Espaces Probabilisés

Prof. Mohamed El Merouani

Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de Mathématiques

2019/2020

Expérience aléatoire :

Les phénomènes liés au hasard ce sont des phénomènes si reproduits plusieurs fois, se déroulent différemment d’une expérience à l’autre et donnant un résultat imprévisible.

On dit d’une expérience qu’elle est aléatoire si son résultat ne peut être prévu à priori.

Espace fondamental :

L’ensemble de tous les résultats possibles, pour une expérience aléatoire donnée, est dit espace fondamental.

Il est noté Ω.

Un élément ω de Ω est dit "résultat élémentaire".

Événements :

On peut identifier un événement aléatoire A avec la partie de Ω dont tous les éléments réalisent A.

L’ensemble de tous les événements est l’ensemble de tous les sous-ensembles de Ω : P (Ω).

Card P (Ω) = 2 Card Ω

Tribu ou σ-algèbre :

Soit Ω un espace fondamental.

Une famille A de parties de Ω est une tribu (ou σ-algèbre), si :

1

Ω ∈ A.

2

∀A ∈ A, A ^c ∈ A.

3

∀(A _n ) n∈ N suite d’événements de A, S

n∈ N A _n ∈ A.

Le couple (Ω, A) s’appelle un espace probabilisable.

Tribu ou

Conséquences :

1

∅ ∈ A.

2

∀(A _n ) n∈ N suite d’événements de A, \

n∈ N

A _n ∈ A.

Preuve :

1

Ω ∈ A, et comme A est stable par complémentaire, alors Ω ^c = ∅ ∈ A.

2

(A n ) n∈ N ∈ A donc ∀n ∈ N, A n ∈ A, d’où [

n∈ N

A ^c _n = ( \

n∈ N

A _n ) ^c ∈ A, par suite \

n∈ N

A _n ∈ A.

Définition :

Soit (Ω, A) un espace probabilisable.

On appelle probabilité (ou mesure de probabilité) toute mesure P sur A telle que P (Ω) = 1.

On dit que le triplet (Ω, A, P ) est un espace probabilisé.

Une mesure sur A :

C’est une fonction d’ensemble positive, non identiquement égale à +∞, σ-additive sur A :

Pour toute suite (A n ) n≥1 d’éléments de A deux à deux disjoints, dont la réunion [

n≥1

A n ∈ A, on a :

P

∞

[

i=1

A i

!

=

∞

X

i=1

P (A i ).

P (Ω) = 1.

Remarque :

Si P est une probabilité, observons que P est à valeurs dans [0, 1]

puisque pour tout événement A, P (A) ≤ P (Ω) = 1.

De plus, P (∅) = 0 Propriétés :

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.

Soient A, B et A n , ∀n ∈ N des événements de A, alors :

1

A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)

2

P (A ^c ) = 1 − P (A)

3

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P(A ∩ B)

4

Si (A _n ) _n est une suite croissante, ou décroissante, d’événements alors P ( lim

n→∞ A _n ) = lim

n→∞ P(A _n )

Propriétés :

5

P ( [

n∈ N

A _n ) ≤ X

n∈ N

P (A _n )

6

Pour tout n ∈ N , on a :

n

X

i=1

P(A i ) −

n

X

i<j

P (A i ∩ A j ) ≤ P(

n

[

i=1

A i ) ≤

n

X

i=1

P (A i )

( Inégalité de Bonferroni) Preuve :

1

A ⊂ B ⇒ B = A ∪ (B ∩ A ^c )

⇒ P (B) = P (A) + P (B ∩ A ^c )

⇒ P (B) ≥ P (A)

Propriétés :

Preuve :

2

P (A ∪ A ^c ) = P (Ω) = 1 = P (A) + P (A ^c )

⇒ P (A ^c ) = 1 − P (A)

3

A ∪ B = A ∪ (A ^c ∩ B) ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (A ^c ∩ B) mais, B = (A ∩ B ) ∪ (A ^c ∩ B )

donc P (B) = P (A ∩ B) + P(A ^c ∩ B ) d’où P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P(A ∩ B )

4

Soit (A _n ) n≥1 une suite croissante d’événements, donc A n ⊂ A n+1 , ∀n ≥ 1

alors lim

n→+∞ A _n =

∞

[

n=1

A _n On a :

∞

[

n=1

A n = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ · · · ∪ A n ∪ A n+1 ∪ · · ·

= A 1 ∪ (A 2 − A 1 ) ∪ (A 3 − A 2 ) ∪ · · · ∪ (A n+1 − A n ) ∪ · · ·

Propriétés :

Preuve : alors : P (

∞

[

n=1

A n ) = P (A 1 )+P (A 2 −A ₁ )+P (A 3 −A ₂ )+· · ·+P (A n+1 −A _n )+· · · (car les événements A ₁ , A ₂ − A ₁ , A ₃ − A ₂ , · · · sont deux à deux

incompatibles) et P (

∞

[

n=1

A n ) = P ( lim

n→+∞ A n ) =

= lim

n→+∞ [P (A ₁ ) + P(A ₂ − A ₁ ) + P (A ₃ − A ₂ ) + · · · + P (A _n+1 − A _n )]

= lim

n→+∞ P (A _n ) (car A _n = A ₁ ∪ (A ₂ − A ₁ ) ∪ · · · ∪ (A _n − A n−1 ))

Propriétés :

Preuve :

• Soit (A _n ) n≥1 une suite décroissante d’événements, donc A _n+1 ⊂ A _n , ∀n ≥ 1, alors lim

n→+∞ A _n =

+∞

\

n=1

A _n .

Les événements (Ω − A ₁ ); (A ₁ − A ₂ ); (A ₂ − A ₃ ); · · · sont deux à deux incompatibles et leur réunion vaut T +∞

n=1 A n . d’où P ( T +∞

n=1 A _n ) = P (Ω − A ₁ ) + P (A ₁ − A ₂ ) + P (A ₂ − A ₃ ) + · · · On peut écrire : P ( T +∞

n=1 A n ) =

lim n→+∞ [P (Ω − A 1 ) + P (A 1 − A 2 ) + P (A 2 − A 3 ) + · · · P (A n−1 − A n )]

Comme (Ω − A ₁ ) ∪ (A ₁ − A ₂ ) ∪ (A ₂ − A ₃ ) ∪ · · · ∪ (A n−1 − A _n ) = A _n On en déduit P( T +∞

n=1 A n ) = lim n→+∞ P (A n ) et comme P (A _n ) = 1 − P(A _n ) et P ( T +∞

n=1 A _n ) = 1 − P( T +∞

n=1 A _n ), alors

P (lim n→+∞ A _n ) = lim n→+∞ P(A _n )

Propriétés :

Preuve :

Autre méthode :

(A n ) n suite décroissante ⇔ (A ^c _n ) n suite croissante donc lim

n→+∞ P (A ^c _n ) = P ( lim

n→+∞ A ^c _n )

⇒ lim

n→+∞ (1 − P(A n )) = P (

+∞

[

n=1

A ^c _n ) = P (

+∞

\

n=1

A n )

= 1 − P (

+∞

\

n=1

A _n )

⇒ 1 − lim

n→ P (A n ) = 1 − P ( lim

n→+∞ A n )

⇒ lim

n→+∞ P (A _n ) = P ( lim

n→+∞ A _n )

Propriétés :

Preuve :

5

Comme A ∪ B = A ∪ (B − A) alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B − A)

Comme (B − A) ⊂ B, alors d’après (1) P (B − A) ≤ P (B ) par suite P (A ∪ B ) ≤ P (A) + P(B)

et plus généralement P ( S n

k=1 A _k ) ≤ P n

k=1 P (A _k ) Soit A = S +∞

n=1 A _n = lim n→+∞ S n k=1 A _k d’après (4) P (A) = lim

n→+∞ P (

n

[

k=1

A _k ) ≤ lim

n→+∞

n

X

k=1

P (A _k )

≤

∞

X

k=1

P (A k ) = X

n

P (A n )

Propriétés :

Preuve :

6

Inégalité de Bonferroni :

n

X

i=1

P(A i ) −

n

X

i<j

P (A i ∩ A j ) ≤ P(

n

[

i=1

A i ) ≤

n

X

i=1

P (A i )

Dém. par récurrence ;

n = 2, P (A) + P(B) − P (AB) ≤ P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B) (déjà vue)

n = 3, P ( S 3

i=1 A i ) = P 3

i=1 P (A i ) − P 3

i<j P (A i A j ) + P (A 1 A 2 A 3 ) donc P ( S 3

i=1 A i ) ≥ P 3

i=1 P(A i ) − P 3

i<j P (A i A j )

(car P (A ₁ A ₂ A ₃ ) ≥ 0).

Propriétés :

Preuve :

Supposons qu’elle est vraie pour n − 1, P (

n

[

i=1

A _i ) = P (

n−1

[

i=1

A _i ∪ A _n )

= P(

n−1

[

i=1

A i ) + P (A n ) − P (

n−1

[

i=1

(A i ∩ A n )) Donc

P ( S n

i=1 A i ) ≥ P n−1

i=1 P (A i )− P n−1

i<j P (A i A j )+P (A n )−P ( S n−1

i=1 (A i ∩A _n ))

⇒ P (

n

[

i=1

A _i ) ≥

n

X

i=1

P (A _i ) −

n−1

X

i<j

P (A _i A _j ) −

n−1

X

i=1

P (A _i ∩ A _n )

⇒ P (

n

[

i=1

A i ) ≥

n

X

i=1

P (A i ) −

n

X

i<j

P(A i ∩ A j )

C.Q.F.D.

Inégalité de Boole :

P (A ∩ B) ≥ 1 − P (A ^c ) − P (B ^c ) Pour tout A et B événements.

Preuve :

P (A ∪ B ) = P (A) + P(B) − P (A ∩ B) ≤ 1

⇔ P (A) + P(B) ≤ 1 + P (A ∩ B)

⇔ 1 − P (A ^c ) + 1 − P(B ^c ) ≤ 1 − P(A ∩ B )

⇔ 1 − P (A ^c ) − P(B ^c ) ≤ P (A ∩ B)

Définition :

Définition :

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé et soit B ∈ A avec P (B) > 0. On définie la probabilité conditionnelle par :

P (A/B) = P _B (A) = P (A ∩ B) P (B)

L’espace (Ω, A, P _B ) est bien un espace probabilisé ; P B (.) = P(./B) est bien une probabilité.

Preuve :

1

0 ≤ P B (A) ≤ 1; ∀A ∈ A

2

P B (Ω) = ^P(B∩Ω) _{P (B)} = ^P _P ^(B) _(B) = 1

3

P _B (∪ ^∞ _i=1 A _i ) = ^{P (B∩(∪} _{P (B)}

^A

⁾⁾ =

P

i=1

P (B∩A

)

P (B) = P ∞

i=1 P _B (A _i )

Remarque :

Soit A 1 , A 2 ∈ A avec P (A 1 ) > 0 et P (A 2 ) > 0. Alors : P (A 1 ∩ A 2 ) = P(A 1 /A 2 )P (A 2 ) = P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) Théorème :

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.

Soit A 1 , A 2 , · · · , A n ∈ A avec P (∩ ⁿ⁻¹ _i=1 A i ) > 0 alors :

P (∩ ⁿ _i=1 A _i ) = P (A ₁ )P (A ₂ /A ₁ )P (A ₃ /A ₁ A ₂ ) · · · P (A _n / ∩ ⁿ⁻¹ _i=1 A _i ) Preuve :

• On a : A ₁ ⊃ A ₁ A ₂ ⊃ · · · ⊃ T n−2

i=1 A _i ⊃ T n−1 i=1 A _i et comme P ( T n−1

i=1 A _i > 0

alors P (A 1 ) > 0; P (A 1 A 2 ) > 0; · · · ; P ( T n−2

i=1 A i ) > 0 Donc P(A _k / T k−1

i=1 A i ) sont bien définies (k = 2, · · · , n).

Preuve :

• (Par récurrence)

Pour n = 2 (c’est la définition)

Supposons la formule est vraie pour n − 1 événements et démontrons qu’elle est vraie pour n.

P(

n

\

i=1

A i ) = P (

n−1

\

i=1

A i ) ∩ A n

!

= P (

n−1

\

i=1

A i )P A n /

n−1

\

i=1

A i

!

= P (A ₁ P (A ₂ /A ₁ ) · · · P A n−1 /

n−2

\

i=1

A _i

!

P A _n /

n−1

\

i=1

A _i

!

Théorème des probabilités totales : Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.

Soit (B n ) n∈ N un système complet d’événements (une partition de Ω : i.e. S

n B _n = Ω et B _i ∩ B _j = ∅, ∀i 6= j) tels que P (B _n ) > 0; ∀n ∈ N . Pour tout A ∈ A, on a : P (A) = P

n P(B n ).P (A/B n ) Preuve :

Comme A = A ∩ Ω = A ∩ ( S

n B _n ) = S

n (A ∩ B _n ) avec (A ∩ B i ) ∩ (A ∩ B j ) = ∅, pour i 6= j

On a : P (A) = P ( S

n (A ∩ B n ) = P

n P (A ∩ B n )

= X

n

P (B n ).P (A/B n )

Théorème de Bayes :

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.

Soit (B n ) n une suite d’évènements disjoints de A tels que P(B n ) > 0 ; n = 1, 2, . . . et ∪ ^∞ _n=1 B n = Ω. Soit A ∈ A avec P (A) > 0, alors :

P (B j /A) = P (B _j )P (A/B _j ) P ∞

i=1 P (B i ).P (A/B i ) ; j = 1, 2, . . . Preuve :

On a : ∀j, P (B j /A) = ^P(B _P(A)

^∩A) = ^{P (B}

_P(A) ^{)P (A/B}

⁾ D’après la formule des probabilités totales, on a :

P (A) =

+∞

X

i=1

P (B _i )P (A/B _i )

et alors, on obtient le résultat énoncé.

Indépendance deux à deux :

Définition :

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.

Deux événements A et B sont dits indépendants si : P (A ∩ B) = P (A)P (B) Conséquence :

Si P (A) > 0 et P (B) > 0, les évènements A et B sont indépendants si, et seulement si, P(A/B) = P (A) ou P (B/A) = P (B).

La réalisation de l’un des événements A ou B n’a aucune influence sur la réalisation de l’autre.

Remarque :

Soit B un événement quelconque et A un énénement tel que P (A) = 0.

Comme A ∩ B ⊂ A, alors P(A ∩ B) = 0 et P (A).P (B) = 0.

Donc, les événements A et B sont indépendants.

Indépendance deux à deux :

Remarque :

Deux événements incompatibles A et B (avec P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0) ne sont pas indépendants.

En effet ; P (A)P(B) > 0 alors que P (A ∩ B) = 0.

Proposition :

Si A et B sont deux événements indépendants, alors :

1

A et B indépendants.

2

A et B indépendants.

3

A et B indépendants.

Indépendance deux à deux :

Preuve :

1

On a : P(A ∩ B) = P(A − AB) = P (A) − P(AB)

(car en général P (E − F ) = P (E ) − P (E ∩ F ) et si F ⊂ E alors P (E − F ) = P (E) − P(F ))

= P (A) − P (A)P (B) (car A et B sont indépendants)

= P (A)[1 − P (B)]

= P (A)P (B)

2

(Analogue ou par changement de rôles de A et de B !)

3

On a : P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B )

= 1 − P (A) − P (B ) + P (A ∩ B) = 1 − P (A) − P (B) + P(A).P (B) (car A et B sont indépendants)

= P (A) − P (B)[1 − P(A)] = P(A) − P (B)P (A)

= P (A)[1 − P (B)] = P (A).P (B )

Indépendance dans l’ensemble :

Définition :

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.

Les évènements A ₁ , A ₂ , · · · , A _n sont dits indépendants (ou indépendants dans leur ensemble) si pour toute partie {i ₁ , · · · , i k } ⊂ {1, · · · , n} on a : P (A _i

A _i

· · · A _i

) = P (A _i

)P(A _i

) · · · P (A _i

); k = 2, 3, . . . , n

Dans le cas de trois évènements A, B et C, on a : A, B, C sont indépendantes (dans leur ensemble) si, et seulement si,

P (AB) = P (A)P(B)

P(AC) = P (A)P(C)

P(BC) = P (B)P(C)

P (ABC) = P (A)P(B)P (C)

Remarque :

L’indépendance dans l’ensemble implique l’indépendance deux à deux.

Mais, la réciproque n’est pas vraie.