Chapitre 3 Généralités sur les probabilités

Bcpst 2 Lycée François 1^er

Dénombrement et Probabilités

Précédemment traité :Suites À venir :espaces probabilisés et probas discrètes.

Chapitre 1 Séries

Chapitre 2 Ensembles et Dénombrement : révisions

Chapitre 3 Généralités sur les probabilités

I Rappel des probas finies

rappel de définition et exemples basiques.

II Le triplet fondamental (Ω, T , p)

1 Cas général : mesure de probabilité

1 . a Notion de tribu

Déf : Soit Ω un ensemble fondamental et T ⊂ P(Ω). On dit que T est une tribu (ou σ-algèbre) sur Ω si Ω∈ T,T est stable par passage au complémentaire,T est stable par réunion dénombrable.

Déf : Pour tout ensembleΩet toute tribuT surΩ, on appelle le couple(Ω,T)unespace probabilisable( ou espace mesurable).

1 . b La tribu des Boréliens

Déf : Si l’univers Ω⊂Rest un intervalle, il existe une tribu ayant les propriétés suivantes : - elle contient l’ensembleC={[a, b]|a, b,∈Ω}de tous les intervalles fermés bornés dansΩ - il n’existe pas de tribu plus petite contenantC

On la noteB(Ω). On l’appelletribu des borélienssurΩ.

1 . c Espace probabilisé

Déf : Étant donné un ensembleΩet une tribuT sur Ω, on appelle mesure de probabilité psur (Ω,T)toute applicationp:T →Rtelle que

i ∀A∈ T, on a06p(A)61 ii p(∅) = 0; p(Ω) = 1

iii axiome de Σ−additivité : Pour toute suite (An)n∈N d’éléments deux à deux disjoints deT, la sérieP p(An)

n∈Nest convergente et p(

+∞

F

n=0

An) =

+∞

P

n=0

p(An).

Le triplet(Ω,T, p)est alors appeléespace probabilisé.

Déf : Rappel de vocabulaire : ensemble fondamental ou univers, épreuve, événement, événements contraires, incompatibles.

2 Cohérence avec les propriétés connues

Rappel des propriétés déjà vues en première année, mais généralisées aux espaces quelconques pourp(A∪B), p( ¯A). SiA⊂B, on ap(A)6p(B)etp(B\A) =p(B)−p(A).

Pas de question de cours cette semaine. Les exercices porteront sur les chapitres 1 et 2 ci-dessus ainsi que sur l’ensemble du programme de probabilités finies de première année, sauf variables aléatoires.

Les exercices sur les espaces probabilisés quelconques sont possibles mais se contenteront de notions basiques de manipulations d’événements (l’indépendance, les probas conditionnelles, les systèmes complets et quasi-complets dans le cadre général seront au programme de la semaine suivante.)

ATTENTION :

La maîtrise des tribus n’est pas un attendu du programme. Si le sujet est abordé dans un exercice, on se limitera donc à de petites questions très simples...

1