Ts AP 6 : De la loi binomiale vers une loi continue ... 2012-2013

Ts AP 6 : De la loi binomiale vers une loi continue ... _2012-2013

Rappel sur la loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues ( souvent qualifiées de succès et d’échec).

Si on attribue la probabilité p au succès, l’échec a une probabilité de 1 − p.

On répète n fois cette épreuve de manière identique et indépendante. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (de 0 à n) suit une loi discrète de probabilité appelée loi binomiale B (n, p).

(voir leçon 7)

• p(X = k) =

p

(1 − p)

• Espérance : E(X ) = np

• Variance : V (X) = np(1 − p)

• Écart-type : σ(X) = p

V (X) = p

np(1 − p)

Une situation : Un revendeur de matériel photographique désire s’installer dans une galerie marchande.

Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils photographiques par jour et que les ventes sont deux à deux indépendantes.

Une étude lui a montré que, parmi les différentes marque d’appareils disponibles, la marque A réalise 38, 6% du marché.

On note X la variable aléatoire qui, à un jour choisi au hasard, associe le nombre d’appareils de marque A vendus ce jour-là.

1. Calculer la probabilité que, sur 40 appareils vendus, 20 soient de la marque A. (arrondir à 10

) 2. Calculer l’espérance et l’écart-type (arrondi à l’unité).

Histogramme des probabilités

Ouvrir Geogebra.

→ Histogramme pour n = 40

Il s’agit de représenter les . . . . probabilités p(X = k) par des aires de rectangles de largeur 1.

Quelle est donc la hauteur de ces rectangles ?

Commande Geogebra : Binomiale[<Nombre d’essais>,<Probabilité du Succès>]

Une vérification peut consister à tracer la droite d’équation y = p(X = 20). Tracer également la droite d’équation x = E(X)

Remarque :

→ Histogramme pour n « variable »

Créer un curseur n de 1 à 200 par exemple. Modifier la commande précédente pour permettre l’affichage de l’his- togramme à chaque valeur différente de n.

Remarque :

→ Remédiation 1

D’après la remarque précédente, on constate une symétrie de la forme générée par les rectangles (forme de . . . .) et l’on voit que la droite d’équation x = E(X ) en est l’axe de symétrie.

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On sait de plus que E(X + b) = E(X ) + b (b réel). La stratégie consiste à poser Y = X + b (nouvelle variable aléatoire) et choisir b pour que E(X +b) = E(Y ) = 0 et ainsi l’axe de symétrie de l’histogramme des p(Y = k) coïncide avec l’axe des ordonnées.

Quel type de transformation a lieu lorsque l’on « passe de X à Y » ? Quelle valeur de b choisir ?

Que dire de σ(Y ) ? Commande Geogebra :

Histogramme[Séquence[i-n*0.386-0.5,i,0,n+1],Séquence[Combinaison[n,k]*0.386

*0.614

,k,0,n]]

→ Remédiation 2

On rappelle la formule de l’écart-type : σ(X) = p

np(1 − p). Que se passe-t-il lorsque n augmente ?

Quel effet cela a-t-il sur l’histogramme ?

On sait que σ(tY ) = tσ(Y ) = tσ; (t > 0). La stratégie consiste à poser Z = tY (nouvelle variable aléatoire) et choisir t pour que l’écart-type soit constant (indépendant de n) et tant qu’à faire tel que σ(Z) = 1. Cela aura pour effet de supprimer l’étalement de l’histogramme.

Quelle valeur de t choisir ? Exprimer Z en fonction de X .

Quelle est l’écart entre deux valeurs consécutives prises par la variable Z (lorsque X prend deux valeurs consé- cutives) ? Que représente cet écart sur l’histogramme obtenu à partir de Z ? Quelle est donc la nouvelle hauteur des rectangles ?

Commande Geogebra : Calculer l’écart-type, copier la commande précédente dans la barre de saisie et la modifier pour que s’affiche l’histogramme obtenu à partir de la variable Z .

Faire varier n, quelles sont vos remarques ?

Une expression pour la fonction de densité

Activité 4 p 365.

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