ECE1 Année 2018-2019
Fiche d’exercices : LIMITES
Exercice 1 : (∗)
Calculer si elles existent les limites suivantes : 1. lim
x→0x+e−1/x2 2. lim
x→−∞
x2+ex
1 + 1/x 3. lim
x→−∞
px2+ 1−x 4. lim
x→+∞
√5x x
5. lim
x→1
x>1
x+ 1
x−1 6. lim
x→0
x>0
ln(x) +x
x2+ex 7. lim
x→+∞
1 +e−x
ln(x) + 2 8. lim
x→+∞x1/3+ ln(x)− 1 x2+ 1
9. lim
x→+∞
x2+x
√x 10. lim
x→+∞x2−√
x 11. lim
x→−∞
ex+ ln(1 +x2)
e2x 12. lim
x→+∞
ln(2x) ln(x)
13. lim
x→+∞
√x 1 +√
x
Exercice 2 : (∗)
Calculer si elles existent les limites suivantes : 1. lim
x→0
x>0
xx 2. lim
x→−∞
x2ex+ 1
x 3. lim
x→0
x<0
1
xex1 4. lim
x→+∞
ex+ ln(x) x√
x
5. lim
x→+∞
ln(2x)
x 6. lim
x→+∞ex−x2 7. lim
x→+∞2 ln(x)−x3 8. lim
x→0
x>0
x2ln(2x) e√x+ 1
9. lim
x→+∞
ex−e−x
ex+e−x 10. lim
x→+∞x−√
x 11. lim
x→+∞
x3−ln(x) x3+x
Exercice 3 : (∗)
Calculer les limites suivantes : 1. lim
x→0(x+ 1) ln(x) 2. lim
x→0
x
ex−1 3. lim
x→+∞(x+ 1)ex 4. lim
x→+∞
2x−1 3x+1
5. lim
x→−∞x−px2+ 1 6. lim
x→+∞
ln(1 +1x)
e−x+ex 7. lim
x→+∞e−x−√3 x
Exercice 4 : (∗∗)
Calculer si elles existent les limites suivantes :
1
1. lim
x→+∞
e2x
x2 2. lim
x→+∞
2x
√4
x 3. lim
x→+∞
ln(3x)
x2 4. lim
x→−∞
√3
x2ex
5. lim
x→+∞
ex+x
x 6. lim
x→0
x2
ex−1 7. lim
x→+∞
ex+1
x2 8. lim
x→+∞
ln(1 +x2) x2
9. lim
x→+∞
√x 1 +√
x 10. lim
x→0+xx 11. lim
x→0+
x−√ x
x+ ln(x) 12. lim
x→−∞
√ x2+x x+ 1
13. lim
x→+∞
√3
x3+ 1
x+ 1 14. lim
x→+∞ln
Åx+ 1 x+ 2 ã
15. lim
x→+∞
x2+xln(x) + 1
√x+ ln(x)
Exercice 5 : (∗∗) Calculer si elles existent : 1. lim
x→+∞x−px2+ 1 2. lim
x→+∞
x+ 1
√x+ 2− x+ 1
√x+ 3 3. lim
x→−∞x+px2+ 1 Exercice 6 : (∗∗)
Calculer si elles existent : 1. lim
x→3
√x+ 1−2
x−3 2. lim
x→0
ln(1 + 2x)
x 3. lim
x→+∞x2ln(1 +e1x)
Exercice 7 : (∗∗) Calculer si elles existent : 1.lim
x→0(1 +x2)1x 2. lim
x→+∞
Å 1 + 2
x ãx
3. lim
x→+∞
Å 1−1
x ãln(x)
Exercice 8 : (∗∗)
Etudier les limites des fonctions suivantes enx0. 1. f est définie sur R∗ par : f(x) =xex1 (x0 = 0).
2. f est définie sur Rpar : f(x) = 0 six61 etf(x) =xln(ln(x)) si x >1 (x0 = 1).
Exercice 9 : (∗ ∗ ∗)
Soient deux réels strictement positifs aetb. Calculerlimx→+∞(ln(x))a xb . Exercice 10 : (∗ ∗ ∗)
On considère la fonction f définie sur R∗ par : f(x) =xöx1ù.
1. Exprimerf(x) pourx >1. En déduire la limite de f en+∞.
2. S’inspirer de la question précédente pour déterminer la limite de f en−∞
3. (a) Montrer que ∀x >0, 1−x < f(x)61. En déduire quef admet une limite à droite en 0.
(b) Montrer de même quef admet une limite à gauche en 0.
Exercice 11 : (∗ ∗ ∗)
1. Montrer que : ∀x∈R, 12 6 2−(x−bxc)1 61 2. En déduire la valeur de lim
x→+∞
x 2−(x− bxc)
2
Exercice 12 : (∗ ∗ ∗)
On considère la fonction f définie sur R∗ par : f(x) =x õ1
x û
.
1. Exprimerf(x) pourx >1. En déduire la limite de f en+∞.
2. S’inspirer de la question précèdente pour déterminer la limite de f en−∞.
3. (a) Montrer que ∀x >0, 1−x < f(x)61. En déduire quef admet une limite à droite en 0.
(b) Montrer de même quef admet une limite à gauche en 0.
Exercice 13 : (∗∗)
Soit f la fonction définie sur R\{1} par :
∀x∈R\{1} f(x) = 1 +xexp Å 1
1−x ã
1. Déterminer les limites aux bornes de Df. 2. Calculer lim
x→+∞x Å
exp Å 1
1−x ã
−1 ã
. 3. Etudier les branches infinies de f.
3
