03 - Corrigé mardi 05/12/06

Exercice 01

1. Pour factoriser un trinôme, il faut déterminer ses racines (évidentes ou à l’aide du discriminant). On obtient

→ ^{f x}^{( )}⁼^x²^{− − =}^x ⁶ (^x⁺²)(^x⁻³)

→ g x( )=3x² +2x+1 : ne se factorise pas, son discriminant est négatif.

→ ^{( )} ^{1 4} ² (^{1 2} )(^{1 2} ) ⁴ ¹ ¹

2 2

h x x x x x  x 

= − = − + = −  −   + 

   .

2. Par le calcul, nous avons ^}

141

2 2 2 1 141 1 141

( ) ( ) 6 1 4 5 7 0 5

10 10

f x g x x x x x x x x

∆=  −   + 

= ⇔ − − = − ⇔ − − = ⇔  −    − 

   

3. Graphiquement les solutions l’équation f(x) = h(x) correspondent aux abscisses des points d’intersection des 2 courbes représentant les trinômes f et g.

Exercice 02

( )( )

2 2

2 8 2 8 0 4 2 0

x − x> ⇔x − x− > ⇔ x− x+ > : comme un trinôme est du signe de –a entre ses racines (quand il en a deux distinctes), S = − ∞ −] ; 2[ ]4;U +∞[.

Exercice 03

1. Lorsqu’un prix subit une hausse de 12%, il est multiplié par 1.12.

De même, le coefficient multiplicateur associé au placement de Jessica est ( )(¹⁻^t ^{1 2}⁺ ^t)^.

2. Les taux t qui feront que le placement de Jessica sera le plus rentable sont ceux qui vérifient

l’inéquation ( )(¹⁻^t ^{1 2}⁺ ^t)^>^1.12^{⇔ −}²^t²^{+ −}^t ^0.12^{> ⇔ −}⁰ ²(^t⁻^0.3)(^t⁻^0.2)^>⁰, cad les taux compris strictement entre 20% et 30%.

Exercice 04

Une entreprise fabrique et vend des sacs de sport.

Une étude de marché a montré que, pour un prix de vente unitaire p (en euros) le nombre d’articles demandés et vendus est n = 288 – 12p, avec ^p^∈[^{5; 24}]^.

1. Lorsque n articles sont vendus, comme un article est vendu p Euros, la recette R(p) est donnée par

( )

( ) 288 12

R p = × =p n p − p .

2. La forme canonique de R(p) est ^{R p}^{( )}^{= −}¹²^p²⁺²⁸⁸^p^{= −}¹²(^p²⁻²⁴^p)^{= −}¹²

(

(^p⁻¹²)²⁻¹⁴⁴

)

^cad

( )²

( ) 12 12 1728

R p = − p− + .

Comme un carré est toujours positif, pour tout p,⁻¹²(^p⁻¹²)² ^{≤ ⇔ −}⁰ ¹²(^p⁻¹²)²⁺¹⁷²⁸^≤¹⁷²⁸^⇔^{R p}^{( )}^≤^1728:

la recette R(p) maximale est donc de 1728€, atteinte pour p = 12 (on peux retrouver ces résultats à l’aide des coordonnées du sommet – voir méthode dans la question 6).

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3. Le nombre n d’articles vendus vérifie n = 288 – 12p donc n = 144.

4. Le coût est donné par ^{C n}^{( )}⁼²ⁿ⁺⁸⁶⁴⁼^{2 288 12}( ⁻ ^p)⁺⁸⁶⁴⁼^{1440 24}⁻ ^p^{: ainsi}^{C p}^{( )}⁼^{1440 24}⁻ ^p^.

Le bénéfice B(p) est alors donné par ^{B p}^{( )}⁼^{R p}^{( )}⁻^{C p}^{( )}^{= −}¹²^p²⁺²⁸⁸^p⁻(^{1440 24}⁻ ^p)^{= −}¹²^p²⁺³¹²^p⁻¹⁴⁴⁰^. 5. B(p) est un trinôme : à l’aide du calcul de son discriminant, on obtient la forme factorisée de B(p) :

( )( )

( ) 12 20 6

B p = − p− p− .

L’entreprise rentable lorsque le bénéfice est positif, soit d’après les règles de signe d’un trinôme, entre ses racines (car a = -12 < 0).

Les prix unitaires qui rendent rentables l’entreprise sont ceux compris entre 6€ et 20€.

6. Comme a < 0, la parabole est inversée : l’abscisse du sommet ³¹² 13

2 24

b

− a= − =

− correspond donc à l’abscisse du maximum de B.

La valeur maximale est alors ^B( )¹³ ⁼⁵⁸⁸^€.