Espaces probabilisés
0 Rappels de permière année
0.1 Appartenance et inclusion
Nous considérerons un ensembleE comme l'idée intuitive d'un regroupement d'objets mathématiques qui sont alors ses éléments.
Axiome 0.1.1. [axiome d'extension : égalité entre ensembles]
Soient E et F deux ensembles, alors E et F sont égaux si et seulement s'ils possèdent exactement les mêmes éléments : 8x;(x2E,x2F).
Définition 0.1.2. inclusion
SoientE etFdeux ensembles. On dit queE est inclus dansFet on note EF(ouEF) si tout élément de Eest aussi élément de F: 8x;(x2E)x2F). On dira aussi que FcontientE ou queEest une partie de F.
Attention :Ne pas confondre inclusion et appartenance.
Théorème 0.1.3. [inclusion et égalité entre ensembles]
Deux ensemblesE etFsont égaux si et seulement si EFetFE.
En pratique :
1. Pour montrer queEF, on commencera généralement par : Soitx2E, montrons quex2F. 2. On raisonnera souvent par double inclusion pour montrer que deux ensembles sont égaux.
Définition 0.1.4. ensemble des parties
SoitEun ensemble. L'ensemble des parties deEest notéP(E). Pour tout ensembleA, on aA2 P(E),AE.
0.2 Opérations sur les ensembles
Définition 0.2.1. réunion, intersection SoientA; B deux ensembles.
¡ La réunion A[B deA et deB est l'ensemble des xtels que x2Aoux2B.
¡ L'intersectionA\BdeA et deB est l'ensemble desxtels que x2A etx2B.
SoitIun ensemble et fAiji2Ig une famille d'ensembles.
¡ La réunion S
i2IAiest l'ensemble des xtels que : 9i2I ; x2Ai .
¡ L'intersection T
i2IAiest l'ensemble des xtels que : 8i2I ; x2Ai. Définition 0.2.2. ensembles disjoints
Deux ensemblesE etFsont dits disjoints si E\F=?. Définition 0.2.3. partition d'un ensemble
On dit qu'une famille (Ai)i2I de parties non vides d'un ensembleE est une partition deE lorsque : i. S
i2IAi=E
ii. 8i; j2I ; i=/ j)Ai\Aj=?
Théorème 0.2.4. [distributivité de la réunion et de l'intersection]
Soient fAigi2Iun ensemble d'ensembles et B un ensemble. Alors : [
i2I
Ai
!
\B=[
i2I
(Ai\B) et \
i2I
Ai
!
[B=\
i2I
(Ai[B)
Définition 0.2.5. différence, complémentaire
SoientAetBdeux ensembles. On appelle différence deB dansA, notéeAnB, l'ensemble desxtels que :x2A etx2/B.
SoitA une partie d'un ensemble E. L'ensemble E nAest appelé complémentaire de A dansE et est noté Ac ouA lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté.
Théorème 0.2.6. [relations de De Morgan]
Soit fAigi2I un ensemble de parties d'un ensembleE.
[
i2I
Ai
!c
=\
i2I
Aic et \
i2I
Ai
!c
=[
i2I
Aci
Remarque. faire le lien avec les lois de De Morgan pour le calcul propositionnel.
Exemple. Montrer que [a; b] =T
n2N
a¡1n; b+1n
0.3 Ensembles finis
We hold these truths to be self-evident
Il n'est pas nécessaire de connaître ni de lire les démonstrations de ce paragraphe. Il suffit que les résultats vous semblent suffisamment intuitifs.
Notation 0.3.1.Pour tousm; n2Ztels quem6n, on noteJm; nKl'ensemble des entiers compris entremetn.
Définition 0.3.2. Ensembles finis
Un ensemble Eest dit fini lorsqu'il existe n2Ntel que Esoit en bijection avec J1; nK. Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini.
Remarque. J1;0K=?
Lemme 0.3.3. Soientm; n2Ntels que J1; nKet J1; mKsoient en bijection. Alorsm=n
Démonstration. Montrons par récurrence surn2Nla proposition(Hn): sim2Nest tel queJ1; nKetJ1; mK sont en bijection, alors m=n.
- initialisation :?n'est en bijection avec aucun ensemble non vide. Donc(H0)est vraie.
- hérédité : soitn2Ntel que (Hn)et soientm2Net ':J1; n+ 1K!J1; mKbijective.
Si '(n+ 1) =m alors'induit une bijection deJ1; nKsurJ1; m¡1Ket, par (Hn),n=m¡1 doncn+ 1 =m.
Sinon, soittl'involution qui échangemet '(n+ 1)et laisse invariants les autres éléments deJ1; mK. C'est une bijection, ainsi que '~ =t':J1; n+ 1K!J1; mKet '~(n+ 1) =m. On est donc ramené au cas précédent.
Définition 0.3.4. Cardinal d'un ensemble fini
LorsqueE est fini, il existe un uniquen2Ntel queE soit en bijection avec J1; nK. Cet entier est alors appelé cardinal deE. On le note Card(E)ou jEj ou #E.
Démonstration. SiE est simultanément en bijection avec J1; nKet J1; mK, alors ces deux ensembles sont en
bijection. Doncm=nd'après le lemme précédent.
Proposition 0.3.5. [partie d'un ensemble fini]
SiFest une partie d'un ensemble fini EalorsFest finie et Card(F)6Card(E).
Si, de plus,Card(F) =Card(E) alorsF=E.
Démonstration. Montrons-le par récurrence sur le cardinalndeE - sin= 0alorsF=E=?, le résultat est clair.
- hérédité : soitn2Net supposons le résultat vrai pour tout ensemble de cardinaln. Soit alorsE de cardinal n+ 1et F une partie deE.
Ou bienF=E etCard(F) =Card(E)
Ou bien il existe e2EnF et donc F En feg où Card(En feg) =n (comme dans le lemme, si ' est une bijection deJ1; n+ 1Ksur E, on peut supposer, quitte à composer par une transposition, que '(n+ 1) =eet '(J1; nK) =Enfeg).
On applique l'hypothèse de récurrence et doncF est fini etCard(F)6n <Card(E).
Proposition 0.3.6. [applications entre deux ensemble de même cardinal]
SiEetFsont deux ensembles finis de même cardinal et sifest une application deEdansFalors les assertions suivantes sont équivalentes :
i. fest injective ii. fest surjective iii. fest bijective
Démonstration. Il suffit de prouveri:)ii: et i:)iii:
Sif est injective alorsf(E)est une partie deF en bijection avecEdonc de cardinalCard(E) =Card(F). Donc, par0.3.5,f(E) =F et f est bijective.
Sifest surjective, soit':J1; nK!Fune bijection et soit, pour touti2J1; nK,xi2f¡1(f'(i)g). Alors l'application g:E!F, définie par g('(i)) =xi est injective, donc bijective. De plus f g =IdE donc f =g¡1 et f est
bijective.
Proposition 0.3.7. [cardinal d'une réunion]
SoientE etFdeux ensembles finis, alorsE[Fest fini et :
Card(E[F) =CardE+CardF¡Card(E\F) En particulier, siE etFsont disjoints :
Card(E[F) =CardE+CardF Démonstration.
Supposons d'abordE et F disjoints :
soient ':E!J1; nKet :F!J1; pKdeux bijections. On définit :E[F!J1; n+pKde la manière suivante : si x2E,(x) ='(x)et, si y2F,(y) = (y) +n. Alorsest bien définie et bijective. DoncCard(E[F) =n+p.
Cas général :
l'ensemble E est la réunion disjointe de E\F et de EnF donc CardE=Card(E\F) +Card(EnF) et, de même,CardF=Card(E\F) +Card(FnE). CommeE[F est la réunion disjointe deEet deFnE, on obtient Card(E[F) =CardE+Card(FnE) =CardE+CardF¡Card(E[F).
Corollaire 0.3.8. [cardinal du complémentaire]
SoitA une partie d'un ensemble finiE. Alors Card(EnA) =CardE¡CardA.
Proposition 0.3.9. [cardinal d'un produit cartésien]
SiE etFsont deux ensembles finis, alors EFest un ensemble fini de cardinal CardECardF.
Démonstration. Soient ':E!J1; nKet :F!J1; pK deux bijections. Alors:EF!J1; n pKdéfinie par
(x; y) =p('(x)¡1) + (y)est une bijection.
Corollaire 0.3.10. SiE est fini, alors, pour toutn2N,En est fini de cardinal (CardE)n.
Démonstration. Par récurrence surnà l'aide de la proposition précédente.
Corollaire 0.3.11. [cardinal de l'ensembleFEdes applications de EdansF]
Soient E et F deux ensembles finis. Alors l'ensemble des applications de E dans F est fini de cardinal (CardF)CardE.
Démonstration. Soitn=CardE. PosonsE=fx1; :::; xng. A toute fonction f:E!F, on associe le n-uplet '(f) = (f(x1); :::; f(xn))de Fn. L'application ':FE!Fn est bijective. Donc CardFE=Card(FCardE) =
(CardF)CardE.
Rappels de permière année 3
Corollaire 0.3.12. [cardinal deP(E)]
SiE est un ensemble fini, alorsP(E)est fini de cardinal 2CardE.
Démonstration. L'application ':P(E)! f0;1gE définie, pourA2 P(E), par '(A) =1A:x7!10sisixx22/AA est
une bijection. (1Aest appelée fonction indicatrice deA)
0.4 Dénombrements
Proposition 0.4.1. [principe des bergers]
Si un ensembleEpossède une partition enpsous-ensembles contenant chacunréléments, alorsEcontientpr éléments.
Démonstration. récurrence surp, ou bien à partir de la proposition0.3.9.
En pratique : Utilisation d'un arbre de dénombrement
Exercice 0.4.1.Un étudiant s'habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d'habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce jour-là dans l'armoire5pantalons dont2noirs,6tee-shirts dont4noirs,8paires de chaussettes, dont5paires noires.
1. Combien y-a-t-il de façons de s'habiller?
2. Combien de façons de s'habiller :
¡. tout en noir ;
¡. de façon qu'une seule pièce soit noire sur les trois . Définition 0.4.2. p-listes
SoitEun ensemble etpun entier naturel non nul. On appelle p-liste, oup-uplet, d'éléments deEtout élément (x1; :::; xp)deEp.
Remarque. On considérera les p-listes d'éléments distincts deE, c'est-à-dire dont les composantes x1; :::; xp
sont deux à deux distinctes. Une tellep-liste est aussi appelée arrangement à péléments de E.
Proposition 0.4.3. [nombre de p-listes d'éléments distincts]
SoitEun ensemble fini de cardinalnet soitp2J1; nK. Alors le nombre dep-listes d'éléments distincts deEest
n!
(n¡p)!. C'est aussi le nombre d'injections de tout ensembleFde cardinalpdansE.
Démonstration. PosonsF=fx1; :::; xpg.
SoitI(F ; E)l'ensemble des injections deF dansE, alors ':I(F ; E)!Ep, f7!(f(x1); :::; f(xp))est injective et son image est formée desp-listes d'éléments distincts deE. Ce qui prouve la seconde partie de l'énoncé.
Pour la première partie, récurrence sur p:
- si p= 1, la donnée d'une 1-liste est la donnée d'un élément de E. Donc le nombre de 1-listes estn=(nn!¡1)!. - soit p6n¡1 pour lequel le résultat est vrai. La donnée d'une(p+ 1)-liste de E est la donnée d'unep-liste suivie d'un desn¡péléments restants deE. Par le lemme des bergers, le nombre de(p+ 1)-listes d'éléments distincts deE est(n¡p)(nn!¡p)!=(n¡n!p¡1)!. D'où l'hérédité.
Corollaire 0.4.4. [nombre de permutations]
Le nombre de permutations d'un ensemble fini Ede cardinalnest n!.
Démonstration. Une permutation deEest par définition une bijection deEdansE. Par la proposition0.3.6, toute injection deEdansEest bijective. Donc, par le résultat ci-dessus avec p=n, le nombre de permutations
deE estn!.
Définition 0.4.5. Combinaisons
Si Eest un ensemble fini à néléments et si p2J0; nK, on appelle combinaison àpéléments de Etoute partie de cardinalpde E.
Proposition 0.4.6. [nombre de combinaisons]
Si Eest un ensemble fini à néléments et si p2J0; nK, le nombre de combinaisons àpéléments de Eest noté
n p
(pparmin). Il vaut p! (nn!¡p)!.
Démonstration. SoitCpl'ensemble des combinaisons àpéléments deE.
L'ensembleApdesp-listes d'élements distincts deEpossède une partition dont chaque sous-ensemble est celui des p-listes constituées des mêmespéléments deE. A chacun de ces sous-ensemble de la partition correspond donc une unique combinaison de péléments deE.
Réciproquement, à chaque combinaison fx1; :::; xpg de E correspond exactement un des sous-ensembles de la partition. De plus, chacun deuxp-liste deEsont dans le même sous-ensemble si et seulement si elles sont égales à une permutation près. Donc, par0.4.4, chaque sous-ensemble possède p! p-listes.
Par le principe des bergers,CardAp=p!CardCpdoncCardCp=Cardp!Ap=p! (nn!¡p)! par0.4.3.
Exercice 0.4.2.
1. Montrer que l'ensembleS(p; n)des fonctions strictement croissantes deJ1; pKdansJ1; nKest en bijection avec l'ensemble des parties àpéléments deJ1; nK. Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes deJ1; pKdansJ1; nK? 2. Montrer que l'application, définie par(f):k7!f(k) + (k¡1)est une bijection de l'ensembleC(p; n)des fonctions
croissantes deJ1; pKdansJ1; nK sur l'ensembleS(p; n+p¡1) des fonctions strictement croissantes deJ1; pKdans J1; n+p¡1K.
3. En déduire le nombre d'applications croissantes de deJ1; pKdansJ1; nK.
4. Combien y a-t-il de quintuplets(n1; :::; n5)2(N)5tels queP
i=1
5 ni=50? On pourra considérer les quintuplets(s1; :::; s5) définis parsk=n1++nk.
5. Combien y a-t-il de quintuplets(n1; :::; n5)2N5tels queP
i=1 5 ni=50?
6. Dans l'ancienne formule du Loto il fallait choisir 6 numéros parmi 49.
a. Combien y a-t-il de grilles possibles ?
b. Combien de grilles comportent 2 nombres consécutifs ?
1 Ensembles dénombrables
Remarque. Un ensemble qui n'est en bijection avec aucun ensembleJ1; nK, oùn2N, est dit infini. Attention : deux ensembles infinis ne sont pas nécessairement en bijection l'un avec l'autre.
Définition 1.0.1. Ensembles dénombrables
Un ensemble est dit dénombrable lorsqu'il est en bijection avec N.
Proposition 1.0.2. [partie d'un ensemble fini ou dénombrable]
Une partieF d'un ensembleE fini ou dénombrable est finie ou dénombrable.
Démonstration. SiE est fini, toute partie deE est finie. Sinon, il suffit de le prouver pourE=N. Soit donc F une partie infinie deN. Construisons par récurrence les images1.0.1d'une bijection 'deNsurF.
initialisation :commeFest une partie non vide deN,Fpossède un plus petit élémentn0et posons'(0) =n0. hérédité : supposonsn0; :::; nk déjà construits et posons '(k+ 1) =nk+1=min(Fnfn0; :::; nkg), bien défini carFnfn0; :::; nkg=/?.
L'application ':N!F ainsi construite est strictement croissante donc injective.
Par récurrence immédiate et par stricte croissance deNdansN, pour toutn2N, '(n)>n. Soit doncm2F. Commemin(Fnfn0; :::; nmg) ='(m+ 1)> m, alorsm2/Fnfn0; :::; nmg doncm2 fn0; :::; nmg='J0; mKsoit
m2'(N). Donc 'est surjective.
Conséquence :siE est fini où dénombrable, il existe une fonction u:N!E surjective. On peut donc écrire E=fun; n2Ng(où les un ne sont pas nécessairement distincts).
Réciproquement, un tel ensemble est nécessairement fini ou dénombrable : l'application ': E ! N; x 7!
minu¡1(fxg)est injective donc induit une bijection deE sur le sous-ensemble '(E)deN.
1.0.1. Strictement parlant, on n'a construit que chacune des images'(n)de ', ce qui ne suffit pas pour prouver l'existence de l'objet mathématique'. Mais ceci nous mènerait au-delà des limites du programme et nous admettrons que cela suffit.
Ensembles dénombrables 5
Exemple. Zest dénombrable. L'applicationu:N!Z; n7!
(
p si n= 2p
¡p si n= 2p¡1 est bijective.
Proposition 1.0.3. Le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est dénombrable.
Démonstration. SoientE et F dénombrables et '; deux bijections deNrespectivement surE et F. Notons, pour (i; j)2N2, (i; j) =aij= ('(i); (j)). L'applicationest clairement une bijection de N2 dans EF. Il suffit donc de montrer queN2est dénombrable.
¡ 1ère méthode : à l'aide du tableau suivant que l'on remplit diagonalement :
jni 0 1 2 n
0 0 2 5 n(n2+ 1)+n
1 1 4
2 3
n n(n2+ 1)
C'est à dire que l'on pose f(i; j) =i+P
k=1
i+jk=i+(i+j) (i2+j+ 1). On peut alors montrer que f est bijective1.0.2.
¡ Autre méthode : L'application(i; j)7!2i3j est injective deN2dansN. Son image est une partie deN
non finie donc dénombrable.
Corollaire 1.0.4. Q est dénombrable
Démonstration. Tout rationnel rpeut s'écrire de façon unique sous la forme pr
qr où pr2Z et qr2N sont premiers entre eux. L'application:r7!(pr; qr)est donc une injection deQdansZNqui est dénombrable par1.0.3. Comme Qest infini, il est donc dénombrable car en bijection avec le sous-ensemble infini (Q)de
ZN.
2 Espace probabilisé
2.1 Définitions
Définition 2.1.1. Univers, tribu
Soit un ensemble. On dit qu'une partieT deP() est une tribu sur lorsque :
i. 2 T
ii. pour toutA2 T,A = nA est élément deT.
iii. pour tout suite (An)n2N d'éléments deT, la réunion S
n2NAiest élément de T. L'ensemble est alors appelé l'univers et les éléments de Tsont les événements.
Le couple (;T)est appelé espace probabilisable.
Remarque. On en déduit en passant aux complémentaires (par ii:) que ? 2 T et que, pour tout suite (An)n2Nd'éléments de T, T
n2NAn2 T. De plus, siA; B2 T,AnB=A\B2 T et la différence symétrique AB= (A[B)n(A\B)est aussi dansT.
Des événements disjoints seront dits incompatibles.
Définition 2.1.2. Probabilité
Si est un ensemble etTest une tribu sur , on appelle probabilité sur (;T)toute applicationP:T ![0;1]
telle que : i. P() = 1
1.0.2. La fonctionfest la fonction de couplage de Cantor (1845-1918)
ii. -additivité : pour toute suite(An)n2Nd'événements incompatibles, la sérieP
n>0P(An)est convergente etP(S
n=0
+1An) =P
n=0 +1P(An).
Le triplet (;T; P) est alors appelé espace probabilisé.
Proposition 2.1.3.Si =fxk; k2Ngoù lesxksont distincts et si(pk)k2Nest une suite de réels positifs ou nuls tels que P
k=0
+1pk= 1, alors poser pour toutk2N,P(fxkg) =pkpermet de définir une probabilité sur (;P()).
Proposition 2.1.4. [premières propriétés d'une probabilité]
SoientA; B deux événements d'un espace probabilisé (;T; P).
i. SiA\B=? alorsP(A[B) =P(A) +P(B).
ii. P(nA) = 1¡P(A). En particulierP(?) = 0.
iii. monotonie : siAB, alorsP(A)6P(B).
iv. additivité forte : P(A) +P(B) =P(A[B) +P(A\B).
Proposition 2.1.5. [propriétés d'une probabilité]
Soit (;T; P)un espace probabilisé et (An)n2Nest une suite deT. i. continuité croissante : si, pour toutn2N,AnAn+1, alors :
n!lim+1P(An) =P [
n=0 +1
An
!
ii. continuité décroissante : si, pour toutn2N,An+1An, alors :
n!lim+1P(An) =P \
n=0 +1
An
!
iii. sous--additivité : si la série P
n>0P(An)converge, alors :
P [
n=0 +1
An
! 6X
n=0 +1
P(An) Démonstration.
i. NotonsA¡1=?et considérons la famille(AnnAn¡1)n2N.
. Sin2N, An¡1et(AnnAn¡1)sont disjoints et leur réunion estAn. Donc P(An¡1) +P(AnnAn¡1) =P(An):
. Par ailleurs, pour toutn2N,(AnnAn¡1)Andonc S
n=0
+1(AnnAn¡1)S
n=0 +1An. Réciproquement, si x2S
n=0
+1An, l'ensemble fn2N; x2Ang est une partie non vide de Net possède donc un plus petit élémentn0. Alorsx2An0nAn0¡1S
n=0
+1(AnnAn¡1). Donc [
n=0 +1
(AnnAn¡1) = [
n=0 +1
An
. Comme(AnnAn¡1)n2Nest une suite d'événements incompatibles,
P [
n=0 +1
An
!
= P [
n=0 +1
(AnnAn¡1)
!
= X
n=0 +1
P(AnnAn¡1)
= X
n=0 +1
(P(An)¡P(An¡1))
= lim
n!+1P(An)¡P(A¡1) = lim
n!+1P(An)
Espace probabilisé 7
ii. PosonsBn= nAn. Alors, pour toutn2N, P(Bn) = 1¡P(An)et :
P \
n=0 +1
An
!
= P \
n=0 +1
(nBn)
!
= P n[
n=0 +1
Bn
!
= 1¡P [
n=0 +1
Bn
!
= 1¡ lim
n!+1P(Bn)par le i.
= lim
n!+1(1¡P(Bn)) = lim
n!+1P(An) iii. Comme au i.P(S
n=0
+1An) =P(S
n=0
+1[Ann(S
i=0
n¡1Ai)]) =P
n=0
+1P(AnnS
i=0
n¡1Ai)6P
n=0
+1P(An)car pour tout entiern, (AnnS
i=0 n¡1
Ai)An.
3 Conditionnement et indépendance
Définition 3.0.1. Probabilité conditionnelle
SoientA; Bdeux événements d'un espace probabilisé(;T; P). SiP(B) =/ 0, on appelle probabilité conditionnelle deA sachantB le réel notéP(AjB)ouPB(A)défini par :
P(AjB) =P(A\B) P(B) Proposition 3.0.2. PB:A7!PB(A) est une probabilité sur (;T).
Proposition 3.0.3. [formule des probabilités composées]
SoientA; B deux événements d'un espace probabilisé (;T; P). Si P(B) =/ 0, alorsP(A\B) =P(AjB)P(B).
Par convention, si P(B) = 0, on écrira encore P(A\B) =P(AjB)P(B).
Exemple. Une urne contient initialement 7 boules vertes et 3 boules bleues. On tire successivement 3 boules : si on tire une verte, on la sort de l'urne, si on tire une bleue, on la retire de l'urne et on ajoute une verte à la place. Quelle est la probabilité de tirer 3 boules bleues ?
Définition 3.0.4. Système complet dénombrable d'événements
Une famille (An)n2Nd'événements de (;T)est appelée système complet d'événements lorsque : i. S
n2NAn=
ii. pour tous entiersn=/ m,An\Am=?.
Proposition 3.0.5. [formule des probabilités totales]
Si (An)n2Nest un système complet d'événements, alors, pour toutB2 A, la série P
P(B\An)converge et : P(B) =X
n=0 +1
P(B\An) =X
n=0 +1
P(BjAn)P(An)
Démonstration.Pour toutn2N,06P(B\An)6P(An), donc la sériePP(B\An)converge par comparaison (termes positifs). De plus,(An\B)n2Nest constituée d'événements incompatibles,
P(B) =P [
n=0 +1
(An\B)
!
=X
n=0 +1
P(An\B):
Exemple. Une urne contient initialement 2 boules bleues. Un compteur affiche un entier aléatoiren, on ajoute alorsnboules vertes dans l'urne puis on tire une boule au hasard. Sin>1, la probabilité que le compteur affiche nest pn=n(n1+ 1) .
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?
Proposition 3.0.6. [formule de Bayes : probabilité des causes]
SoientA; B deux événements d'un espace probabilisé (;T; P)de probabilité non nulle. Alors P(BjA) =P(AjB)P(B)
P(A) Définition 3.0.7. Événements indépendants
Deux événements AetB de (;T; P)sont dits indépendants lorsqueP(A\B) =P(A)P(B).
Remarque. siP(B)>0, l'indépendance de AetB équivaut à P(AjB) =P(A).
Attention :ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles ! Définition 3.0.8. Famille d'événements mutuellement indépendants
Des événementsA1; :::; Ande(;T; P)sont dits mutuellement indépendants lorsque, pour tousi1; :::; ipdistincts de J1; nK,P(Ai1\ \Aip) =P(Ai1) P(Aip).
A retenir :(mais le reste aussi...)
1. Ensemble fini ou dénombrable : peut s'écrire sous la formeE=fun; n2Ng. 2. Définitions d'une tribu, d'une probabilité. Continuité (dé-)croissante.
3. Probabilité conditionnelle, probabilités composées, probabilités totales, formule de Bayes, événements indépendants.
Un peu d'histoire :
Bien que dorigine plus ancienne, les probabilités ne naissent véritablement qu'au 17ème siècle pour résoudre des problèmes issus des jeux de hasard. Ce sont surtout Pascal et Huygens puis Jacques Bernoulli qui en poseront les premiers principes. Aux siècles suivants, la théorie se développe sous l'influence de nombreux mathématiciens tels que Moivre et Laplace (théorème de la limite centrale), la famille Bernoulli, Lagrange (avec les probabilités continues), Euler, d'Alembert... La formule de Bayes est publiée en 1764.
Au 20ème siècle, dans son ouvrage essentiel Fondements de la théorie des probabilités, Kolmogorov fonde une théorie axiomatique rigoureuse qui relie les probabilités aux théories existantes de l'intégration et de la mesure (d'où est issue la notion de tribu) : la probabilité d'un événementAest une mesure de cet ensemble, tout comme l'intégraleZ
A
dx.
Les applications des probabilités sont extrêmement variées, des mathématiques financières à la théorie de l'information et des communications, des statistiques (sciences sociales, biologie, ingénierie...) aux phénomènes de diffusion, à la mécanique quantique, et dans bien d'autres domaines de la physique.
Conditionnement et indépendance 9
Exercices sur les probabilités
--- Exercice 1.Une entreprise décide de classer 20 personnes susceptibles d'être embauchées; leurs CV étant très proches, le patron décide de recourir au hasard : combien y a-t-il de classements possibles :
- sans ex-aequo;
- avec exactement2ex-aequo ?
Indication :Donner dans chaque cas le modèle de référence ou la procédure de dénombrement employée.
--- Exercice 2. Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. Il me manque le héros Prince Charmant :
combien dois-je acheter de barres pour que la probabilité d'avoir l'image attendue dépasse 80%?
Même question pour être sûr à 99%.
--- Exercice 3. En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l'aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets secondaires :
Avec l'aspirine, 75% des patients sont soulagés. Avec le médicament M, 90% des patients sont soulagés.
1. Quel est le taux global de personnes soulagées?
2. Quel est la probabilité pour un patient d'avoir pris de l'aspirine sachant qu'il est soulagé?
--- Exercice 4. On sait qu'à une date donnée, 3% d'une population est atteinte d'hépatite. On dispose de tests de dépistage de la maladie :
Si la personne est malade, alors le test est positif avec une probabilité de 95%.
Si la personne est saine, alors le test est positif avec une probabilité de 10%.
1. Quelle est la probabilité pour une personne d'être malade si son test est positif ? 2. Quelle est la probabilité pour une personne d'être saine si son test est positif ? 3. Quelle est la probabilité pour une personne d'être malade si son test est négatif ? 4. Quelle est la probabilité pour une personne d'être saine si son test est négatif ?
--- Exercice 5. La famille Potter comporte2 enfants; les événements A: il y a au moins un garçon et une fille chez
les Potter etB : la famille Potter a au plus une fille sont-ils indépendants?
Même question si la famille Potter comporte3 enfants. Généraliser ànenfants.
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E08 20 décembre 2021
Exercice 6. Dire si chaque affirmation est vraie (alors la prouver) ou fausse (donner un contre-exemple) :
1. Siest un univers etA; B2alorsf?;; A; A; B; Bg est une tribu sur.
2. Si =f1;2;3;4g, la tribu engendrée parf1g;f1;2g;f2;3g est égale àP().
3. SiP(A) +P(B) = 1alorsB=A.
4. SiAet B sont deux événements indépendants alorsP(A[B) =P(A) +P(B).
5. SiP(A[B) =P(A) +P(B)alorsA etB sont incompatibles.
6. Si(Ak)k2est un système complet d'événements de probabilités non nulles alors pour tout événementAla série
P
k>0P(AjAk)est convergente.
--- Exercice 7. SoitE un ensemble.
1. Montrer queP(E)est en bijection avec f0;1gE
2. Montrer que les ensemblesP(N) etF(N;N)ne sont pas dénombrables.
3. On veut montrer queP(E)n'est pas en bijection avecE.
On considère donc une application'deE surP(E)et l'ensembleA=fx2E ; x2/'(x)g.
a. Siaest un antécédent deApar ', a-t-ona2A?
b. Conclure.
c. En déduire à nouveau queP(N) n'est pas dénombrable.
4. On supposeE fini.
a. Déterminer le cardinal deP(E)en fonction de Card(E).
b. Quel est le nombre de parties deE à péléments ?
c. Quelle formule connue retrouve-t-on en considérant toutes les parties de E?
--- Exercice 8. Soit f: !0une fonction entre deux ensembles et soitA0une tribu sur0.
Montrer que l'ensembleA=ff¡1(B)jB2 A0g est une tribu sur.
--- Exercice 9. Soit(;B)un univers probabilisable. Écrire, avec les opérations ensemblistes (\;[etcomplémentaire) les évènements suivants.
1. L'un au moins des évènements A, B ou C est réalisé.
2. L'un et seulement l'un des évènements A et B est réalisé.
3. Les deux évènements A et B sont réalisés et C ne l'est pas.
4. Tous les évènements An; n>1sont réalisés.
6. Une infinité d'évènements parmi les évènements An; n>1sont réalisés.
7. Seul un nombre fini des évènements An; n>1 est réalisé.
8. Une infinité d'évènements parmi les évènements An; n>1ne sont pas réalisés.
9. Tous les évènements An; n>1sont réalisés à partir d'un certain rang.
--- Exercice 10.On effectue une suite de lancers d'une pièce équilibrée. Pour toutk2N, on désigne parpkla probabilité que le résultat Pile n'ait jamais été obtenu trois fois de suite au cours deskpremiers lancers.
On notera aussi Fk l'événement on obtient face auk-ième lancer et Pk l'événement on obtient pile au k-ième
lancer .
1. Calculer p1; p2et p3.
2. Montrer queF1,P1\F2,P1\P2\F3et P1\P2\P3forment un système complet d'événements.
3. En déduire que, pour tout entier ksupérieur ou égal à4, on a :
pk=1
2 pk¡1+1
4pk¡2+1 8pk¡3
et déterminer p0pour que cette relation soit encore valable pourk= 3.
4. Montrer que la suite (pk)est une combinaison linéaire de trois suites géométriques dont une seule est réelle.
5. En déduire la convergence et la limite de la suite(pk)k2N. Donner une interprétation du résultat obtenu.
--- Exercice 11.Soits2]1;+1[. On pose(s) =X
k=1 +1
1
kset on définit la fonctionPs:P(N)![0;1]de la manière suivante : siANest tel queAnf0g=fk1; k2; k3; :::goùk1< k2< k3
Ps(A) = 1 (s)
X
i=1 +1 1
kis
la somme étant finie siAest fini.
1. Montrer quePsest une probabilité surN.
2. Pour tout k2N, on noteAk=kNl'ensemble des multiples dek. CalculerPs(Ak).
3. Soit (pi)i2Nla suite croissante des nombres premiers. (p1= 2; p2= 3; p3= 5; :::)
Montrer que, sin2N, la familleAp1; :::; Apnest une famille d'événements mutuellement indépendants pour la probabilitéPs.
4. En déduire que (s)1 =limn!+1Q
i=1
n
1¡p1is
, résultat qui est noté sous la forme :
(s) =Y
i=1 +1
1 1¡pi¡s
E08
expression de la fonction par un produit (infini) eulérien.
--- Exercice 12. On dispose d'un trousseau denclefs indifférentiables pour ouvrir une serrure.
1. L'expérience a lieu dans le noir et, à chaque essai, on utilise une clef choisie au hasard.
a. Quelle est, pour tout entier non nul p, la probabilité d'ouvrir la serrure la première fois aup-ième essai ? b. Quelle est la probabilité de ne jamais y arriver ?
2. Le lendemain, on s'est procuré une lampe de poche et on essaie successivement toutes les clefs. Quelle est
maintenant la probabilité d'ouvrir la serrure au p-ième essai de cette nouvelle série?
--- Exercice 13. On considère une ligne transmettant des signaux binaires. Le système est modélisé par l'univers =f0;1g2des couples(E ; R)oùEdésigne le signal émis etRdésigne le signal reçu. Sur une ligne parfaite, on aurait
toujoursE=R mais nous allons supposer que la ligne altère le signal transmis avec une certaine probabilité.
1. Écrire en extension les événements suivants :
Ei: le signaliest émis
Ri: le signaliest reçu
F : il y a une faute de transmission
2. On suppose que les probabilités qu'une faute de transmission ait lieu, sachant le signal émis, sont connues : f0=P(FjE0) =P(R1jE0)
f1=P(FjE1) =P(R0jE1)
En déduire la probabilitéP(F)d'une faute de transmission.
3. Supposons que la ligne transmet les 0 émis avec une fiabilité de 95% et les 1 avec une fiabilité de 99%. On
transmet un signal contenant un quart de1. Quelle est la probabilité qu'un1 reçu ait effectivement été un 1
émis ?
