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Feuille 8 d’exos en analyse.
1. On consid`ere la fonction
f(x) =
( sin(x2)
x(√1+x−1), x >0, α2x+ 3, x≤0.
D´eterminerαpour quef soit continue sur son domaine de d´efinitionDf.
2. Ecrire l’´equation de la droite tangente enx0= 2 au graphique de la fonction
f(x) = x+ 2
x2−1−log(2x−3) et calculer la partie principale de f(x)−f(2)pourx→2.
3. D´eterminer les points eventuels de non-d´erivabilit´e des fonctions suivantes :
(a)f(x) =|x2−1|, (b)f(x) =e−|x|, (c)f(x) = min(x2, 1 x2).
4. Calculer `a l’aide du Th´eor`eme de de l’Hˆopital les limites pourx→0des fonctions (1) x7→ log(1+sinsin(2x)x), (2) x7→ sin(π3
x) x , (3) x7→(ex+x)1/x, (4) x7→ sin(log(1+3x))
ex−3 .
5. D´eterminer le nombre de solutions r´eelles de l’´equationex9−9x+1=aen fonction du param´etre r´eela.
6. Etudier la fonction
f(x) = logx−3 logx+ 2.
Discuter de l’existence def−1et calculer(f−1)′(−32). Est-il possible d’´ecrire explicitement l’expression de la fonctionf−1 ?
7. Pour la fonctionf(x) = x2x−−x1−6, d´eterminer
• le domaine de d´efinitionDf
• le signe
• les limites `a la fronti`ere deDf
• les eventuelles asymptotes
• les intervalles de monotonie et les extrema
• les intervalles de convexit´e et les points de flexion
• le graphique.
8. D´eveloppements limit´es `a l’ordrenen un pointx0 (DLn(f))
• Ecrire le DL en x0= 0`a l’ordre 3 def :x7→sinx.
• Ecrire le DL en x0= 0`a l’ordre 2 def :x7→3e2x
• Ecrire le DL en x0= 8`a l’ordre 2 def :x7→x1/3
• Ecrire le DL en x0=e2`a l’ordre 3 def :x7→lnx V´erifier que(DLn(f))′=DLn−1(f′).
