Test 02 Mercatique (ou TCF)

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php 1

Test 02 - Terminale STG Mercatique 55 minutes – calculatrice autorisée

EXERCICE 1 (6 points)

Recopier sur votre feuille le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse. Aucune justification n’est demandée. Une seule proposition est correcte.

1. Soit

( )

un une suite de nombres telle que pour passer d’un terme au suivant, on divise toujours par 4.

Alors sa raison est

A. 4 B. 0.4 C. 0.25 D. La suite n’est ni géométrique, ni arithmétique.

2. Soit

( )

un une suite arithmétique telle que u₃ =16 et u₉ = −20. Alors sa raison est A. -4 B. -6 C. 1.04 (environ) D. 1.02 (environ)

3. Soit

( )

un une suite géométrique de raison 0.99, de premier terme u₁=40000. Alors elle passe sous la barre des 20000 à partir de n égal à

A. 71 B. 70 C. 69 D. 68

4. La suite précédente vérifie A. lim _n

n u

→+∞ = −∞ B. lim _n 0

n u

→+∞ = C. lim _n

n u

→+∞ = +∞ D. lim _n 1

n u

→+∞ =

5. De plus, cette suite est

A. décroissante B. croissante C. ni l’un, ni l’autre D. constante

En octobre 1998, Roberto payait sa facture annuelle de chauffage d’un montant de 800€.

1. Sachant que cette facture a augmenté de 2.5% par an, quelle a été la facture payée par Roberto en octobre 2008 (arrondir à l’euro) ?

2. En supposant que cette évolution se poursuit, déterminer la somme totale payée par Roberto entre octobre 1998 et octobre 2008 (arrondir à l’euro).

3. Simone a elle perdu sa facture d’octobre 98 mais elle sait que la somme de ses factures entre octobre 98 et octobre 2008 est de 14200€. Sachant que chacune de ses factures a augmenté de 2.5% par an, comme son ami d’enfance Roberto, retrouver le montant de sa facture en 1998.

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EXERCICE 3 (10 pts)

Afin d’acquérir et d’aménager une boutique du centre ville, un investisseur décide de contracter un emprunt d’un montant de 100 000€. Dans le but d’obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux banques A et B.

1. La banque A lui propose de rembourser ce prêt sur 14 ans, en 14 annuités, chacune des annuités étant le terme consécutif d’une suite arithmétique de premier terme u₀ =15000 et de raison a = 1800€.

a. Calculer le montant des 2 versements suivants u et u₁ ₂. b. Exprimer u_n en fonction de n en justifiant votre réponse.

c. Quelle serait la somme totale finalement remboursée si l’investisseur acceptait la proposition de la banque A ?

2. La banque B lui propose également de rembourser ce prêt sur 14 ans en 14 versements mais à des conditions différentes de celles de la banque A.

Le premier remboursement annuel, noté v₀, serait d’un montant de 12000€ ; les remboursements suivants seraient chacun en augmentation de 2% par rapport au remboursement précédent.

a. Calculer v₁,et v₂.

b. Exprimer v_n₊₁ en fonction de v_n et déterminer la nature de la suite v.

c. Quelle serait la somme totale finalement remboursée, si l’investisseur acceptait la proposition de la banque B (arrondie à l’Euro) ?

3. Quelle banque offre à notre emprunteur la solution la plus avantageuse ?

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Corrigé du test 02 EXERCICE 1 (6 points)

1. Soit

( )

un une suite de nombres telle que pour passer d’un terme au suivant, on divise toujours par 4. Alors sa raison est donc de ¹ 0.25

4= , réponse C.

2. Soit

( )

un une suite arithmétique telle que u₃=16 et u₉ = −20. On a donc

( )

9 3 9 3

20 16

9 3 6 6

u = + −u r⇔u − =u r⇔ =r − −6 = − , réponse B.

3. Soit

( )

un une suite géométrique de raison 0.99, de premier terme u₁=40000. A l’aide de la formule 40000 0.99ⁿ1

un = × ⁻ , on trouve qu’ elle passe sous la barre des 20000 à partir de n = 70, réponse B.

4. La suite précédente vérifie lim _n 0

n u

→+∞ = , réponse B, puisqu’elle est géométrique de raison comprise entre 0 et 1 (strictement).

5. De plus, cette suite est décroissante, réponse A puisque son premier terme est positif et sa raison < 1.

En octobre 1998, Roberto payait sa facture annuelle de chauffage d’un montant de 800€.

1.

> L’augmentation de 2.5% par an se traduit par une multiplication par 1.025 d’une année sur l’autre.

> En octobre 2008, la facture sera de 800 1.025× ¹⁰ soit 1024€ arrondi à l’unité.

2.

Le montant des factures F_n à l’année 1998+n est une suite géométrique de raison 1.025 et de premier terme

0 800

F = .

La somme totale des factures est donnée par

11

0 1 10

1 1.025

... 800 9987€

1 1.025 F + + +F F = × − ≈

− (arrondi à l’euro).

3. Le montant M_n des factures de Simone à l’année 1998+n est une suite géométrique de raison 1.025 et de premier terme M₀ à déterminer.

La somme totale des factures est donnée par

11

0 0 11

1 1.025 1 1.025

14200 14200 1138€

1 1.025 1 1.025

M − M −

= × ⇔ = × ≈

− − (arrondi

à l’euro).

Exercice 3

1. a. On a par hypothèse ¹

2

15000 1800 16800 16800 1800 18600 u

u

= + =

= + = .

Les deux premiers versements sont donc respectivement de 16800€ puis 18600€.

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2.

b. Comme la suite est arithmétique de raison 1800 et de premier terme u₀ =15000, on a 15000 1800

un = + n.

c. La somme totale versée S des 14 annuités est

0 13

15000 38400

... 14 14 373800

2 2

u u

S=u + +u = × + = × + = soit 373800 €.

Le coût du crédit fait à la banque A est donc de 273800€.

3. a. On a par hypothèse ¹

2

12000 1.02 12240 12240 1.02 12484.8 v

v

= × =

= × = .

b. D’après l’énoncé le versement v_n₊₁ est en augmentation de 2% par rapport au versement précédent vn : on a donc v_n₊₁ =1.02×v_n. La suite est donc géométrique de raison 1.02.

c. La somme totale versée S’ des 14 annuités est donc

14

0 13

1 1.02

' ... 12000 191687

1 1.02 S = + +v v = × − =

− soit

191687 €. Le coût du crédit fait à la banque B est donc de 91687€.

4. Le coût du crédit lié à la banque B étant plus faible, il vaut mieux contracter le crédit à la banque B.