Espaces probabilisés
Exercice 1. Vrai ou faux ?
Dire si chaque affirmation est vraie (alors la prouver) ou fausse (donner un contre-exemple) : 1) Siest un univers et A; B alorsf?; ; A; A; B; Bg est une tribu sur.
2) Si=f1;2;3;4g, la tribu engendrée parf1g; f1;2g; f2;3g est égale àP().
3) SiP(A) +P(B) = 1 alorsB=A.
4) SiAetB sont deux évènements indépendants alorsP(A [ B) =P(A) +P(B).
5) SiP(A [ B) =P(A) +P(B) alorsAetB sont incompatibles.
6) Si (Ak)k2Nest un système complet d’évènements de probabilités non nulles alors pour tout évènement Ala sérieP
k2NP(A j Ak) est convergente.
Exercice 2. Tribu surN
Montrer queT =fX Ntq8 n 2 N; 2n 2 X ,2n+ 12 Xgest une tribu.
Exercice 3. Équité ?
On considère une société dont chaque individu peut avoir les caractéristiques suivantes : – il peut être bleu (probabilitép) ou rouge (probabilité 1 p) ;
– il peut être riche (probabilitéq) ou pauvre (probabilité 1 q) ;
On sait de plus que 70% des bleus sont riches et 70% des riches sont bleus. La richesse est-elle équitable- ment répartie entre les bleus et les rouges ?
Exercice 4. Probabilité des causes
On cherche un objet dans un meuble constitué de sept tiroirs. La probabilité qu’il soit effectivement dans ce meuble est p. Sachant qu’on a examiné les six premiers tiroirs sans succès, quelle est la probabilité qu’il soit dans le septième ?
Exercice 5. Probabilité des causes
1) Les familles françaises comportent deux enfants, chacun pouvant être un garçon ou une fille avec équiprobalbilité et indépendance entre les enfants. La famille Martin se promène au square et Monsieur Durand, assis plus loin sur un banc, constate qu’il y a un garçon. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit une fille ?
2) On noteA=fla famille Martin a au moins un garçong,B =fla famille Martin a au moins une filleg, C =fl’enfant qui marche en tête est un garçong, D =fl’enfant qui marche derrière est une filleg. CalculerP(B j A),P(D j C) et reconsidérer votre réponse en1.
3) Il a été constaté qu’un garçon est plus agité qu’une fille : la probabilité pour qu’un enfant coure dans tous les sens est 23 pour les garçons et seulement 13 pour les filles. Comme Monsieur Durand a la vue plutôt basse, il ne voit que les enfants agités et distingue seulement alors leur sexe. Sachant qu’il a vu un garçon, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit une fille ?
Exercice 6. Temps d’attente
On dispose d’un trouseau de nclés, une seule d’entre elles pouvant ouvrir la porte de l’appartement.
1) On essaie une clé au hasard, puis on recommence tant qu’on n’a pas trouvé la bonne clé. Les essais étant supposés indépendants et le choix d’une clé à chaque essai étant supposé uniforme, déterminer la probabilité qu’on trouve la bonne clé auk-ème essai et la probabilité qu’on ne trouve jamais la bonne clé.
2) Mêmes questions mais en supposant qu’à chaque nouvel essai on choisit uniformémént une clé autre que celle que l’on vient d’essayer.
3) Mêmes questions mais en supposant qu’à chaque nouvel essai on choisit uniformémént une clé autre que toutes celles que l’on a déjà essayé.
Exercice 7. Évènements
Soit (An)n2N une suite d’évènements dans un même espace probabilisé.
1) Montrer que les ensembles suivants sont des évènements :
A= « Il y a une infinité d’évènements parmi lesAnqui sont réalisés ».
B= « A partir d’un certain rang, tous lesAnsont réalisés ».
C= « Il n’y a jamais deux évènements consécutifs réalisés ».
2) On suppose lesAnmutuellement indépendants etP(An) = 12 pour toutn 2 N. CalculerP(A),P(B),P(C).
3) On suppose lesAnmutuellement indépendants etP(An) = 1=2n+1 pour toutn 2 N. CalculerP(A),P(B) et montrer sans la calculer que 0< P(C)<1.
4) Donner des exemples de telles suites (An).
Exercice 8. Temps d’attente
On lance une infinité de fois une pièce et on considère l’évènement Ak = « au cours des k premiers lancers, il n’est jamais sorti trois pile de suite » avec la conventionA0=.
1) En supposant les lancers mutuellement indépendants et la pièce équilibrée, montrer que P(Ak) =12P(Ak 1) +14P(Ak 2) +18P(Ak 3) pour k >3.
2) On note; ; les racines dansCdu polynômeX3 X2=2 X=4 1=8. Montrer, sans les calculer, que max(jj; jj; jj)<1 et en déduire limk!1P(Ak).
3) Reprendre l’exercice avec l’évènementBk= « au cours deskpremiers lancers, il n’est jamais sorti la séquenceP F P ».
4) SoitS une suite fixée dansfP; F gN. Montrer, sans calcul, qu’il est presque certain queSapparaît au moins une fois lors d’une infinité de tirages mutuellement indépendants, avecP etF de probabilité 12 à chaque lancer. Montrer qu’il est presque certain queS apparaît une infinité de fois dans les mêmes conditions ; et montrer enfin que ceci reste vrai pour toute pièce vérifiantP(P) =p 2]0;1[, les lancers étant toujours mutuellement indépendants.
Exercice 9. Équilibre
On lance une infinité de fois une pièce et on considère les ensembles de résultats suivants : An=fsur les 2n premiers lancers, il est apparu autant deP que deF g.
Bn=fsur les 2npremiers lancers, il est apparu pour la première fois autant deP que deF g. C=fsur l’ensemble des lancers, P et F sont arrivés à égalité au moins une foisg.
D=fsur l’ensemble des lancers, P et F sont arrivés à égalité une infinité de foisg. 1) Montrer que ce sont des évènements.
2) CalculerP(An) etP(Bn) pourn 2 N.
3) CalculerP(C). On distinguera les casp 6=q,p=q= 12. 4) CalculerP(D).
Exercice 10. Lemme de Borel-Cantelli
Soit (An)n2Nune suite d’évènements dans un même espace probabilisé. On noteA= « Il y a une infinité d’évènements parmi les Anqui sont réalisés ».
1) Montrer quePAest un évènement.
Exercice 13. Limite de probabilités
Soit (Pk)k2N une suite de probabilités sur N (avec la tribu P(N)). On suppose que pour tout entier n 2 N, la suite (Pk(fng)) est convergente, de limitepn2[0;1].
1) a)Montrer queP
n2Npn61.
b) Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que 1.
2) On suppose queP
n2Npn= 1 et on pose pourk; n 2 N: an;k = min(Pk(fng); pn).
a) Montrer queP
n2Nan;k !
k!11 et en déduire P
n2NjPk(fng) pnj !
k!10.
b) PourX N, montrer quePk(X) !
k!1
P
n2Xpn.
c) Prouver enfin que l’applicationX 7!limk!1(Pk(X)) est une probabilité surN. Exercice 14. P(kN) = 1=k?
On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité PsurNvérifiant : pour tout k 2 N, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité P soit divisible par k est égale à 1=k. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soitPune telle probabilité.
1) Montrer que si k1; : : : ; km sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènementsAi= «n est divisible parki » sont mutuellement indépendants.
2) Montrer que l’évènementA= «nn’est divisible par aucun facteur premier » est de probabilité nulle.
3) Généraliser et conclure.
Exercice 15. Permutation aléatoire
On veut tirer au hasard une permutation des entiers 1; : : : ; net on envisage les deux méthodes suivantes.
1) On fixe un entierN, et on tire 2N entiersi1; j1; : : : ; iN; jN 2[[1; n]] de manière uniforme et indépen- dante. On calcule alors= (i1 j1) : : : (iN jN) avec la convention (ik jk) = id si ik=jk.
a) Comment choisirN pour être sûr de pouvoir obtenir chaque permutation ?
b) Lorsque cette condition est remplie, permutation obtenue est-elle uniformément distribuée surSn? 2) On tire de manière uniforme et indépendante des entiersk12[[0;1]], k22[[0;2]],: : :,kn 12[[0; n 1]]
et on calcule= (1 2)k1(1 2 3)k2: : :(1 : : : n)kn 1. Peut-on ainsi obtenir toutes les permutations ? Sont-elles équiprobables ?
Exercice 16. Fonction, Mines-Ponts 2015 Soits 2]1;+1[ ets:
8<
:
P(N) ! [0;1]
A 7 ! 1 (s)
P
k2A 1
ks où(s) =P
k2N 1 ks. 1) Montrer ques est une probabilité.
2) Soitn 2 Net Anle sous-ensemble de N constiué des multiples den. Calculers(An).
3) Soit (`1; : : : ; `n; : : :) la suite des nombres premiers. Montrer que les évènementsA`1; : : : ; A`n; : : :sont mutuellement indépendants pour la probabilités.
4) En déduire que 1
(s) =Q1
i=1
1 1
`si
.
solutions
Exercice 1.
1) faux, ne contient parA [ B.
2) Vrai, elle contient tous les singletons.
3) Faux, prendreA=B de probabilité 12. 4) Faux lorsqueP(A)P(B)>0.
5) Faux,A \ Best négligeable.
6) Faux, prendreA=. Exercice 3.
P(richejbleu)p+P(richejrouge)(1 p) =q. La richesse est équitablement répartie ssiq= 70%.
Exercice 4.
Il manque l’information concernant les probabilités que l’objet soit dans un tiroir ou un autre sachant qu’il est dans le meuble. Supposons que ces probabilités sont égales à 1=7 et soient Ai l’évènement
« l’objet est dans le tiroiri » etB l’évènement « l’objet n’est pas dans le meuble ».
On a P(A7) =P(A7j B)p+P(A7j B)(1 p) =p=7 puisP(A7j A7[ B) = P(A7)
P(A7) +P(B) = p 7 6p. Exercice 6.
1) pk = (n 1)k 1=nk,p1= 0.
2) p1= 1=n,pk= (n 2)k 2=n(n 1)k 2pour k >2,p1= 0.
3) pk = 1=npour 16 k 6 n. Exercice 7.
1) A=T1
n=0(S1
k=nAk) ;B=S1
n=0(T1
k=nAk) ;C= n(S1
n=0(An\ An+1)).
2) P(S1
k=nAk) =P(An) +P(An\ An+1) +P(An\ An+1\ An+2) +: : := 1 doncP(A) = 1.
P(T1
k=nAk) = 0 doncP(B) = 0.
P(C)6 P(T1
n=0(A2n\ A2n+1)) = 0 doncP(C) = 0.
3) P(S1
k=nAk)6P1
k=nP(Ak) = 1=2ndoncP(A) = 0.
P(T1
k=nAk) = 0 doncP(B) = 0.
1
8 =P(A0\ A1)6 P(S1
n=0(An\ An+1))6P1
n=01=22n+3= 16.
4) Dans un jeu de pile ou face infini,An= « le lancer de rangn donne pile » ; A0n= « les lancers de rang 10n;10n+ 1; : : : ;10n+n donnent tous pile ».
Exercice 8.
1) Conditionner par le résultat des lancers de rangk 3; k 2; k 1.
2) Par étude de fonction, il existe une unique racine réelle 2]12;1[. Les deux autres racines sont non réelles conjuguées et jj=jj=p
1=8 < 12. P(Ak) est combinaison linéaire des suites (k), (k), (k) doncP(Ak) !
k!10.
3) En conditionnant par le nombrende pile consécutifs à la fin des klancers, on obtient Pk
Exercice 10.
1) A=T1
n=0(S1
k=nAk).
2) P(S1
k=nAk)6P1
k=nP(Ak) !
n!10.
3) 1 P(S1
k=nAk) = 1 P(An)+P(An\An+1)+P(An\An+1\An+2)+: : := (1 P(An))(1 P(An+1)): : : La série de terme général ln(1 P(An)) est divergente : grossièrement siP(An) ne tend pas vers zéro, sinon par équivalence siP(An) !
n!10. Donc le produit infini précédent est nul, ce qui suffit à conclure.
4) Tous lesAk égaux à un même évènement de probabilité 12. Exercice 12.
Soitpncette probabilité. En conditionnant par le résultat dun-ème lancer, on a (2n+ 1)pn= 1 + (2n 1)pn 1=: : := (n 1) + 3p1=n+ 1.
Exercice 13.
1) a)Passer à la limite dans une somme finie.
b) Pk(X) = 1 si k 2 X, 0 sinon.
2) a)PourNfixé,P
n6Nan;k !
k!1
P
n6Npnet pourkfixé,P
n6Nan;k !
N!1
P
n2Nan;k. Cette dernière convergence est uniforme par rapport à k car an;k 6 pn donc on peut intervertir les limites : P
n2Nan;k !
k!1
P
n2Npn= 1.
La deuxième convergence résulte de la relationjPk(fng) pnj=Pk(N) +pn 2an;k. b) jPk(X) P
n2Xpnj 6P
n2NjPk(fng) pnj. Exercice 14.
2) Q
ppremier(1 1=p) = 0.
3) De même, sip1; : : : ; pk sont premiers distincts alors
P(nn’a pas de diviseur premier en dehors dep1; : : : ; pk) = 0 et par union croissante : P(N n f1g) = 0, en contradiction avecP(2N) =12. Exercice 15.
1) a)La composée deN transpositions a au moinsn N orbites siN < net il existe des permutations à une seule orbite (les n-cycles) donc il faut N > n 1. Cette condition est suffisante, toute permutation denéléments peut être décomposée en au plusn 1 transpositions.
b) Non, la taille de l’univers estn2N qui n’est pas un multiple den! sin >3.
2) Oui.
Exercice 16.
2) 1=ns.
4) Les évènements contraires (k n’est pas divisible par `i) sont aussi mutuellement indépendants donc le produit de leurs probabilités est la probabilité de leur intersection qui est égale àf1g.
