Espaces probabilisés

Espaces probabilisés

Cours de É. Bouchet ECS1 18 mars 2021

Table des matières

1 σ-algèbre ou tribu 2

1.1 Dénition . . . 2

1.2 Système complet d'événements . . . 3

2 Espaces probabilisés 4 2.1 Dénition . . . 4

2.2 Propriétés . . . 4

2.3 Conditionnement et indépendance . . . 5

2.4 Formule des probabilités totales . . . 6

2.5 Propriétés de la limite monotone . . . 7

3 Variables aléatoires 8 3.1 Dénition . . . 8

3.2 Fonction de répartition . . . 9

1 σ -algèbre ou tribu

1.1 Dénition

Soit un universΩ, on dit queA est une tribu (ouσ-algèbre) de Ωlorsque : Ω∈ A,

A∈ A=⇒A∈ A,

Pour toute famille dénombrable(A_i)i∈N^∗ d'éléments de A,S+∞

i=1A_i∈ A. Dénition (Tribu).

Soit Ωun univers muni d'une tribu A. Un événement est un élément deA. Dénition (Événement).

Exemple 1. Donner diérentes tribus surΩ =N. {∅,N},

{∅,N,{0},N^∗},

{∅,N,{0},{5},{0,5},N\ {5},N\ {0,5},N^∗}, P(N) (possible seulement carNest dénombrable),

On choisit la tribu que l'on souhaite utiliser pour qu'elle soit assez détaillée (susante pour décrire les événements que l'on considérera), mais pas trop (pour des raisons de simplicité).

Soit Ωun univers, etA une tribu deΩ. Alors : ∅ ∈ A,

Pour toute famille dénombrable(A_i)i∈N^∗ d'éléments de A,T+∞

i=1A_i∈ A. Proposition.

Démonstration. (démonstration à connaître) Ω∈ A, donc ∅= Ω∈ A.

Soit (A_i)_i∈N∗ ∈ A^N∗. Alors T+∞

i=1 A_i = S+∞

i=1A_i. Comme ∀i ∈ N^∗, A_i ∈ A, alors par réunion dénombrable S+∞

i=1 A_i ∈ A, et donc par passage à l'événement contraire, T+∞

i=1 A_i∈ A.

Remarque. Les intersections et réunions d'événements se généralisent facilement au cas dénombrable. Soit Ω un univers,A une tribu deΩ,I une partie (nie ou non) de N, et(An)n∈I une suite d'événements deA, alors :

Distributivité :

∀B∈ A, B∩ [

k∈I

Ak

!

= [

k∈I

(B∩Ak) etB∪ \

k∈I

Ak

!

= \

k∈I

(B∪Ak). Loi de Morgan :

\

k∈I

Ak= [

k∈I

Ak et [

k∈I

Ak = \

k∈I

Ak

Exemple 2. On lance une pièce équilibrée une innité de fois. On noteP_il'événement obtenir pile aui-ème tirage . Exprimer en fonction de la famille(P_i)i∈N^∗ les événements suivants :

Soit n>1, obtenir le premier pile aun-ème lancer : Tn−1

i=1 Pi

∩Pn

Obtenir au moins un pile : S+∞

i=1 Pi

Obtenir uniquement des faces : T+∞

i=1 P_i

Obtenir au moins une fois deux piles consécutifs : S+∞

i=1(P_i∩P_i+1) Soit n>2, obtenir le deuxième pile aun-ème lancer :

Sn−1

j=1

P_j∩

Tn−1

i=1, i6=j

P_i

∩P_n

Exemple 3. On tire successivement et avec remise une innité de fois une boule dans une urne contenant n ∈ N^∗ boules numérotées de 1 à n. Pour i∈N^∗ on noteX_i la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée au i-ème tirage. Exprimer les événements suivants en fonction desXi :

Soit k>1, obtenir la boule 1 pour la première fois auk-ème tirage : Tk−1

i=1 [X_i = 1]

∩[X_k= 1]

Obtenir au moins une fois la boule n: S+∞

i=1[X_i =n]

Ne jamais obtenir la boule1 : T+∞

i=1 [Xi = 1]

Tous les numéros sont sortis au moins une fois : Tn j=1

S+∞

i=1[X_i=j]

1.2 Système complet d'événements

Soit Ω un univers et I ⊂ N. On dit que (A_i)_i∈I ∈ A^I est un système complet d'événements de Ω lorsque [

i∈I

A_i = Ωet que∀(i, j)∈I²,i6=j=⇒A_i∩A_j =∅. Dénition (Système complet d'événements).

Exemple 4. Si on tire une suite innie de pièces équilibrées, et qu'on note : pouri∈N^∗,P_i : le premier pile est au i-ème tirage . Alors :

P1, P1

est un système complet d'événement, (P_i)_i∈N∗ n'est pas un système complet d'événement.

En eet, les P_i sont tous incompatibles deux à deux (le premier pile ne peut pas apparaître à deux moments diérents), mais ils ne recouvrent pas Ω. Si A⊂Ωest l'événement On ne tire que des face ,A6⊂S

i∈N^∗Pi.

Soit Ωun univers etB une famille d'éléments deP(Ω). On appelle tribu engendrée par cette famille la plus petite tribu, au sens de l'inclusion, contenant cette famille.

Dénition (Tribu engendrée par une famille).

Exemple 5. On s'intéresse en général aux tribus engendrées par des systèmes complets d'événements. Par exemple, si on tire une suite innie de pièces équilibrées, et qu'on note : pouri∈N^∗,P_i : pile au i-ème tirage , alors

la tribu engendrée par P1, P1

est :

{Ω,∅, P₁, P1}.

la tribu engendrée par P₁, P₁∩P₂, P₁∩P₂ est :

{Ω,∅, P₁, P1, P1∩P2, P2∪P1, P1∪P2, P1∩P2}.

2 Espaces probabilisés

2.1 Dénition

Soit Ω un univers et A une tribu sur Ω. Une application P dénie de A dans[0,1] est dite σ-additive lorsqu'elle vérie : pour toute suite(Ai)_i∈N∗ d'événements de A, deux à deux incompatibles,

P

+∞

[

i=1

A_i

!

=

+∞

X

i=1

P(A_i). Dénition (Application σ-additive).

Soit Ω un univers et A une tribu sur Ω. Une probabilité est une application P dénie sur A, à valeurs dans[0,1],σ-additive et telle queP(Ω) = 1.

Dénition (Probabilité).

Remarque. LorsqueP est une probabilité, on dit que(Ω,A, P) est un espace probabilisé.

Exemple 6. On tire aléatoirement un entier deN^∗ avec la probabilité P qui à n∈N^∗ associe une chance de tirer n de ₂¹n. Calculer la probabilité P₁ de tirer un nombre n >10, la probabilité P₂ de tirer un nombren multiple de 3 et la probabilitéP3 de tirer un nombre dont le reste est 3 si on le divise par 4.

On commence par dénir des événements élémentaires plus manipulables. Soitn∈N^∗, on poseA_n= tirer le nombre n. Puisque ces événements sont incompatibles deux à deux, on trouve alors parσ-additivité deP :

P1=P

+∞

[

n=11

An

!

=

+∞

X

n=11

P(An) =

+∞

X

n=11

1 2ⁿ =

1 2¹¹

1−¹₂ = 1

2¹⁰ = 1 1024.

P₂ =P

+∞

[

n=1

A_3n

!

=

+∞

X

n=1

P(A_3n) =

+∞

X

n=1

1 2³ⁿ =

+∞

X

n=1

1

8ⁿ = 1

1−¹₈ −1 = 8

7 −1 = 1 7.

P3 =P

+∞

[

n=0

A4n+3

!

=

+∞

X

n=0

P(A4n+3) =

+∞

X

n=0

1 2⁴ⁿ⁺³ = 1

8

+∞

X

n=0

1 16ⁿ = 1

8 1

1−₁₆¹ = 2 15.

2.2 Propriétés

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé et (A, B)∈ A². Alors :

P A

= 1−P(A), P(∅) = 0,

SiA⊂B, alors P(B\A) =P(B)−P(A), P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

Proposition (Lien avec les opérations sur les événements).

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé.P est une application croissante (au sens de l'inclusion) :

∀(A, B)∈ A², A⊂B=⇒P(A)6P(B).

Proposition (Croissance de P).

Démonstration. Ces deux résultats se montrent exactement comme dans le cas des probabilités sur les espaces nis.

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé.

Si(A1, . . . , An) est un système complet ni d'événements deΩ, alors

n

X

i=1

P(Ai) = 1. Si(Ai)_i∈N∗est un système complet dénombrable d'événements deΩ, alors la sérieP

P(Ai)converge et

+∞

X

i=1

P(A_i) = 1.

Proposition (Lien entre probabilité et système complet d'événements).

Démonstration. (démonstration à connaître) Le premier cas se montre exactement comme dans le cas ni. Pour le deuxième cas, il sut d'utiliser les propriétés d'un système complet d'événements et laσ-additivité deP (qui garantit au passage la convergence de la série) :

1 =P(Ω) =P

+∞

[

i=1

Ai

!

=

+∞

X

i=1

P(Ai).

2.3 Conditionnement et indépendance

Soit(Ω,A, P)un espace probabilisé et soitB ∈ Atel queP(B)6= 0. On dénit un nouvel espace probabilisé (Ω,A, P_B) par

P_B(A) = P(A∩B)

P(B) pour tout A∈ A.

P_B est appelée probabilité conditionnelle relative à B, et P_B(A) est la probabilité de A sachant B, parfois aussi notée P(A|B).

Dénition (Probabilité conditionnelle).

Remarque. La dénition est exactement la même que pour le cas des probabilités sur des ensembles nis. On peut donc en déduire que la formule de Bayes, la formule des probabilités composées, et tout ce qui en découle sont toujours vériées.

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé, I ⊂Net(Ai)_i∈I une famille d'événements de A. On dit que(Ai)_i∈I est une famille d'événements mutuellement indépendants lorsque pour toute sous partie nieJ ⊂I,

P \

i∈J

Ai

!

=Y

i∈J

P(Ai). Dénition (Famille d'événements mutuellement indépendants).

Exemple 7. On lance un nombre inni de pièces équilibrées. Soit n > 3. Calculer la probabilité P₁ d'obtenir le premier PF auxn−1 etn-ème tirages, sachant que l'on a obtenu FP au deux premiers tirages.

Soit i ∈ N^∗, on note Fi l'événement obtenir face au tirage i. Comme P(F1 ∩F2) = ¹₄ 6= 0, la dénition du conditionnement et l'indépendance des lancers donnent :

P1 =

P(F1∩ Tn−1

i=2 Fi

∩Fn) P(F1∩F2) =

P(F1)

Qn−1 i=2 P(Fi)

P(Fn) P(F1)P(F2) =

1 2

n 1 4

= 1

2 n−2

.

En eet, après avoir obtenu FP, on est obligé de n'obtenir que des P jusqu'au premier PF.

2.4 Formule des probabilités totales

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé. Soit I ⊂Net(A_i)_i∈I un système complet d'événements deΩ. Alors pour tout B ∈ A,

P(B) =X

i∈I

P(B∩Ai). Théorème (Formule des probabilités totales).

Démonstration. On décompose l'événementB sur le système complet d'événements(A_i)i∈I : B =[

i∈I

(B∩A_i),

et les(B∩Ai) sont incompatibles deux à deux. La σ-additivité de la probabilité donne alors le résultat.

Exemple 8. On considère une innité d'urnes numérotées par les entiers deN^∗, et telles que pour i∈N^∗, l'urneU_i contienne i!boules numérotées de 1 à i!. On choisit une urne au hasard selon la loi suivante : pour tout i∈ N^∗, on choisit l'urneU_i avec probabilité ₂¹i. Puis on tire une boule au hasard dans cette urne. Calculer la probabilité de tirer la boule numéro1.

Soiti∈ N^∗, on note Ai l'événement l'urnei est choisie , et Gl'événement on tire la boule numéro 1. Comme lesA_i forment un système complet d'événements et que ∀i∈N^∗,P(A_i) = ₂¹i 6= 0, la formule des probabilités totales donne :

P(G) =

+∞

X

i=1

P(G∩A_i) =

+∞

X

i=1

P(A_i)P_Ai(G) =

+∞

X

i=1

1 2ⁱ × 1

i!=e¹² −1'0,35.

2.5 Propriétés de la limite monotone

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé, et(A, B)∈ A².

SiP(A) = 1, on dit queA est un événement presque sûr.

SiP(B) = 0, on dit queB est un événement négligeable.

Une propriété vériée sur un ensemble de probabilité1 est dite vraie presque sûrement (parfois abrévié p.s.).

Dénition (Presque sûr, négligeable).

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé, et soit (Cn)n∈N^∗ une suite d'événements de A croissante au sens de l'inclusion. Alors

P

+∞

[

n=1

C_n

!

= lim

n→+∞P(C_n). Théorème (Théorème de limite monotone, cas croissant).

Remarque. La croissance au sens de l'inclusion indique queC1⊂C2 ⊂C3 ⊂. . ..

Remarque. Si(C_n)n∈N^∗ est une suite d'événements croissante, on savait déjà que∀N ∈N^∗,P SN

n=1C_n

=P(C_N). Ce résultat est une généralisation de cette égalité dans le cas d'une union innie.

Démonstration. On admet ce résultat, qui se montre parσ-additivité deP après s'être ramené à une union d'événe- ments deux à deux incompatibles.

Exemple 9. Un joueur joue indéniment à un jeu qui conduit à1chance sur100de gagner. On note Gl'événement le joueur gagne au moins une fois , et pour n∈N^∗,Gn l'événement le joueur gagne au moins une fois au cours desnpremières parties . Montrer queGest un événement presque sûr.

On remarque que lesG_n forment une suite d'événements croissants car∀i∈N^∗, G_i ⊂G_i+1. De plus, G=S+∞

n=1G_n. Soiti∈N^∗, on poseAi l'événement le joueur perd lai-ème partie , l'indépendance des parties donne alors :

∀n∈N^∗, P(Gn) = 1−P Gn

= 1−P

n

\

i=1

Ai

!

= 1−

n

Y

i=1

P(Ai) = 1− 99

100 n

. Donc par théorème de limite monotone et puisque

₁₀₀⁹⁹ <1, P(G) = lim

n→∞P(Gn) = lim

n→∞

1−

99 100

n

= 1.

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé, et soit (Dn)n∈N^∗ une suite d'événements de A décroissante au sens de l'inclusion. Alors

P

+∞

\

n=1

Dn

!

= lim

n→+∞P(Dn). Théorème (Théorème de limite monotone, cas décroissant).

Démonstration. Soit (D_n) une suite décroissante d'événements, alors (D_n) est une suite croissante d'événements. On a donc, par les lois de Morgan et le théorème de limite monotone (cas croissant),

P

+∞

\

n=1

Dn

!

=P





+∞

[

n=0

Dn



= 1−P

+∞

[

n=0

Dn

!

= 1− lim

n→+∞P(Dn) = lim

n→+∞(1−P(Dn)) = lim

n→+∞P(Dn).

Exemple 10. On lance une pièce de monnaie équilibrée une innité de fois. On noteB l'événement n'obtenir que des faces au cours du jeu , et pourn∈N^∗,B_nl'événement n'obtenir que des faces auxnpremiers lancers . Montrer queB est un événement négligeable. A-t-on B =∅?

LesBnforment une suite d'événements décroissants, puisque∀i∈N^∗,Bi+1 ⊂Bi. De plus,B =T+∞

n=1Bn. Soiti∈N^∗, on poseA_i l'événement obtenir face aui-ème lancer , l'indépendance des lancers donne alors :

∀n∈N^∗, P(Bn) =P

n

\

i=1

Ai

!

=

n

Y

i=1

P(Ai) = 1

2 n

. Donc par théorème de limite monotone et puisque

¹₂ <1, P(B) = lim

n→∞P(B_n) = lim

n→∞

1 2ⁿ

= 0.

MaisB 6=∅ : il peut être réalisé en ne tirant que des faces.

Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé, et soit (A_n) une suite d'événements deA. Alors

P

+∞

[

i=1

Ai

!

= lim

n→+∞P

n

[

i=1

Ai

!

et P

+∞

\

i=1

Ai

!

= lim

n→+∞P

n

\

i=1

Ai

! . Proposition (Conséquence des théorèmes de limite monotone).

Démonstration. Pour la première égalité, on dénit une suite d'événements C par : ∀n ∈ N^∗, Cn = Sn

i=1Ai. Par construction,C est croissante au sens de l'inclusion. On peut donc lui appliquer le théorème de limite monotone, cas croissant :

P

+∞

[

i=1

A_i

!

=P

+∞

[

i=1

C_i

!

= lim

n→+∞P(C_n) = lim

n→+∞P

n

[

i=1

A_i

! .

La deuxième égalité se montre de même en appliquant le théorème de limite monotone cas décroissant à la suite dénie pourn∈N^∗ parDn=Tn

i=1Ai.

3 Variables aléatoires

3.1 Dénition

SoitX une application dénie surΩà valeurs dansR. On dit que c'est une variable aléatoire réelle sur l'espace probabilisé(Ω,A, P) lorsque pour toutx∈R,

[X6x] ={ω∈Ω tel queX(ω)6x} ∈ A.

Dénition (Variable aléatoire).

Remarque. La contrainte[X6x]∈ Apermet de s'assurer qu'il sera toujours possible de calculerP(X 6x). Remarque. SoitX une variable aléatoire réelle, on a en particulier :

1. [X > x]∈ A.

En eet, [X6x]∈ A, donc par passage au complémentaire [X > x] = [X 6x]∈A. 2. [a < X 6b]∈ A.

En eet, [X6b]∈ A, et on a montré que[X > a]∈A. Donc[a < X 6b] = [X 6b]∩[X > a]∈ A. 3. [X=x]∈ A.

On commence par montrer par double inclusion que [X=x] =T+∞

n=1[x−_n¹ < X 6x]: Soit ω∈[X =x]. Alors X(ω) =xet donc ∀n∈N^∗,x−_n¹ < X(ω)6x. Doncω∈T+∞

n=1[x−¹_n < X6x]et on a montré que[X =x]⊂T+∞

n=1[x−¹_n < X 6x]. Soit ω∈T+∞

n=1[x−_n¹ < X 6x]. Alors∀n∈N^∗,x−_n¹ < X(ω)6x. Un passage à la limite enndonne alors X(ω) =x par encadrement. Doncω∈[X =x]et on a montré queT+∞

n=1[x−_n¹ < X 6x]⊂[X =x]. D'où l'égalité annoncée. Or[x−_n¹ < X 6x]∈ Apar le deuxième point de la remarque. Donc[X =x]∈ Apar intersection dénombrable.

3.2 Fonction de répartition

SoitX une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonctionFX dénie pour tout x∈Rpar

FX(x) =P(X6x). Dénition (Fonction de répartition).

SiF_X est la fonction de répartition d'une variable aléatoire X, alors 1. F_X est croissante surR,

2. F_X est continue à droite surR, 3. lim

x→−∞F_X(x) = 0, 4. lim

x→+∞FX(x) = 1.

Proposition (Propriétés de la fonction de répartition).

Démonstration. (démonstration des deux derniers points à connaître)

1. Soit x et y deux réels tels que x 6 y. Alors [X 6 x] ⊂ [X 6 y], donc par croissance de la probabilité, F_X(x)6F_X(y). La fonctionF_X est donc croissante sur R.

2. Soitx∈R. La fonction FX est croissante surR. Elle admet donc une limite à droite nie enx (théorème de la limite monotone pour les fonctions), et par composition de limites :

t→x,t>xlim F_X(t) = lim

n→+∞F_X

x+ 1 n

La suite([X6x+_n¹])n∈N^∗est une suite décroissante d'événements, donc d'après le théorème de limite monotone (pour les probabilités),

lim P

X 6x+ 1

=P

+∞

\

X 6x+ 1!

=P(X6x).

Donc lim

t→x,t>xF_X(t) =P(X6x) =F_X(x) etF_X est continue à droite en x.

3. La fonctionFX est croissante surRet minorée par0. Par le théorème de la limite monotone (pour les fonctions), elle admet donc une limite nie en −∞, et on trouve par composée :

t→−∞lim FX(t) = lim

n→+∞FX(−n)

La suite([X6−n])_n∈N^∗ est une suite décroissante d'événements, donc d'après le théorème de limite monotone (pour les probabilités),

n→+∞lim P(X6−n) =P

+∞

\

n=1

[X6−n]

!

=P(∅). Donc lim

t→−∞FX(t) =P(∅) = 0, et lim

t→−∞FX(t) = 0.

4. La fonctionF_X est croissante surRet majorée par1. Par le théorème de la limite monotone (pour les fonctions), elle admet donc une limite nie en +∞, et on trouve par composée :

t→+∞lim F_X(t) = lim

n→+∞F_X(n)

La suite ([X 6n])n∈N^∗ est une suite croissante d'événements, donc d'après le théorème de la limite monotone (pour les probabilités),

n→+∞lim P(X 6n) =P

+∞

[

n=1

[X6n]

!

=P(Ω). Donc lim

t→+∞F_X(t) =P(Ω) = 1, et lim

t→+∞F_X(t) = 1.