Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 28 (14/05 – 18/06)
Dernière semaine de colle ! Merci à tous les colleurs grâce à qui les étudiants ont pu faire de beaux progrès tout au long de l’année !
Attention aux changements de salle (voir document envoyé par mail)
Note aux colleurs : N’oubliez pas la deadline du 20 juin pour déclarer vos colles sur +PLUS
Chapitre 26 : Déterminants
1. Définition des déterminants
‚ Formes multilinéaires
˚ Application multilinéaire, forme,n-linéarité généralisée.
˚ Espace des applicationsn-linéaires.
˚ Propriété de rigidité (détermination sur les n-uplets de vetceurs de bases)
‚ Formesn-linéaires antisymétriques et alternées
˚ Définition d’une forme antisymétrique, alternée
˚ Caractérisation de l’antisymétrie par l’effet d’une transpositions.
˚ Les formes alternées sont antisymétriques
˚ Les formes antisymétriques sont alternées en caractéristique différente de 2.
‚ Déterminant d’une famille de vecteurs
˚ Existence et unicité d’une forme n-linéaire alternée surE de dimensionn.
˚ Déterminant d’une famille de vecteurs
˚ Exrpession avec les coefficients, comme somme surSn.
˚ Effet d’un isomorphisme sur le déterminant
˚ Effet d’un changement de base sur le déterminant
˚ Caractérisation des bases.
‚ Orientation d’un espace
˚ Les 2 classes d’équivalences d’orientation
˚ Effet d’une permutation des vecteurs sur l’orientation.
‚ Déterminant d’un endomorphisme
˚ Définition
˚ Caractérisation par le déterminant de l’image d’une base.
˚ Déterminant d’une composée
˚ Caractérisation des automophismes pardet.
‚ Déterminant d’une formule carrée
˚ Définition par l’endomorphisme canoniquement associé.
˚ Déterminant d’un produit
˚ Invariance vis-à-vis du choix de la base du déterminant de la matrice def.
˚ Expression par les coefficients (somme sur S)
˚ Cas des déterminants 2ˆ2 et3ˆ3(Sarrus)
˚ Déterminant d’une transposée.
2. Calcul des déterminants
‚ Opérations sur les lignes et colonnnes
˚ Déterminant d’une matrice triangulaire
˚ Déterminant des matrices de codage d’opération
˚ Effet des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes sur le déterminant.
˚ Calcul du déterminant par la méthode du pivot de Gauss.
‚ Calcul par blocs
˚ Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.
‚ Développements
˚ Formule de développement suivant une colonne
˚ Formule de développement suivant une ligne
˚ Expression de l’inverse par la comatrice (formule de Cayley)
˚ Formules de Cramer
‚ Caractère polynomial du déterminant
˚ Rien de très formel dessus, mais être conscient de ce caractère polynomial pour exploiter des méthodes polynomiales liées à la rigidité, ou pour exploiter une propriété de continuité surRouC, afin de récupérer certains cas particuliers par passage à la limite.
‚ Déterminant de Vandermonde
˚ Par opérations sur les lignes/colonnes
˚ Par méthode polynomiale.
Chapitre 29 : Espaces probabilisés
NOUS N’ABORDERONS LES EXERCICES SUR CE THÈME QUE LUNDI. Vous pouvez cependant poser des exercices sur ce chapitre, en dernière partie de colle, notamment en deuxième moitié de semaine.
1. Espaces probabilisables
‚ Langage probabiliste.
‚ Tribus (ouσ-algèbres). Propriétés élémentaires.
‚ Espace probabilisable.
‚ Intersection de tribus, tribu engendrée.
‚ Tribu engendrée par les sigletons d’un univers au plus dénombrable.
‚ Tribu des boréliens deR. Différents systèmes de générateurs.
‚ Tribu des boréliens deRn (ici juste la définition) 2. Espaces probabilisés
‚ Mesure de probabilité. Propriétés élémentaires.
‚ Propriété de continuité monotone.
‚ Application aux limites supérieures et inférieures.
‚ Espace probabilisé : modèle de Kolmogorov
‚ Détermination d’une mesur de probabilité sur un univers au plus dénombrable par l’image des singletons.
‚ Mesure de probabilité uniforme sur un univers fini. Formule de Laplace.
‚ Ensembles négligeables et quasi-certains. Un exemple.
3. Conditionnement et indépendance
‚ Probabilités conditionnelles.PB est une mesure de probabilité.
‚ Événements indépendants. Mutuelle indépendance.
‚ Un exemple de variables indépendantes 2 à 2 mais pas mutuellement.
‚ L’indépendance (mutuelle) est stable par complémentation d’un ou plusieurs des termes de la famille.
4. Théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités
‚ Notion de système quasi-complet d’événements (SQCE).
‚ Formule des probabilités totales.
‚ Formule des probabilités composées
‚ Formule de Bayes.
5. Bilan des méthodes calculatoires
‚ Principe général : decription ensembliste de l’événement.
‚ Comment calculer la probabilité d’une union, d’une intersection...
‚ Cas d’une discussion suivant l’issue d’une première expérience.
‚ Remarque sur le fait que les formules classiques peuvent aussi s’utiliser pour les mesures de probabilités conditionnelles.
‚ Attention, la notion d’indépendance dépend de l’espace probabilisé, et n’est pas stable par condtionnement.
Exemple.
LES VARIABLES ALÉATOIRES NE SERONT VUES QU’EN COURS DE SEMAINE
