x 1 (Cf) est la courbe représentative de la fonction f dans un repére or- thonormé (O;!i ;!j

2éme Bac PC 2020/2021 Lycée Al Kadi Ayad Salé

Matiére : Mathématique Professeur : Yahya MATIOUI

Série d’exercices sur

La dérivabilité et l’etude des fonctions 09/11/2020

Exercice 1 (Extrait d’un ancien examen national) On considére la fonction dé…nie sur R par :

f(x) =x 1 + 2p

1 x ; x 1

f(x) = ^x_x³3+1¹ ; x 1

(Cf) est la courbe représentative de la fonction f dans un repére or- thonormé (O;!i ;!j ):

1. Montrer que f est continue en 1:

2. Etudier la dérivabilité de la fonction f à droite et à gauche au point 1; et donner une interprétation géométrique de chacun des résultats obtenus.

3. a) Calculer lim_{x !+1}f(x); en déduire la nature de la branche in…nie au voisinage de +1:

b) Calculer f( 3) et lim_{x !+1}f(x):

c) Etudier la nature de la branche in…nie au voisinage de 1: 4. a) Montrer que f est strictement croissante sur [1;+1[:

b) Montrer que

8x2] 1;1[ ; f⁰(x) = x p1 x 1 +p

1 x

c) Donner le tableau de variation de f sur R:

1

5. Tracer la courbe (C_f) sur (O;!i ;!j ):

6. Soit g la restriction de f sur l’intervalle [1;+1[:

a) Montrer que g admet une fonction réciproque dé…nie sur un inter- valle J qu’on déterminera.

b) Tracer (C_g ¹) dans le repére (O;!i ;!j ):

c) Déterminer g ¹(x) pour tout x dans l’intervalle J:

Exercice 2 (Extrait d’un ancien examen national) On considére la fonction dé…nie sur R par :

f(x) = ₂^x2_x; x2[0;1]

f(x) = x p

x² x; x2] 1;0[[]1;+1[

(C_f) est la courbe représentative de la fonction f dans un repére or- thonormé (O;!i ;!j ):

1. Montrer que f est continue aux points 0 et 1:

2. Etudier la dérivabilité de la fonction f à droite et à gauche aux points 0et 1;et donner une inerprétation géométrique de chacun des résultats obtenus.

3. a) Calculer lim_{x !+1}f(x), en déduire la nature de la branche in…nie au voisinage de +1:

b) Calculer lim_{x ! 1}f(x): Montrer que la droite ( ) : y = 2x ¹₂ est une asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de

1:

4. Calculer f⁰(x), pour tout x de l’intervalle ]0;1[, en déduire le sens de variations de f sur ]0;1[:

5. Calculerf⁰(x), pour tout x de l’intervalle] 1;0[[]1;+1[, en déduire le sens de variations def sur chacun des intervalles] 1;0[et]1;+1[: 6. Donner le tableau de variations de f sur R:

7. Tracer la courbe (Cf) sur (O;!i ;!j ):

2

8. Soit g la restriction de f sur l’intervalle [0;1]:

a) Montrer queg admet une fonction réciproqueg ¹dé…nie sur l’intervalle J qu’on déterminera.

b) Donner le tableau de varation de g ¹:

c) Tracer (C_g ¹) dans le méme repére (O;!i ;!j ):

d) Déterminer g ¹(x) pour tout x de l’intervalleJ:

e) Calculer (g ¹)⁰(¹₆):

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