Conception d'un logiciel sur excel pour le calcul des éléments de structures en béton armé par l'utilisation d'un Eurocode 2

Département du GENIE CIVIL

Option : Bâtiments et Travaux Publics Année d’étude : 5^ème Année

UNIVERSITE D’ABOMEY CALAVI

ECOLE POLYTECHNIQUE D’ABOMEY CALAVI

Elève-Ingénieur :

Maitre de mémoire :

6 ^ème promotion

Anicet DANSOU

Pr. Mohamed GIBIGAYE Thème du mémoire :

Mémoire de fin de formation en vue de l’obtention du Diplôme d’Ingénieur de

Conception en Génie Civil

Baltasar Gracian

Je certifie que ce mémoire a été conduit et réalisé sous ma direction par Monsieur DANSOU Anicet au département de Génie Civil de l’Ecole Po- lytechnique d’Abomey-Calavi (EPAC) à l’Université d’Abomey-Calavi (Répu- blique du Bénin).

Le maître de mémoire,

Pr. GIBIGAYE Mohamed

Maître de Conférence des universités, CAMES Enseignant-Chercheur à l’EPAC/UAC

c Anicet D. , 2013

A mes parents,

Que cette œuvre représente le fruit de vos efforts.

C

^e document a été réalisé grâce à l’appui, à l’engagement, au soutien et à la collaboration de nombreuses personnes physiques et morales à qui je formule ici mes sincères remerciements et ma profonde gratitude ;

– Dieu Tout-Puissant, notre Créateur, Gloire à Toi pour tous tes bienfaits ; – Pr. Félicien AVLESSI, Directeur de l’Ecole Polytechnique d’Abomey-

Calavi, pour le cadre et les moyens mobilisés pour notre formation ; – Pr. Mohamed GIBIGAYE, mon maître de mémoire. Merci pour vos ap-

ports, vos conseils, vos analyses pertinentes, votre implication personnelle malgré vos multiples charges ; Encore : « Merci ! » ;

– Pr. Martin AÏNA, Enseignant-chercheur à l’Université d’Abomey-Calavi, Chef du Département de Génie Civil de l’Ecole Polytechnique d’Abomey- Calavi. ;

– Pr. Edmond C. ADJOVI, Enseignant-chercheur à l’Université d’Abomey- Calavi, Ancien Chef du Département de Génie Civil de l’Ecole Polytech- nique d’Abomey-Calavi ;

– Dr. Ing. Adolphe TCHEHOUALI, Enseignant-chercheur à l’Université d’Abomey-Calavi, Ancien Chef du Département de Génie Civil de l’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi ;

– Enseignants de l’EPAC, et en particulier ceux du département de génie- civil, merci pour la qualité de l’enseignement ;

– Ing. Marcellin BOCOVE, Mon parrain, Directeur technique de l’AGence d’Exécution Des Travaux URbains (AGETUR). Merci pour votre soutien.

Vous êtes un modèle de réussite que j’aimerais suivre ;

– Ing. Prosper ZOHOUNGBOGBO, merci pour vos conseils et pour m’avoir confié de vraies responsabilités lors du stage très enrichissant effectué dans votre bureau d’études ;

– Ing. AHOUANSOU Zinsou Côme, merci pour avoir accepté sponta- nément de travailler avec moi ;

– Ing. TOBOSSOU Mario Charly, merci pour avoir accepté spontané- ment de travailler avec moi ;

– Ing. Firmine H., Roméo H., et Carmélia G., du bureau d’études ACS Sarl (L’ACIER Conseils & Services Sarl), vous forgez mes premiers pas dans la profession ;

Je voudrais aussi remercier d’une façon toute particulière :

– Père Juan José Gomez SERRANO, pour son soutien au cours de ma formation ;

– M. Emile G., pour son soutien au cours de ma formation ;

– Mes tuteurs, Georgette H., Luc H., Epiphane H., et toute la famille HOUETOUNGAN;

– Ma sœur Mariette DANSOU;

– Mes amis Joseph F., Christian V., Blaise H., Lévis A. Frank A., Florentio S., Boris K. et à travers eux toute la 6^ème promotion des Ingénieurs de conception de l’EPAC ;

L

^e présent mémoire concerne la programmation du dimensionnement de certains éléments de structure en béton armé selon l’Eurocode 2 sous Microsoft Excel. Il a pour but, au delà de la possibilité de faire le calcul, de permettre de générer des notes de calcul et des plans d’exécution.

Les méthodes de calcul selon l’Eurocode 2 sont utilisées avec les publications de divers auteurs.

Ensuite, à l’aide du logiciel Microsoft Excel, version 2010, les étapes de l’analyse des éléments de structure sont programmées. Grâce aux feuilles et cellules que contient un classeur, et surtout du fait qu’Excel intègre de puissants outils mathématiques et une interface de programmation en Visual Basic pour Applications, les étapes du dimensionnement des éléments porteurs, la gestion des notes de calcul sous Microsoft Office Word et des plans d’exécution sous Autodesk AutoCAD, sont automatisées.

Une étude comparative est effectuée pour valider les résultats du logiciel conçu et pour confronter l’Eurocode 2 au règlement BAEL.

Le logiciel conçu est simple d’utilisation et traite une quantité importante de calculs en un temps extrêmement réduit : il produit des résultats d’analyse, des notes de calcul et des plans d’exécution, presque instantanément après la demande.

Mots clés : Structure, Béton Armé, Eurocode 2, Excel.

T

^he present report concern the programming of the calculation of some structural elements in reinforced concrete using the Eurocode 2. It aim to, beyond of the possibility of making the calculation, to enable the producing of calculation notes and execution plans.

The calculation methods according to Eurocode 2 are used with the publi- cations of various authors.

Then, using the software Microsoft Excel, version 2010, the stages of the analysis of structural elements were programmed.

Thanks to the sheets and cells which a workbook contains, and especially owing to the fact that Excel integrates powerful mathematical tools and an interface of programming in Visual BASIC for Applications, we automated the stages of the calculation of the carrying elements, the management of the notes of calculation under Microsoft Office Word and of the execution plans under Autodesk AutoCAD.

A comparative study is performed to validate the results of the conceived software and to confront Eurocode 2 with BAEL regulation.

The conceived software is simple of use and treats a significant quantity of calculations in an extremely reduced time : it produces analysis results, notes of calculation and execution plans, almost instantaneously after the request.

Keys words : Structure, Reinforced concrete, Eurocode 2, Excel.

Certification ii

Dédicaces iii

Remerciement iv

Résumé vii

Abstract ix

Sommaire x

Liste des figures xiii

Liste des tableaux xv

Liste des symboles et abréviations xvii

Introduction générale xxii

Revue bibliographique xxiv

Objectif général et résultats attendus xxv

1 Méthodes de calcul selon l’Eurocode 2 1

1.1 Les Eurocodes . . . 2

1.2 Poutres . . . 8

1.3 Tirants . . . 22

1.4 Poteaux . . . 26

1.5 Semelles Isolées . . . 32

1.6 Semelles Filantes . . . 46

2 Méthodologie de conception du logiciel 47 2.1 Langage de conception . . . 48

2.2 Structure du logiciel . . . 51

2.3 Programme VBA . . . 52

3 Guide d’utilisation 56 3.1 Prise en main . . . 57

3.2 Présentation . . . 59

3.3 Données . . . 60

3.4 Résultats . . . 61

3.5 Les boutons . . . 62

3.6 Protection . . . 63

3.7 Calcul de Poteaux . . . 64

3.8 Calcul de Tirants . . . 68

3.9 Calcul de Semelles . . . 72

3.10 Calcul de Poutres . . . 76

3.11 Vérification à l’effort tranchant . . . 81

4 Etude comparative et Validation du logiciel 85 4.1 Introduction . . . 86

4.2 Etude de Poutres : Moment fléchissant . . . 86

4.3 Etude de Poutres : Effort tranchant . . . 90

4.4 Etude d’un Tirant . . . 92

4.5 Etude de Poteaux . . . 93

4.6 Etude d’une Semelle . . . 96

4.7 Etude comparative BAEL Eurocode . . . 97

Conclusions et perspectives 99

Bibliographie 100

Annexes 101

A Organigrammes de calcul 102

B Notes de calcul 120

C Classes d’exposition 125

D Tableaux Eurocode 2 127

E Plan d’exécution 138

Table des Matières 140

1.1 Poutre sollicitée en flexion simple . . . 9

1.2 Section de poutre en flexion simple . . . 10

1.3 Diagrammes Flexion simple ELS . . . 11

1.4 Diagramme des déformations (Flexion simple ELU) . . . 12

1.5 Diagramme des contraintes (Flexion simple ELS) . . . 13

1.6 Effort de glissement . . . 14

1.7 Contraintes tangentes . . . 16

1.8 Contraintes tangentes sur un plan perpendiculaire au plan moyen 17 1.9 prisme de base carrée au-dessous de l’axe neutre . . . 19

1.10 Contraintes s’exerçant sur la prisme . . . 20

1.11 Conséquences des contraintes au voisinage des appuis . . . . 20

1.12 Semelle Isolée . . . 32

1.13 Semelle : Méthode du moment au nu du poteau ou à l’axe avec écrêtage du moment . . . 37

1.14 Etude du poinçonnement (poteau circulaire) . . . 41 1.15 Modèle pour l’effort de traction vis-à-vis des fissures inclinées 42

2.1 L’éditeur de macro : Visual Basic Editor (VBE) . . . 49

3.1 Activation des macros à l’ouverture du logiciel . . . 57

3.2 Activation de la librairie AutoCAD . . . 58

3.3 Menu Principal du logiciel . . . 59

3.4 Les cellules de données . . . 60

3.5 Les cellules de résultats et le bouton "Notes de calcul" . . . . 61

3.6 Les boutons . . . 62

1.1 Contrainte limite de traction (Diagramme à palier incliné) . . 23

1.2 Comparaison des méthodes de calcul des semelles . . . 33

4.1 Résultats : Poutre rectangulaire . . . 87

4.2 Résultats : Poutre en T . . . 88

4.3 Résultats : Effort tranchant . . . 90

4.4 Résultats : Tirant . . . 92

4.5 Résultats : Poteau rectangulaire . . . 93

4.6 Résultats : Poteau circulaire . . . 94

4.7 Résultats : Semelle de fondation . . . 97

Majuscules latines Notations Significations

A_c Aire de la section droite (béton seul)

A_s Aire totale des armatures longitudinales tendues As,min Section minimale d’armatures dans la zone tendue A_sw Section d’une nappe d’armatures d’âme

A_sl Aire totale des armatures longitudinales tendues A_s2 Aire totale des armatures longitudinales comprimées E_{c,ef f} Module d’élasticité effectif tangent du béton

E_cm Module de déformation instantanée du béton E_s Module d’élasticité de l’acier

I_cf Moment d’inertie de la section droite fissurée (section homogène réduite) I_ch Moment d’inertie de la section droite non fissurée (section homogène non

réduite)

M_lu Moment limite ultime M_rc Moment résistant béton

M_{T ser} Moment fléchissant de service de référence pour le calcul des sections en T

M_{T u} Moment fléchissant ultime de référence pour le calcul des sections en T M_Ed Moment fléchissant ultime

N_Ed Effort normal de compression à l’ELU

V_Ed Effort tranchant de calcul à l’ELU dû aux charges appliquées

VRd,c Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant

V_Rd,max Effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté sans provoquer l’écrasement des bielles de béton comprimé

V_Rd,s Effort tranchant de calcul pouvant être supporté par un élément avec armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité

Minuscules latines Notations Significations

b_ef f Largeur participante de la table de compression d’une section en T b_w Largeur d’une section rectangulaire, largeur de l’âme d’une section en T c_nom Enrobage nominal

d Distance du centre de gravité des armatures tendues à la fibre la plus comprimée d’une section droite

d⁰ Distance du centre de gravité des aciers comprimés à la fibre de béton la plus comprimée

f_cd Contrainte de compression du béton correspondant à la partie rectiligne du diagramme parabole-rectangle

f_ck Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours f_cm Résistance moyenne à la compression du béton à 28 jours f_ctd Résistance de calcul en traction du béton

f_ctk,0,05 Résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,05 f_ctm Résistance à la traction du béton à 28 jours

f_cu Contrainte uniforme de compression du béton

f_yd Résistance de calcul des armatures (limite d’élasticité) f_yk Limite d’élasticité des aciers

f_ywd Résistance de calcul des armatures d’âme (limite d’élasticité) fywk Limite d’élasticité des aciers transversaux

h Hauteur totale d’une section

h_f Épaisseur de la table de compression d’une section en T l₀ Hauteur utile d’un poteau (longueur de flambement) s Espacement des cours d’armatures d’âme

s_cl,t Espacement des armatures transversales d’un poteau

s_cl,tmax Espacement maximal des armatures transversales d’un poteau s_l,max Espacement longitudinal maximal des armatures d’effort tranchant s_t,max Espacement transversal maximal des armatures d’effort tranchant z Bras de levier des forces élastiques

zc Bras de levier de la résultante des contraintes de compression du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELU

Majuscules et minuscules grecques Notations Significations

α Inclinaison des armatures d’âme sur la ligne moyenne α_e Coefficient d’équivalence

α_u Hauteur relative de l’axe neutre à l’ELU α₁ Hauteur relative de l’axe neutre à l’ELS

c Raccourcissement de la fibre la plus comprimée d’une section

cu2 Raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme parabole-rectangle

_cu3 Raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme bi-linéaire

_yd Allongement des aciers tendus lorsque leur contrainte est égale à leur limite d’élasticité

_l Allongement des aciers tendus

_s2 Raccourcissement des aciers comprimés

_ud Allongement maximal relatif de l’acier tendu dans le cas du diagramme à palier incliné

φ(t, t0) Coefficient de fluage

φ Diamètre d’une barre d’acier

γ_c Coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul du béton γ_s Coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul des aciers

λ Élancement

µ_cu Moment fléchissant ultime réduit µlu Moment fléchissant limite ultime réduit µrc Moment résistant béton réduit

ρ_l Pourcentage d’armatures longitudinales ρ_w Pourcentage d’armatures transversales

σ_c Contrainte limite de compression du béton à l’ELS σ_s Contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS

Abréviations Abréviations Significations

AN Annexe Nationale

ANF Annexe Nationale française

AutoCAD Autodesk AutoCAD

BA Béton Armé

BAEL Béton Armé aux États Limites

BPEL Béton Précontraint aux États Limites BS British Standards (Norme Britannique)

CCBA 68 Calcul des Constructions en Béton Armé de 1968

CE Communauté Européenne

CSTB Centre Scientifique et Technique du Bâtiment

DIN (Deutsches Institut fur Burggranfenstr) (Institut Allemand de Nor- malisation)

DTU Documents Techniques Unifiés

EC Eurocode

ELU État Limite Ultime

ELS État Limite de Service

EN European Norm (Norme Européenne)

Excel Microsoft Excel

FFB Fédération Française du Béton

NF Norme française

RDM Résistance des matériaux

Robot Autodesk Robot Structural Analysis VBA Visual Basic pour Applications

VBE Visual Basic Editor (Editeur de Visual Basic)

Pour parvenir à un développement durable, il faut faciliter les échanges entre les Etats. C’est justement dans le but d’offrir un langage commun entre les nations que les normes Eurocodes ont vu le jour. Depuis quelques années, le génie civil connaît donc une période de transition en matière de règles de conception et de calcul de structures. Les normes Eurocodes bouleversent ainsi les habitudes des ingénieurs, comme le passage du CCBA 68 au BAEL.

Certains logiciels de calcul de structure ont alors intégré les Eurocodes en tant que norme de dimensionnement des structures. En revanche, la licence d’utilisation de la quasi-totalité de ces logiciels est très chère. De plus l’ingé- nieur, s’intéresse souvent à la manière dont le calcul est effectué sans obtenir de réponse satisfaisante, sauf s’il a une très bonne maîtrise du logiciel et surtout de ses méthodes de calcul. Aussi la modification des paramètres constituant les données à traiter font que l’ingénieur se perd souvent dans les menus et sous menus de ces logiciels.

Un logiciel simple, qui permet à l’utilisateur de modifier sans difficultés les paramètres, de comprendre clairement comment les calculs sont effectués

pour être convaincus des résultats et mieux les ajuster, serait donc utile aux ingénieurs du génie civil.

Excel est un tableur créé par la société Microsoft. De nos jours, il est très rare d’acheter un ordinateur sans avoir la suite Microsoft office livrée avec.

Compte tenu de sa simplicité, et du fait qu’il met à la disposition de l’utilisateur des fonctionnalités très avancées, il est très utilisé dans presque toutes les entreprises, pour : les calculs répétitifs, les devis, la comptabilité, etc.

Par ailleurs, le béton est le matériau de construction le plus utilisé au monde, que ce soit en bâtiment ou en travaux publics. Pour promouvoir les Eurocodes, il est donc judicieux de commencer par le calcul des structures en béton.

Dans cette étude, on utilisera donc les atouts du tableur Excel pour conce- voir un logiciel simple pour le calcul des éléments de structure en béton armé selon l’Eurocode 2.

Plusieurs auteurs ont orienté leurs réflexions sur le calcul des éléments struc- turaux en béton sur le logiciel Excel. Depuis l’avènement des Eurocodes, plu- sieurs guides d’application ont été réalisés.

C’est ainsi que, l’expert consultant Henry THONIER a conçu, en 2008, pour le Centre Scientifique et Technique du Bâtiment (CSTB) des guides d’appli- cations des Eurocodes, traduits sur Excel 2003. Notons qu’il faut acheter les guides avant de pouvoir utiliser les feuilles de calcul.

Jérôme FONTAINE a conçu, en 2011, un programme Excel utilisant des fonctions créées en « python » pour le calcul des poteaux et des semelles isolées sous charge centrée.

Ces différentes études et d’autres encore, traitent du calcul des éléments structuraux en béton selon l’Eurocode 2 sous le logiciel Excel. Cependant elles ne fournissent pas un logiciel simple et complet permettant de dimensionner les ouvrages courants en béton armé.

L’objectif général vise à travers la réalisation d’un logiciel sous Microsoft Office Excel, à s’approprier la démarche relative au calcul des éléments de structures en béton armé selon l’Eurocode 2.

A la fin de cette étude : Les principes de dimensionnement des éléments structuraux courants selon l’Eurocode 2 seront acquis.

Un logiciel de calcul des éléments de structure en béton armé selon l’Euro- code 2 sera réalisé, sous Excel.

Une étude comparative pour valider les résultats du logiciel sera faite.

1

Méthodes de calcul selon l’Eurocode 2

Contenu

1.1 Les Eurocodes . . . . 2 1.2 Poutres . . . . 8 1.3 Tirants . . . . 22 1.4 Poteaux . . . . 26 1.5 Semelles Isolées . . . . 32 1.6 Semelles Filantes . . . . 46

1.1 Les Eurocodes

1.1.1 Présentation

L

^es Eurocodes constituent un ensemble intégré de normes européennes se rapportant à la conception et au dimensionnement des bâtiments et des ouvrages de génie civil, y compris leurs fondations et leur résistance aux actions sismiques. Ils sont basés sur l’expérience nationale et la recherche des différents pays de l’Union Européenne ainsi que sur la connaissance des organisations techniques et scientifiques internationales.

Le programme des Eurocodes structuraux constitue un ensemble de textes cohérents dans le domaine de la construction. Il comporte les normes suivantes, chacune étant, en général, constituée d’un certain nombre de parties :

– EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures, – EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures, – EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton, – EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier,

– EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton, – EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois,

– EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie, – EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique,

– EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes,

– EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium.

L’Eurocode 2, pour sa part, comporte les parties suivantes : – Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments, – Partie 1-2 : règles générales-Calcul du comportement au feu, – Partie 2 : ponts en béton-Calcul et dispositions constructives, – Partie 3 : silos et réservoirs.

Les Eurocodes structuraux constituent des normes européennes transpo- sables en normes nationales dans les pays suivants : Allemagne, Autriche, Bel- gique, Chypre, Danemark, Espagne, Estonie, Finlande, France, Grèce, Hon- grie, Irlande, Islande, Italie, Lettonie, Lituanie, Luxembourg, Malte, Norvège, Pays-Bas, Pologne, Portugal, République Tchèque, Royaume-Uni, Slovaquie, Slovénie, Suède et Suisse.

Les normes nationales transposant les Eurocodes comprennent la totalité du texte des Eurocodes (toutes annexes incluses). Ce texte peut être précédé d’une page nationale de titres et par un avant-propos national, et éventuellement suivi d’une Annexe nationale. Ces normes nationales sont amenées à se substituer aux textes réglementaires correspondants en vigueur dans les pays européens cités ci-dessus. Ainsi, en France, l’Eurocode 2 a déjà remplacé définitivement les Règles BAEL 91 pour le béton armé et BPEL 91 pour le béton précontraint en mars 2010. L’ensemble des Eurocodes est disponible avec leurs Annexes nationales.

A qui les Eurocodes sont-ils destinés ?

Il est clair que c’est avant tout pour l’ingénieur de stabilité que les Euro- codes ont de l’importance, lorsqu’il doit calculer et concevoir des bâtiments et

autres structures. Mais les Eurocodes sont également importants pour d’autres partenaires du processus de construction et ce pour plusieurs raisons.

– Pour obtenir le marquage CE (Communauté Européenne), les producteurs et négociants doivent, dans le système européen, apporter la preuve de la conformité de leurs produits à la norme de produit européenne. Ce processus, qui a déjà démarré pour une petite minorité de produits, est coordonné, en Belgique, par les organismes de certification existants. Les normes de produits relatives à un très grand nombre de produits à fonction portante (les linteaux, les éléments de plancher préfabriqués, les matériaux de maçonnerie, les poutrelles en acier et les palplanches etc.) renvoient aux Eurocodes en tant que moyen de prouver la Résistance mécanique et la stabilité ainsi que la Résistance au feu du produit.

Même si les Eurocodes ont été élaborés, en première instance, pour garantir l’aptitude de structures entières, ils servent aussi à en faire autant au niveau du produit. En outre, comme les producteurs ont des clients qui travaillent avec les Eurocodes, ils devront adapter leur documentation technique et éventuellement leur processus de production à la terminologie et à la classification des produits selon les Eurocodes.

– Les Eurocodes ont aussi leur importance pour les entrepreneurs. Tout d’abord parce qu’ils comprennent plusieurs règles de mise en œuvre, tout au moins dans la mesure où elles sont indispensables pour justifier les hypothèses de calcul utilisées. Mais ce sont surtout les nouveaux détails constructifs (les règles concernant l’enrobage du béton, l’ancrage et le recouvrement des armatures, les tolérances de pose etc.) et les nouvelles

spécifications relatives aux matériaux de construction (la classe de résis- tance du béton, la désignation des armatures, la résistance en compression des maçonneries etc.) qui exigeront des efforts de la part des entrepre- neurs.

– Etant donné que les architectes communiquent avec les ingénieurs et les entrepreneurs, ils devront inévitablement se familiariser avec les Euro- codes.

Avantage des Eurocodes

Les avantages des Eurocodes sont considérables et nous pouvons citer : – Niveau de sécurité uniforme des constructions,

– Critères de conception et méthodes communes,

– Base commune et transparente pour une concurrence loyale, – Simplification de l’échange de services en génie civil,

– Simplification et élargissement de l’utilisation de matériaux et composants structurels,

– Possibilité de développement d’outils de conception et de logiciels com- muns,

– Base commune pour la recherche et le développement,

– Meilleure compétitivité des ingénieurs, bureaux d’étude, entrepreneurs, concepteurs et fabricants européens.

Annexes nationales

Les annexes nationales permettent à chaque État membre de tenir compte de ses propres spécificités en matière de géographie, climat et techniques de construction traditionnelles. Le niveau de sécurité continue donc à relever de la responsabilité de l’autorité de réglementation de chaque État membre et diffère d’un État à l’autre. Lorsque les Eurocodes EN sont utilisés pour une construction, l’Annexe nationale du pays où se trouve la construction doit être utilisée.

Afin de prendre en compte les différences entre les États membres, les Eu- rocodes laissent une certaine marge de manoeuvre propre aux pays, sous la forme de «paramètres nationaux». Une Annexe nationale ne peut adapter le texte de l’Eurocode que via les paramètres nationaux.

Les Eurocodes en dehors de l’Europe

Plusieurs pays non européens ont choisi les Eurocodes. Entre autres, nous pouvons citer : Singapour, Malaisie, Viêtnam, Angola.

Certains pays attendent la rédaction de leur annexe nationale pendant que d’autres attendent encore les expériences de l’Europe.

Notre Pays le Bénin peut initier la rédaction de l’annexe nationale Béninoise, pour définir les paramètres nationaux conformément à sa géographie, son cli- mat et ses techniques traditionnelles de construction et ses particularités.

1.1.2 Classes d’exposition

Pour assurer la durabilité des constructions, l’eurocode 2 accorde une atten- tion particulière aux conditions physiques et chimiques auxquelles les structures sont exposées en plus des actions mécaniques. Ainsi la notion d’enrobage est très différente de celle du BAEL.

La notion de fissuration (peu préjudiciable, préjudiciable et très préjudi- ciable) est remplacée par la notion de classe d’environnement ou classe d’ex- position. Dix huit classes sont retenues :

– X0 : Aucun risque de corrosion ou d’attaque. C’est le cas des ouvrages intérieurs de bâtiments.

– XC1, XC2, XC3, XC4 : éléments exposés au risque de carbonatation.

– XD1, XD2, XD3 : éléments exposés au risque de corrosion par les chlo- rures

– XS1, XS2, XS3 : éléments exposés au risque de corrosion par les chlo- rures présents dans l’eau de mer.

– XF1, XF2, XF3, XF4 : éléments exposés au risque d’attaque par gel et dégel.

– XA1, XA2, XA3 : éléments exposés au risque d’attaques chimiques.

Le tableau de l’annexe C présente les classes d’exposition en fonction des conditions d’environnement.

1.2 Poutres

1.2.1 Définition

U

^ne poutre est un élément souvent horizontal, recevant des charges géné- ralement verticales, et reposant :

– soit sur un seul appui, avec encastrement (console)

– soit sur deux appuis (libres, libre et encastré, ou encastrés) – soit sur plusieurs appuis (poutre en continuité).

C’est un élément dont la portée est supérieure ou égale à 3 fois la hau- teur totale de la section. Lorsque ce n’est pas le cas, il convient de la considérer comme une poutre-cloison.

En dehors des poutres à section pleine classiques existent principalement les poutres à âme pleine, les poutres à treillis (dont l’âme est remplacée par une triangulation) et les poutres à caissons.

Les poutres peuvent être soumises à la flexion simple, la flexion composée, la flexion déviée, etc. Nous traiterons ici des poutres soumises à la flexion simple.

Une poutre à plan moyen est sollicitée en flexion plane simple lorsque l’en- semble des forces et couples appliqués à gauche d’une section droite est ré- ductible, au centre de gravité G de cette section, à :

– un couple M d’axe perpendiculaire au plan moyen (ou moment fléchis- sant) ;

– une force V située dans le plan de la section et dans le plan moyen (ou effort tranchant).

Figure 1.1 – Poutre sollicitée en flexion simple

Les effets du moment fléchissant M et ceux de l’effort tranchant V sont étudiés séparément. Nous étudierons donc en premier lieu le moment fléchissant et en second lieu l’effort tranchant.

1.2.2 Moment Fléchissant

Enoncé du problème

Considérons une poutre fléchie à axe horizontal. Si le moment est positif la partie supérieure de la section est comprimée, la partie inférieure est tendue, s’il est négatif, c’est l’inverse.

Principes de calcul – Etat limite ultime

Le moment agissant ultime est :

M_Ed = ^X

i

γ_i.M_i (1.1)

Le diagramme des déformations passe : – soit par le pivot A ;

Figure 1.2 – Section de poutre en flexion simple

– soit par le pivot B ;

mais pas par le pivot C (sinon, la section serait entièrement comprimée, ce qui est en contradiction avec les hypothèses de la flexion simple).

– Etats limites de service

Le moment agissant de service est :

M_ser = ^X

i

M_i (1.2)

Le diagramme des contraintes est linéaire (diagramme de Navier) : Équations générales

Pour résoudre tout problème de flexion simple, soit à l’état limite ultime, soit à l’état limite de service, on dispose en tout et pour tout de trois équations :

– deux équations de la statique : équilibre des forces, équilibre des moments.

– une équation de « compatibilité » exprimant la conservation des sections planes (relations de triangles semblables).

Cette conservation est exprimée par les déformations dans le cas de l’ELU et par les contraintes dans le cas de l’ELS.

Figure 1.3 – Diagrammes Flexion simple ELS

Il ne peut donc y avoir plus de 3 inconnues. Dans le cas contraire, pour n inconnues, il faut se fixer n-3 conditions supplémentaires.

– Équilibre des forces

La résistance à la traction du béton tendu étant négligée, les efforts de traction doivent être intégralement équilibrés par les armatures tendues.En flexion simple, il n’y a aucun effort normal extérieur. La résultante des forces internes de compression F_sc et de traction F_s1 doit être nulle :

F_s1 = F_sc = (F_c +F_s2) (1.3) avec F_c la résultante des efforts de compression dans le béton et F_s2 la résultante des efforts de compression dans les aciers comprimés.

– Équilibre des moments

Le couple formé par les forces internes Fsc et Fs1 et doit équilibrer le moment extérieur agissant M.

M = F_sc.z = F_s1.z (1.4) Remarque : Le moment M désigne M_Ed ouM_ser suivant que l’on se trouve à l’ELU ou à l’ELS.

– Équations de compatibilité

– Etat limite ultime

En désignant par x_u la « hauteur » de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée. On peut écrire, puisque le diagramme des

Figure 1.4 – Diagramme des déformations (Flexion simple ELU)

déformations est linéaire : ε_c

x_u = ε_s2

x_u−d⁰ = ε_s1

d−x_u (1.5)

– Etat limite de service

En désignant par x₁ la « hauteur » de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée. On peut écrire, puisque le diagramme des

Figure 1.5 – Diagramme des contraintes (Flexion simple ELS)

contraintes est linéaire : σc

x₁ = σs2

α_e(x₁ −d⁰) = σs1

α_e(d−x₁) (1.6) A l’état limite de service avec limitation de la contrainte de compres- sion du béton :

σ_c = σ_c ⇒ σ_s2 et σ_s1 (1.7) A l’état limite de service avec limitation de la contrainte de traction des aciers tendus :

σ_s1 = σ_s ⇒ σ_s2 et σ_c (1.8)

Dimensionnement

Les méthodologies de dimensionnement des sections rectangulaires et des sections en « T », pour les classes d’exposition XD, XF, XS, X0, XC, XA, aussi bien à l’ELU qu’à l’ELS, sont présentées sous forme d’organigrammes en annexe, avec la possibilité d’utiliser un diagramme contrainte-déformation à palier horizontal ou incliné.

1.2.3 Effort Tranchant

Calcul des efforts – Effort de glissement

On considère une aire homogène quelconque B idéalement découpée dans la section droite d’une poutre à plan moyen soumise à la flexion simple.

La contrainte normale à l’ELS, à la distance x de l’axe neutre vaut :

Figure 1.6 – Effort de glissement

σ_ξ = M

I₁ ξ (1.9)

I1 : moment d’inertie par rapport à l’axe neutre de la section homogène réduite (béton comprimé et armatures).

Résultante des forces élastiques agissant sur l’aire homogène B idéalement découpée dans la section droite :

F_B = ^Z

B σ_ξ.dB =M I₁

Z

B ξ.dB =M

I₁S_B (1.10) S_B : moment statique par rapport à l’axe neutre de l’aire homogène B.

Si V n’est pas nul entre deux sections droites distantes de dx, M varie de dM, donc F_B varie de dF_B.

On appelle effort de glissement par unité de longueur de poutre la quan- tité :

g = dF_B

dx = dM dx .S_B

I₁ (1.11)

Or, V = ^dM_dx d’ou :

g = V

I₁S_B (1.12)

– Contraintes tangentes

Sous l’effet de g, le prisme B.dx a tendance à se déplacer par rapport à la poutre, le long d’une surface de glissement dont la trace sur le plan de la section droite de la poutre a pour longueur u.

L’équilibre du prisme de base B et de longueur dx est assuré par des contraintes tangentes qui se développent sur la surface de glissement du prisme B.dx par rapport à la poutre.

En posant :

νR = valeur, supposée constante, de la contrainte tangente en tout point de la surface latérale du prisme,

u = longueur de la trace de la surface de glissement sur le plan de la section droite de la poutre,

l’équilibre du prisme B.dx suivant son axe s’écrit :

Figure 1.7 – Contraintes tangentes

vR.u.dx = dFB ⇒ vR = 1 u.dF_B

dx = g

u (1.13)

soit :

v_R = V I1

.S_B

u (1.14)

– Bras de levier des forces élastiques

En prenant la zone comprimée homogène de la section comme aire B (Fsc

= résultante des compressions sur cette zone), on obtient : F_B = ^M_I

1S_B , F_B = F_sc et M = F_sc.z

Ce qui donne : F_sc = ^M_I

1S_B et F_sc = ^M_z

Par identification, on a : z = _S^I1

B

D’où, en posant :

v_R = V I₁.S_B

u (1.15)

On obtient :

z = I₁

S₁ (1.16)

S₁ : moment statique par rapport à l’axe neutre de la zone comprimée homogène de la section.

Contraintes tangentes sur un plan perpendiculaire au plan moyen En considérant la zone comprimée de la section située au-dessus du plan de tracé MM’ = b_ξ, perpendiculaire au plan moyen, à la cote ξ au dessus de l’axe neutre, on a :

Figure 1.8 – Contraintes tangentes sur un plan perpendiculaire au plan moyen

un effort de glissement :

g_ξ = V

I₁S_1ξ (1.17)

une contrainte tangente :

v_Rξ = V I₁.S1ξ

b_ξ (1.18)

en désignant par S_Iξ, le moment statique, par rapport à l’axe neutre, de l’aire MBM’ rendue homogène.

Comme z = _S^I1

1, il vient :



















g_ξ = ^V_z.^S_S^1ξ

1

v_Rξ = ^V_z.^S_S^1ξ

1 ._b¹

ξ

(1.19)

En vertu du théorème de Cauchy (Résistance des matériaux), la contrainte tangente en tout point P du plan de tracé MM’ s’exerce à la fois dans ce plan et dans le plan de la section droite.

Au-dessous de l’axe neutre, comme on néglige le béton tendu, on a : S1ξ = S₁ d’où, entre l’axe neutre et les armatures tendues :



















g_ξ = g_max = ^V_z = Cste v_Rξ = ^V_z._b¹

ξ

(1.20)

La valeur maximale v_R de v_Rξ s’obtient pour la valeur minimale de dans la zone tendue.

Pour une section rectangulaire ou en T, au-dessous de l’axe neutre, on a toujours : b_ξmin = b_w = Cste

d’où :

v_Rξ = v_R = V

b_w.z (1.21)

on encore, en admettant que z ≈0,9.d :

vR = V

0,9.b_w.d (1.22)

Effet des contraintes tangentes

Au-dessous de l’axe neutre, un prisme de base carrée ABCD, de côté AB = dx, parallèle à la ligne moyenne ; de hauteur b_w est soumis dans le plan de ses quatre faces uniquement à des efforts de glissement g.dx (puisque le béton tendu est négligé).

Figure 1.9 – prisme de base carrée au-dessous de l’axe neutre

Sur l’élément plan de trace BD, d’aire b_wdx√

2 , s’exercent un effort de traction gdx√

2 donc une contrainte de traction :

σ_t = g.dx√ 2 b_wdx√

2 = g bw

= V

bw.z = v_R (1.23) De la même manière, l’élément plan de trace AC est soumis à une contrainte de compression : σ_c = v_R

Figure 1.10 – Contraintes s’exerçant sur la prisme

Conséquences des contraintes au voisinage des appuis

Figure 1.11 – Conséquences des contraintes au voisinage des appuis

1. Si V est élevé, alors vR est élevé, ainsi σt est aussi élevé et il y a risque de fissuration à 45˚.

2. risque d’écrasement du béton suivant les « bielles » de béton à 45˚, dé- coupées par les fissures et soumises à σ_c = v_R

Il faut donc :

1. limiter v_R pour limiter la compression des bielles.

2. coudre les fissures obliques par des armatures dites armatures d’effort tranchant ou armatures d’âme.

Lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion précédente ( σ_t = σ_c = v_R ) n’est plus valable. Il y a redistribution des efforts entre les armatures d’âme tendues, d’une part et les bielles de béton comprimé, d’autre part.

Dimensionnement

Les méthodologies de calcul des armatures d’âme ou d’effort tranchant, des sections rectangulaires et des sections en « T », sont présentées sous forme d’organigrammes en annexe.

1.3 Tirants

1.3.1 Définition

U

ⁿ tirant est une pièce travaillant à la traction et servant à maintenir ou à empêcher un écartement, à assurer la stabilité d’un mur ou à soulager une structure.

Rappel de RDM :

Lorsque dans une pièce en BA, les sollicitations se réduisent uniquement à un effort normal de traction, la pièce en BA est appelée tirant. Si le tirant est vertical, on le nomme suspente.

Pour les tirants horizontaux, si le poids propre est de quelque importance (non négligeable), il introduit un moment de flexion qui combiné avec l’effort normal de traction donne la flexion composée avec effort normal de traction.

Nous traiterons ici des tirants soumis à la traction simple.

1.3.2 Dimensionnement

Une pièce en béton armé est sollicitée en traction simple lorsque les forces agissant à gauche d’une section droite se réduisent au centre de gravité de la section à une force unique N (effort normal) perpendiculaire à cette section et dirigée vers la gauche.

Le béton tendu étant négligé, le centre de gravité de la section droite doit être confondu avec celui de la section des armatures.

Enoncé du problème

Il s’agit de déterminer la section d’armature à mettre en place connaissant la section du béton, l’effort de traction à l’ELU et à l’ELS.

État Limite Ultime (ELU)

En traction simple, la section est uniformément tendue. Le béton tendu est négligé, les aciers équilibrent donc intégralement l’effort de traction. La contrainte limite de traction de l’acier est calculée selon le type de diagramme contrainte-déformation de l’acier. On a donc :

– Palier horizontal :

σ_s,u = f_yd = f_yk

γ_s (1.24)

– Palier incliné :

σ_s,u = g ε_ud;kf_yk γs

!

(1.25) donné par le tableau ci-dessous.

Tableau 1.1 – Contrainte limite de traction (Diagramme à palier incliné)

Classe A B C

S400 363 373 395 S500 454 466 493

La section d’armature est donc calculée par la formule :

As,u = N_Ed

σ (1.26)

État Limite de Service (ELS)

Afin de respecter les exigences de durabilité et d’éviter une ouverture ex- cessive des fissures, la contrainte de l’acier sous la combinaison caractéristique des charges est limitée à :

σ_s = k₃.f_yk (1.27)

Aveck₃=0.8 valeur recommandée et à utiliser pour l’ANF. On obtient donc :

As,ser = N_ser

σ_s (1.28)

Dans le cas des aciers S 400 et S 500, on a toujours As,u ≥ A_s,ser et le calcul à l’ELS n’est donc pas nécessaire.

Section minimale d’armatures

La section minimale d’armatures à disposer dépend de la maîtrise de fissu- ration.

Dans le cas où la maîtrise de fissuration n’est pas requise, aucune section minimale d’armatures n’est requise. Néanmoins, par sécurité, la section d’ar- matures doit au moins résister à la sollicitation provoquant la fissuration du béton de la section supposée non armée et non fissurée. On a donc :

A_s ≥A_cf_ctm

f_yk (1.29)

Ce qui donne :

A_s,min = A_cf_ctm

f_yk (1.30)

Dans le cas où la maîtrise de fissuration est requise, la section minimale est donnée par :

A_s,min =



































A_c^f_f^ctm

yk : h ≤ 30cm (1,21−0,7.h)Acfctm

fyk : 30cm < h < 80cm 0,65.A_c^f_f^ctm

yk : 80cm ≤ h

(1.31)

Pour les valeurs de h intermédiaires, entre 30 et 80 cm,la section minimale est obtenu par interpolation linéaire.

Armatures transversales – Diamètre

Le diamètre des armatures transversales est le tiers de celui des armatures minimales. Toutefois, ce diamètre doit être au moins égal à 6 mm.

φt = M ax

(φ_l

3; 6mm

)

(1.32) – Espacement

En zone courante, l’espacement ne doit pas dépasser la plus petite dimen- sion de la section.

s ≤b (1.33)

1.4 Poteaux

1.4.1 Définition

U

ⁿ poteau est un élément dont le grand côté de la section transversale ne dépasse pas 4 fois le petit côté de celle-ci et dont la hauteur est au moins égale à 3 fois le grand côté. Lorsque ce n’est pas le cas, il convient de le considérer comme un voile.

Un poteau peut être sollicité en compression centrée, en flexion composée, etc. Nous traiterons ici, des poteaux soumis à la compression centrée.

Un poteau rectiligne est sollicité en compression centrée lorsque l’ensemble des forces extérieures agissant à gauche de la section droite se réduit au centre de gravité de la section à une force unique N (effort normal) perpendiculaire à S et dirigée vers la droite.

Cette sollicitation ne se rencontre jamais en pratique. Un poteau réel est toujours soumis à la flexion composée (effort normal N et moment fléchissant M = N.ex) par suite :

– de la dissymétrie du chargement ;

– des imperfections d’exécution (non rectitude de l’axe, défaut de verticalité, etc.) ;

– de la solidarisation poteau/poutre, etc.

1.4.2 Méthodes d’analyse

Il existe trois méthodes d’analyse : la méthode générale (voir EC 2-5.8.6) ; la méthode basée sur une rigidité nominale (voir EC 2-5.8.7) ; la méthode basée

sur une courbure nominale (voir EC 2-5.8.8).

Méthode Générale

La méthode générale est basée sur une analyse non-linéaire incluant la non- linéarité géométrique, c’est-à-dire les effets du second ordre. L’effet du fluage doit aussi être pris en compte.

Méthode basée sur une rigidité nominale

On utilise les valeurs nominales de la rigidité en flexion, en tenant compte des effets de la fissuration, de la non-linéarité des matériaux et du fluage sur le comportement global. Ceci s’applique également aux éléments adjacents intervenant dans l’analyse, poutres, dalles ou fondations, par exemple. Le cas échéant, il convient de tenir compte de l’interaction sol-structure.

Principe

– prise en compte des non linéarités géométriques ;

– prise en compte des lois de comportements exactes des matériaux ; – prise en compte du fluage du béton ;

Hypothèses de calcul – flambement plan ;

– déformée sinusoïdale sur la hauteur du poteau ;

Méthode basée sur une courbure nominale

Cette méthode convient avant tout pour les éléments isolés soumis à un effort normal constant, et de longueur efficace donnéel₀ (voir EC2-5.8.3.2). La

méthode donne un moment nominal du second ordre basé sur une déformation, celle-ci étant basée à son tour sur la longueur efficace et sur une courbure maximale estimée (voir EC2-5.8.5(4)).

Ces méthodes permettent de prendre en compte des excentricités et d’effec- tuer un calcul des armatures nécessaires en flexion composée. Il n’existe donc pas de méthode particulière pour la compression simple.

Toutefois, les recommandations professionnelles proposent une méthode en- veloppe de la méthode basée sur une courbure nominale, pour les poteaux rectangulaires et circulaires, applicable, si les conditions suivantes sont respec- tées :

– Poteau bi-articulé sous charges centrées – Elancement : λ = 120

– 20 ≤f_ck ≤ 50MPa

– Epaisseur dans le sens du flambement h=0,15 m

– Distance d’ des aciers à la paroi la plus proche :d⁰ ≤ M in{0,30.h; 100mm}

– armatures symétriques par moitié sur chaque face – chargement à au moins 28 jours

C’est cette méthode que nous allons utiliser.

1.4.3 Enoncé du problème

Il s’agit de déterminer les sections d’armatures longitudinale et transver- sale à mettre en place connaissant la section du béton et l’effort normal de compression.

1.4.4 Calcul des Armatures

La section d’armatures longitudinales doit vérifier la condition suivante :

A_s ≥ N_Ed

k_hk_sα −A_cf_cd

! 1

f_yd (1.34)

Dans le cadre d’un dimensionnement, le coefficient k_h est inconnu, car il est fonction de la section d’armatures. On peut utiliser une valeur estimée de ce coefficient que l’on devra vérifier.

Poteau rectangulaire

– k_h estimé : k_h,est. = M in^n0,005_a (1,5 +a) (100.a−12.d⁰) ; 1^o

– Elancement : λ = ^L0

√12 a

– Coefficient α : α =



















0,86

1+(62^λ)² si λ ≤ 60

32 λ

1,3 si 60 < λ ≤ 120

– Coefficient ks : ks =



















1,6− ^0,60.f₅₀₀^yk si λ > 40 et f_yk > 500M P a

1 sinon

– Section d’acier : A_s =

N_Ed

k_h,est.k_sα −A_cf_cd

1 f_yd

Poteau circulaire

– k_h estimé : k_h,est. = M in^n0,005_D (1,4 +D) (100D−16.d⁰) ; 1^o

– Elancement : λ = ^4L_D⁰

– Coefficient α : α =



















0,84

1+(52^λ)² si λ ≤ 60

27 λ

1,24 si 60 < λ≤ 120

– Coefficient ks : ks =



















1,6− ^0,65.f₅₀₀^yk si λ > 30 et f_yk > 500M P a

1 sinon

– Section d’acier : A_s =

N_Ed

k_h,est.k_sα −A_cf_cd

1 f_yd

1.4.5 Dispositions constructives

Armatures longitudinales

– Section minimale : A_s,min = M ax

0,10.NEd

f_yd ; 0,002A_c

– Section maximale : A_s,max =



















0,04A_c : zone courante 0,08A_c : zone de recouvrement

– Diamètre minimale : φl,min = 8mm Armatures transversales

Les armatures transversales doivent maintenir toutes les barres situées près des angles.

– Section minimale : φ_t = M axⁿ6mm;^φlmax₄ ^o