Espaces probabilisés et variables aléatoires Exercices

Espaces probabilisés et variables aléatoires Exercices

Exercice 1.1. Cet exercice fait référence aux variables aléatoires dé…nies dans les diaposi- tives présentées en classe.

= n

1; 2; 3; 4; 5; 6 o

. Nous avons déjà constaté qu’il n’est pas possible de construire une mesure de probabilité sur l’ensemble fondamental telle que les distributions des vari- ables aléatoiresX etW soient toutes deux de loi uniforme. Est-il possible de construire une mesure de probabilité sur l’ensemble fondamental telle que les variables aléatoires X et W aient la même distribution ?

Exercice 1.2. Supposons que Card( )< 1. Démontrez que si X : ! R et Y : !R sont F mesurables alors minfX; Yg, maxfX; Yg et XY sont aussi F mesurables. De plus, si 8!2 , Y (!)6= 0 alors X=Y est F mesurable.

Exercice 1.3. La fonction indicatrice d’un événementC est dé…nie par I^C : ! f0;1g

! 7!I^C(!) = 1 si !2C 0 si ! =2C Montrez que

(I1) SiA appartient à la tribu G alors I^A estG mesurable.

(I2) I^A\B =I^AI^B: (I3) I^A[B =I^A+I^B I^A\B:

Supposons maintenant queA₁; :::; A_nreprésente une partition …nie de l’ensemble fondamental . Montrez que

(I4) Pn

i=1I^Ai(!) = 1 pour tout! 2 :

Exercice 1.4. Voici un ensemble fondamental et une fonctionX : !R: X

!₁ 0

!₂ 0

!₃ 1

!₄ 1

!₅ 1

a) Quelle est la plus petite tribu F qui fait que X est une variable aléatoire ? b) Quelle est la plus petite tribuG qui fait que jXj est une variable aléatoire ? c) Est-ce quejXj est une F variable aléatoire ? Justi…ez votre réponse.

d) Est-ce queX est une G variable aléatoire ? Justi…ez votre réponse.

Exercice 1.5. Soient =f1; :::;6g; A=ff1;3;5g;f1;2;3gget B =ff2;4;6g;f4;5;6gg: a) DécrireF = (A), la tribu engendrée parA.

b) Donner les atomes deF.

c) DécrireG = (B), la tribu engendrée parB.

d) Donner les atomes deG:

Exercice 1.6. Soit X une variable aléatoire dé…nie sur un espace probabilisé ( ;F; P) et Y(!) = exp [X(!)]; !2

a) Montrer queY est aussi une variable aléatoire, et exprimer sa fonction de répartition F_Y en fonction de F_X.

b) Supposons queX est de distribution continue. Y est alors aussi continue. Exprimer la fonction de densitéf_Y deY en fonction de la fonction de densité f_X deX.

c) Supposons que X N(0;1). Calculer f_Y et P(Y 1).

d) Comment s’appelle la loi deY.

Les solutions

1 Exercice 1.1

Oui, cela est possible. En e¤et, posons p_i = Pn io

. Nous cherchons p₁; :::; p₆ tels que : premièrement, P est une mesure de probabilité, c’est-à-dire,

(i) 0 p_i 1

(ii) p₁+p₂+p₃+p₄+p₅+p₆ = 1 ;

deuxièmement, la distribution de la variable aléatoire X est quelconque, c’est-à-dire que (X1) P fX = 0g=P n

1; 2o

=p₁+p₂ =q₀ (X2) P fX = 5g=P n

3; 4o

=p₃+p₄ =q₅ (X3) P fX = 10g=P n

5; 6o

=p₅+p₆ =q₁₀

et, …nalement, la distribution de la variable aléatoire W est la même que celle de X; c’est- à-dire que

(W1) PfW = 0g=P n 5o

=p₅ =q₀ (W2) P fW = 5g=Pn

1; 2; 3; 4o

=p₁+p₂+p₃+p₄ =q₅ (W3) P fW = 10g=P n

6o

=p₆ =q₁₀

Les contraintes (X3) et (W3) impliquent que p₅ = 0 et p₆ = q₁₀. Or, en observant (W1), nous en déduisons queq₀ =p₅ = 0. Ceci implique queq₅ = 1 q₀ q₁₀= 1 q₁₀. Commep₁ etp₂sont non négatives et que leur somme est nulle(X1), nous en déduisons quep₁ =p₂ = 0.

La contrainte(X2) nous donne p₃ =q₅ p₄ = 1 q₁₀ p₄. La solution est donc x P fX =xg=P fW =xg

0 0

5 1 q₁₀

10 q₁₀ 2[0; 1]

:

! P (!) ! P(!)

1 0 4 p₄ 2[0; 1 q₁₀]

2 0 5 0

2 Exercice 1.2

CommeCard( )<1, les variables aléatoiresX etY ne peuvent prendre qu’un nombre …ni de valeurs, disonsx₁ < ::: < x_m ety₁ < ::: < y_n respectivement.

Montrons que minfX; Yg est F mesurable :8z 2R, f! 2 jminfX(!); Y (!)g zg

= f! 2 jX(!) z ouY (!) zg

= f|! 2 jX{z(!) zg}

2F

[ f|!2 jY{z(!) zg}

2F

2 F.

Montrons que maxfX; Yg estF mesurable :8z 2R, f! 2 jmaxfX(!); Y (!)g zg

= f! 2 jX(!) z et Y (!) zg

= f|! 2 jX{z(!) zg}

2F

\ f|!2 jY{z(!) zg}

2F

2 F.

Montrons que XY estF mesurable :8z 2R, f!2 jX(!)Y (!) zg

= [

xiyj z

f!2 jX(!) = x_i etY (!) =y_jg

= [

xiyj z

f!2 jX(!) = x_ig

| {z }

2F

\ f!2 jY (!) = y_jg

| {z }

| {z 2F }

2F

2 F.

Montrons que si Y 6= 0; X=Y est F mesurable :8z 2R,

!2 X(!) Y (!) z

= [

xi yj z

f!2 jX(!) =x_i et Y (!) = y_jg

= [

xi yj z

f!2 jX(!) =x_ig

| {z }

2F

\ f|! 2 jY{z(!) =y_jg}

| {z 2F }

2F

2 F.

3 Exercice 1.3

Démonstration de

(I1):À montrer : Si Aappartient à la tribu Galors I^AestG mesurable.

Nous devons montrer que 8x2R,f! 2 :I^A(!) = xg 2 G. Mais, f!2 :I^A(!) = 1g=A2 G, f!2 :I^A(!) = 0g=A^c 2 G et 8x =2 f0;1g, f!2 :I^A(!) = xg=?2 G.

Démonstration de

(I2): À montrer : I^A\B =I^AI^B: I^A\B(!) = 1 ! 2A\B

0 ! =2A\B D’autre part,

I^A(!)I^B(!) = 1 , I^A(!) = 1 etI^B(!) = 1 , ! 2A et! 2B

, ! 2A\B.

Démonstration de

^(I3): À montrer : I^A[B =I^A+I^B I^A\B: Nous distingons quatre cas :

si ! 2A\B alors I^A[B(!) = 1 et I^A(!) +I^B(!) I^A\B(!)

= 1 + 1 1 = 1 si !2A\B^c alors I^A[B(!) = 1 et I^A(!) +I^B(!) I^A\B(!)

= 1 + 0 0 = 1 si !2A^c\B alors I^A[B(!) = 1 et I^A(!) +I^B(!) I^A\B(!)

= 0 + 1 0 = 1 si !2A^c \B^c alors I^A[B(!) = 0 et I^A(!) +I^B(!) I^A\B(!)

= 0 + 0 0 = 0

Démonstration de

(I4). À montrer : Supposons maintenant que A₁; :::; A_n représente une partition …nie de l’ensemble fondamental . Montrez que Pn

i=1I^Ai(!) = 1 pour tout

! 2 :

Soit ! 2 A_j un élément quelconque de l’ensemble fondamental. Puisque A₁; :::; A_n est une partition alors

!2A_j et! =2A_i pour touti6=j:

Ainsi,

I^Aj(!) = 1 etI^Ai(!) = 0 pour touti6=j:

Par conséquent,

Xn

4 Exercice 1.4

a) Quelle est la plus petite tribu F qui fait que X est une variable aléatoire ? 8>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>>

>>

>>

>>

:

?; ;f!₁; !₂g;f!₃g;f!₄; !₅g;f!₆g;f!₇g f!₁; !₂; !₃g;f!₁; !₂; !₄; !₅g;f!₁; !₂; !₆g;f!₁; !₂; !₇g f!₃; !₄; !₅g;f!₃; !₆g;f!₃; !₇g;f!₄; !₅; !₆g;f!₄; !₅; !₇g;f!₆; !₇g

f!₁; !₂; !₃; !₄; !₅g;f!₁; !₂; !₃; !₆g;f!₁; !₂; !₃; !₇g f!₁; !₂; !₄; !₅; !₆g;f!₁; !₂; !₄; !₅; !₇g;f!₁; !₂; !₆; !₇g f!₃; !₄; !₅; !₆g;f!₃; !₄; !₅; !₇g;f!₃; !₆; !₇g;f!₄; !₅; !₆; !₇g f!₁; !₂; !₃; !₄; !₅; !₆g;f!₁; !₂; !₃; !₄; !₅; !₇g;f!₁; !₂; !₃; !₆; !₇g

f!₁; !₂; !₄; !₅; !₆; !₇g;f!₃; !₄; !₅; !₆; !₇g

9>

>>

>>

>>

>>

>=

>>

>>

>>

>>

>>

;

b) Quelle est la plus petite tribu G qui fait que jXj est une variable aléatoire ?

?; ;f!₁; !₂g;f!₃; !₄; !₅g;f!₆; !₇g

f!₁; !₂; !₃; !₄; !₅g;f!₁; !₂; !₆; !₇g;f!₃; !₄; !₅; !₆; !₇g

c) Est-ce que jXj est uneF variable aléatoire ? Justi…ez votre réponse.

Oui puisque

f!2 :jX(!)j xg= 8>

><

>>

:

?2 F si x <0 f!₁; !₂g 2 F si 0 x <1 f!₁; !₂; !₃; !₄; !₅g 2 F si 1 x <2

2 F si x 2

d) Est-ce que X est uneG variable aléatoire ? Justi…ez votre réponse.

Non puisque

f!2 :X(!) 2g=f!₇g2 G= :