Développements limités.

D´eveloppements limit´es 1

Arthur LANNUZEL

le 4 Janvier 2009

D´ eveloppements limit´ es

1 D´ efinitions et propri´ et´ es.

Soient f : D ⊂R−→ R, x₀ ∈R. On suppose que f v´erifie (H_x0) (voir chapitre sur les limites de fonctions).

D´efinition 1.1 On dit que f admet en x₀ un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n ∈ N, s’il existe un polynˆome Pn de degr´e n, α > 0 et une fonction :]x0−α, x0 +α[−→R convergeant vers 0 en x₀ tels que

∀x∈]x₀−α, x₀+α[∩D, f(x) =P_n(x−x₀) + (x−x₀)ⁿ.(x).

P_n s’appelle la partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e.

Si P_n6= 0, son monˆome de plus bas degr´e est appel´e partie principale.

Exemples 1.2 e^x, sin, cos.

Remarque 1.3 i) (x−x₀)ⁿ.(x) est aussi not´e o((x−x₀)ⁿ).

ii) Grˆace `a un changement de variable, on peut se ramener au cas x₀ = 0.

Propri´et´es 1.3.1 i) Le d´eveloppement limit´e en x₀, s’il existe, est unique.

ii) Si f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n en x<sub>0</sub> alors, pour tout p < n, f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre p en x₀.

iii) Si f admet un d´eveloppement limit´e en x₀, alors f est continue ou prolongeable par conti- nuit´e en x₀.

iv) Si f admet un d´eveloppement de Taylor `a l’ordre n en x<sub>0</sub> alors f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n en x₀.

D´eveloppements limit´es 2

Preuve.

i) Prenons x₀ = 0.

Supposons

f(x) = a₀+a₁.x+...+a_n.xⁿ+xⁿ.₁(x) sur ]−α, α[ avec ₁(x) convergeant vers 0 en 0 et f(x) = b₀+b₁.x+...+b_n.xⁿ+xⁿ.₂(x) sur ]−β, β[ avec ₂(x) convergeant vers 0 en 0.

Alorsa₀+a₁.x+...+a_n.xⁿ+xⁿ.₁(x) =b₀+b₁.x+...+b_n.xⁿ+xⁿ.₂(x) sur ]−α, α[∩]−β, β[.

En faisant tendre x vers 0, on a alorsa₀ =b₀.

On divise ensuite parx et on fait de nouveau tendre x vers 0 alors a₁ =b₁. Et ainsi de suite.

ii) ´evident

iii) En effet, f(x) =P_n(x−x₀) + (x−x₀)ⁿ.(x) admet une limite en x₀. iv) clair.

CQFD

2 Op´ erations.

Soient f, g :D ⊂R−→Radmettant des d´eveloppements limit´es en 0 `a l’ordre n tels que : f(x) = a₀+a₁.x+...+a_n.xⁿ+xⁿ.₁(x) sur ]−α, α[∩D avec ₁(x) convergeant vers 0 en 0 et g(x) =b₀+b₁.x+...+b_n.xⁿ+xⁿ.₂(x) sur ]−β, β[∩D avec₂(x) convergeant vers 0 en 0.

Alors

1)f+g admet un d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre n de partie r´eguli`ere la somme de celles def et de g.

2)f×g admet un d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordren de partie r´eguli`ere les termes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n du produit de celles de f et de g.

Exemples 2.1 Trouver le d´eveloppement en 0 `a l’ordre 5 de f(x) = (cos(x)−1).e^x.

3) Supposonsg(0) 6= 0 (i.e. b₀ 6= 0), alors ^f_g admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordren en 0 de partie r´eguli`ere ´egale au quotient suivant les puissances croissantes `a l’ordre n de P par Q o`u P etQ sont les parties r´eguli`ere respectives de f et g.

Exemples 2.2 Trouver le d´eveloppement en 0 `a l’ordre 5 de f(x) = tan(x).

4) Supposonsf(0) = 0 (i.e. a0 = 0), alorsg◦f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre nen 0 de partie r´eguli`ere les termes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an deQ◦P o`uP etQ sont les parties r´eguli`ere respectives de f etg.

Exemples 2.3 Trouver le d´eveloppement en 0 `a l’ordre 3 de f(x) = _1−sin(x)¹ .

D´eveloppements limit´es 3

5) Supposons f continue sur ]−α, α[ alors F(x) =R

f(t)dt admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n+ 1 et F(x) = R

P(x)dx+xⁿ⁺¹₃(x) +K avec K =F(0).

Exemples 2.4 Trouver le d´eveloppement en 0 `a l’ordre 6 de f(x) = ln(1 +x).

Remarque 2.5 ATTENTION !

Si f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n et est d´erivable, on n’a pas obligatoirement un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n−1 de f⁰.

Exemple : f(x) =x².sin(¹_x) en 0 admet un d´eveloppement limit´e et f⁰(x) = 2xsin(¹_x)−cos(¹_x) n’admet pas de limite en 0 (donc pas de d´eveloppement limit´e).

Par contre si f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n >0 en 0 et si on sait que f⁰ admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n−1 en 0 alors la partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e de f⁰ s’obtient en d´erivant celle du d´eveloppement limit´e de f.

Exercice 2.6 1) D´eveloppement limit´e en 0 de _1+sin(x)^cos(x) `a l’or.

2) Prolonger par continuit´e en 0 la fonction d´efinie sur ]−π,0[∪]0, π[ par f(x) = (^sin(x)_x )^x32.

3 D´ eveloppement limit´ e ` a l’infini.

D´efinition 3.1 1) On dit quex7→f(x) admet un d´eveloppement limit´e en +∞`a l’ordre n ssi x 7→ f(¹_x) admet un d´eveloppement limit´e en 0⁺. Dans ce cas, si localement (sur ]0, α[) f(_x¹) = Pn(x) +xⁿ.(x) avec lim₀⁺(x) = 0 alors f(x) = Pn(_x¹) + _x¹n(¹_x) sur un intervalle du type ]A,+∞[ (et lim+∞(_x¹) = 0).

2) On dit que x7→f(x) admet un d´eveloppement limit´e en −∞ `a l’ordre n ssi x7→f(¹_x) admet un d´eveloppement limit´e en0⁻. Dans ce cas, si localement (sur ]−α,0[) f(¹_x) =P_n(x) + xⁿ.(x) avec lim₀⁻(x) = 0 alors f(x) =P_n(¹_x) + _x¹n(¹_x) sur un intervalle du type]− ∞, A[ (et lim−∞(_x¹) = 0).

Exemples 3.2 Trouver la limite lorsque x tend vers +∞ de e^1x −cos(_x¹)

1−q 1− _x¹2

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