Master EADM 2012-2013 Capes externe Oral 2
Université Claude Bernard Lyon1 UE 12 Epreuve sur dossier
23/12/2012
DOSSIER PS 6
Thème : Loi binomiale
L’exercice proposé au candidat
Partie A : Un QCM classique
Soit un QCM de cinq questions ; pour chaque question, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Toute réponse juste rapporte deux points, et une réponse fausse enlève un point. Les questions posées sont indépendantes entre elles.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque étudiant répondant au QCM, associe son nombre de réponses justes, et N la variable aléatoire associée à sa note.
1. Exprimer N en fonction de X.
2. On suppose qu’un étudiant ayant travaillé a une probabilité égale à 0,7 de répondre juste à chacune des questions.
a) Quelle loi suit X ?
b) Calculer la probabilité P1 qu’un étudiant travailleur n’ait pas la moyenne.
3. On considère un étudiant peu travailleur répondant au hasard à toutes les questions.
Calculer la probabilité P2 qu’un étudiant répondant au hasard ait la moyenne.
Partie B : Un QCM de n questions
On veut construire un QCM de n questions tel que le risque d’accepter un étudiant peu
travailleur soit très faible (en dessous de 1%) et que le risque de refuser un étudiant travailleur ne soit pas trop grand (moins de 25%). Les variables aléatoires X et N sont définies comme dans la partie A, et on conserve les hypothèses faites en A sur les étudiants.
1. a) Quelle loi suit X (selon le type d’étudiant étudié)? Exprimer N en fonction de X.
b) En déduire qu’un étudiant a la moyenne si X 2n
3 : on appelle ce nombre le « seuil brut ».
2. On utilise le tableur.
a) Entrer dans la plage de cellules B2:B97 le nombre de questions du QCM, de 5 à 100.
b) Entrer en C2 la formule donnant le calcul du « seuil brut ».
c) Le « seuil brut » n’étant pas forcément un entier, entrer en D2 la formule qui donne le seuil de réussite (nombre minimal de réponses justes pour avoir la moyenne).
d) Entrer en E2 et en G2 les formules donnant le calcul de P1 et de P2.
e) En déduire le nombre minimal de questions que doit avoir ce QCM pour que les deux conditions posées soient remplies.
Master EADM 2012-2013 Capes externe Oral 2
Université Claude Bernard Lyon1 UE 12 Epreuve sur dossier
23/12/2012
La solution proposée par un élève pour la partie A
1. N = 2X – Y, où Y est le nombre de réponses fausses.
2. a) X suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,7 parce que les questions sont indépendantes.
b) L’étudiant n’a pas la moyenne s’il a au plus deux réponses justes, donc X 2.
Avec la calculatrice, je trouve 0,1323.
3. Il y a 4 questions et l’étudiant répond au hasard. Donc, la probabilité qu’il réponde juste est 1
4 . Mais pour avoir la moyenne, il faut répondre juste trois fois, ce qui donne la probabilité 1
4 1 4 1
4 = 1
64 = 0,0156.
Le travail à exposer devant le jury
1. Analyser la production de l’élève, en mettant en évidence ses connaissances et savoir – faire sur les probabilités et en analysant l’origine de ses erreurs.
2. Analyser dans quelle mesure cet exercice répond aux exigences des programmes en ce qui concerne l’utilisation des TICE.
3. Proposer une correction de la question B.2, telle qu’on l’exposerait devant une classe de Première.
4. Présenter deux ou trois exercices sur le thème « Loi binomiale ».
