Feuille d’exercices n ◦ 1

Université de Nice - Sophia Antipolis 2013/2014

L3MA - Calcul Différentiel Semestre 1

Feuille d’exercices n ^◦ 1

E.Aubry

Dans toute la feuille, Eest unK-espace vectoriel (avecK égal àRouC).

Unedistancesur un ensemble X est une applicationd:X×X →R⁺vérifiant les conditions suivantes.

1. d(x, y) =d(y, x)quels que soientx, ydansX (symétrie), 2. d(x, y) = 0si et seulement six=y (séparation),

3. d(x, z)6d(x, y) +d(y, z)quels que soientx, y, z dansX (inégalité triangulaire).

Unenorme surE est une applicationk · k:E →R⁺ vérifiant les conditions suivantes.

1. kxk= 0si et seulement six= 0,

2. kλxk=|λ|kxkquels que soientxdansE etλdansK,

3. kx+yk6kxk+kyk quels que soientx, ydansE (inégalité triangulaire).

(E,k · k)est alors appelé espace vectoriel normé (noté evn).

Soit (E,k · k) un evn. Pour tout x∈ E et tout r > 0, on note B_x(r) = {y ∈ E/kx−yk < r} la boule ouvertecentrée enxet de rayonr,B⁰_x(r) ={y∈E/kx−yk6r}laboule ferméecentrée enxet de rayon ret S_x(r) ={y∈E/kx−yk=r} lasphèrecentrée en xet de rayonr. Une partie A⊂E est diteconvexe ssi pour tout(x, y)∈A², on a [x, y]⊂A, où[x, y] ={tx+ (1−t)y=y+t(x−y), t∈[0,1]}.

Exercice 1. (Quelques normes classiques) 1. Montrer que les applications suivantes

kxk1=

n

X

i=1

|xi|, kxk2= v u u t

2

X

i=1

|xi|², kxk∞= max

16i6n|xi|

définissent des normes surRⁿ ouCⁿ et qu’on akxk_∞6kxk16√

nkxk26nkxk_∞. 2. Montrer que kfk₁ =Rb

a |f(t)|dt, kfk₂ = q

Rb

af²(t)dt et kfk_∞ = sup_t∈[a,b]|f(t)| sont trois normes sur E=C⁰([a, b], K).

3. Soit E est unR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hx, yi(i.e. une forme bilinéaire symétrique telle quehx, xi>0pour toutx6= 0). Montrer quekxk=p

hx, xiest une norme surE.

Exercice 2. Dessiner dansR² les boules et les sphères centrées en(1,2)et de rayon 2pour les normes k · k₁, k · k₂ et k · k_∞.

Exercice 3. Montrer que sik · k est une norme sur E alors d(x, y) =kx−yk est une distance sur E qui est invariante par translation (i.e. d(x+z, y+z) = d(x, y)pour tout x, y, z ∈ E) et homogène (i.e.d(λx, λy) =

|λ|d(x, y)pour toutx, y∈E).

Réciproquement, montrer que si d est une distance sur E invariante par translation et homogène, alors kxk:=d(0, x)définit une norme sur E.

Exercice 4. Soit(E,k · k)un evn. Montrer que les applications suivantes sont continues.

s:E×E → E (x, y) 7→ x+y

m:E×K → E (x, λ) 7→ λx

n:E → R⁺ x 7→ kxk

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Exercice 5. Montrer queB_x(r)et B_x⁰(r)sont des ensembles convexes.S_x(r)est-il convexe ?

Exercice 6. Soit (E,k · k) un evn, a, b ∈ E, λ ∈ K et r > 0. On pose L_b,λ(x) = b +λx. Montrer que L_b,λ B_a(r)

=B_Lb,λ(a)(|λ|r)etL_b,λ B_a⁰(r)

=B_L⁰

b,λ(a)(|λ|r).

Exercice 7. SoitE un evn,a, b∈E etr, r⁰>0. Montrer quer+r⁰6ka−bkssiBa(r)∩Bb(r⁰) =∅. Montrer queka−bk+r6r⁰ ssiBa(r)⊂Bb(r⁰). Qu’en est-il pour les boules fermées ?

Exercice 8. SoitE un evn6={0}. Montrer que deux boules deE sont égales si et seulement si elles ont même rayon, même centre et même type.

Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et k · k, k · k⁰ deux normes sur E. Montrer que l’applicationf(x) = _kxk^kxk0xest un homéomorphisme de la boule unité fermée dek · k sur la boule unité fermée dek · k⁰.

Exercice 10. Soit E un K-espace vectoriel et k · k et k · k⁰ deux normes sur E. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes.

1. Il existe une constanteC >0telle que kxk6Ckxk⁰ pour toutx∈E.

2. Toute boule dek · kcontient une boule dek · k⁰ de même centre.

3. Tout ouvert dek · kest un ouvert dek · k⁰.

4. Il existe une boule dek · kqui contient une boule dek · k⁰.

Exercice 11. Montrer que sur l’espace C⁰([0,1],R)les normes kfk∞= sup_[0,1]|f(t)|et kfk1=R1

0 |f(t)|dt ne sont pas équivalentes (considérer la suitefn(x) =xⁿ). Montrer que la boule unité fermée pour la normek · k∞

n’est pas compacte (on pourra construire une suite de fonctions dont tous les éléments sont à distance1).

Exercice 12. SoitX =C⁰([0,1],R)muni de la normekfk_∞= sup_x∈[0,1]|f(x)|.

A={f / f(0) = 0} est-il ouvert ? fermé ? DéterminerA.

B={f / f(0)>0}est-il ouvert ? fermé ? DéterminerB. C={f /R1

0 f(x)dx= 0}est-il ouvert ? fermé ? DéterminerB.

Exercice 13. SoitX =C⁰([0,1],R)muni de la normekfk1=R1

0 |f(x)|dx.

La suite(f_n)oùf_n(x) =xⁿ est-elle convergente dansX?

A={f|f(1) = 1} Aest-il ouvert ? fermé ? Exercice 14. Meilleure approximation

1. SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie,f :E→Rune fonction continue telle quef(x)tend vers+∞lorsquekxk tend vers+∞(i.e. pour tout réelM >0, il existe un réelA >0tel que pour tout xdeE,kxk>A impliquef(x)>M). Montrer quef est minorée surE et qu’elle atteint son minimum (raisonner sur une boule fermée assez grande).

2. Application : Soit E un sous-espace vectoriel de Rⁿ. Alors tout point de Rⁿ admet une meilleure approximation dans E (i.e. inf_x∈Ekx−ak est atteint). A-t-on unicité des points e ∈ E tels que ka−ek= inf_x∈Ekx−ak? (on étudiera les cas des normesk · k2 etk · k_∞surR²).

Exercice 15. Soit (E,k · k)un evn. Montrer que B0(1) est un ouvert convexe, symétrique (i.e. six∈B₀⁰(1) alorsλx∈B₀⁰(1)pour toutλ∈K tel que|λ|= 1), borné et contenant 0.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie etΩ⊂Eun ouvert convexe, symétrique, borné et contenant 0. Montrer quekxk= inf{r∈R⁺∗/^x_r ∈Ω}est une norme sur E telle queB0(1) = Ω.

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