1.1 Fonction numérique 1.1.1 Notion de fonction

(1)

x f y = f (x)

Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.

1 Rappels de généralités

1.1 Fonction numérique 1.1.1 Notion de fonction

Une fonction numérique f, d’un ensemble Df de ℝ vers un ensemble f (Df) de ℝ, fait correspondre à tout élément x de Df un élément ydef (Df) et un seul, noté f (x).On note : ^{f x}^: ^֏ ^{f x}

( )

ensemble de définition de f ensemble image de f

Exemples de fonctions :

Les fonctions linéaires : x֏ ax , a∈ℝ Les fonctions affines : ^x^֏^ax⁺^b ^,

( )

^{a b}^, ^∈^ℝ²

Les fonctions polynomiales du second degré : ^x^֏^ax²⁺^bx⁺^c ^,

(

^{a b c}^{, ,}

)

^∈^ℝ^*^×^ℝ²

1.1.2 Courbe représentative

Le plan étant rapporté à un repère cartésien, on appelle courbe représentative de la fonction fl’ensemble Cf

des points M du plan de coordonnées

(

^{x y}^, ⁼ ^{f x}

( ) )

^.

1.1.3 Recherche de domaine de définition

Déterminer le domaine de définition est la première étape de l’étude d’une fonction. Celui-ci est généralement un intervalle ou une réunion d’intervalles de ℝ. Il s’agit de déterminer quels réels x ont une image par f, c’est à dire pour quelles valeurs de x le nombre f (x) existe.

( )

u x étant une expression de x :

Les fonctions de la forme : ^{u x}

( )

ne sont pas définies pour ^{u x}

( )

_{< 0.}

Les fonctions de la forme :

( )

u x

1 ne sont pas définies pour ^{u x}

( )

^{= 0.}

Les valeurs de x pour lesquelles une fonction n’est pas définie sont nommées : « valeurs interdites ».

Exemples :

* f x: ֏ 4−x² : l’expression est valide pour ⁴^{− ≥}^x² ⁰ ^{⇔ ≤ ⇔ ≤}^x² ⁴ ^x ² : ^D^f ^{= −}

[

^{2 2}^;

]

* : la fonction f est définie pour

1.2 Composition de fonctions 1.2.1 Généralité

Procédé qui consiste, à partir de deux ou plusieurs fonctions, d’en construire une nouvelle, par

« emboîtements ». Pour cela, on utilise les images par x de la première fonction comme arguments pour la seconde. On parle alors de fonction composée : ^x^→^f ^{f x}

( )

^→^g ^{g f x}

( ( ) )

On note g f , « g rond f », la fonction telle que ^g ^{f x}

( )

⁼^{g f x}

( ( ) )

^.

Il faut que l’ensemble d’arrivée de la fonction fsoit inclus dans l’ensemble de définition de la fonction g.

Bien vérifier la compatibilité des domaines de définition.

( )

^f

f D

{ }

: \ ;

2− ≠4 0 ⇔ ≠2 _f =ℝ −2 2

x x D

Df

: ₂1

−4 f x֏

x

(2)

1.2.2 Fonctions réciproques

Deux fonctions f et g sont dites réciproques si, et seulement si, pour tout x, ^g ^{f x}

( )

⁼^x^.

Cela implique que l’ensemble d’arrivée de f soit le domaine d’étude de g et que le domaine de valeurs de x soit l’ensemble d’arrivée de g.

On note alors g = f^-1 (ou bien indistinctement f = g^-1).

Représentation graphique :

Dans le plan muni d’un repère cartésien, à tout point M(x, f (x)) de la courbe représentative de la fonction f correspond le point M’(f(x), x) de la courbe

représentative de la fonction f ^-1. Notons b = f (a). Alors a = f ^-1(b).

Les deux courbes sont alors symétriques l’une de l’autre par rapport à la première bissectrice des axes (droite d’équation y = x).

Exemples : * la fonction carrée, de [0 ; +∞[ vers [0 ; +∞[, et la fonction racine carrée, de [0 ; +∞[ vers [0 ; +∞[, sont réciproques : pour tout réel x positif, √(x²) = (√x)² = x.

* les fonctions ln et exp (représentation graphique au-dessus), sur leurs domaines entiers, sont réciproques.

2 Propriétés

2.1 Parité

Soit f une fonction définie sur un ensemble E symétrique autour de zéro.

f est paire ssi : ^{∀ ∈}^x ^E^, ^f

( )

^{− =}^x ^{f x}

( )

Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf) admet l’axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie et pour étudier f, il suffit de l’étudier sur ^E^{∩ +∞}

[

⁰^;

[

^.

f est impaire ssi : ^{∀ ∈}^x ^E^, ^f

( )

^{− = −}^x ^{f x}

( )

Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf) admet l’origine comme centre de symétrie et pour étudier f, il suffit de l’étudier sur ^E^{∩ +∞}

[

⁰^;

[

^.

Fonction impaire : la fonction inverse Fonction paire : la fonction carré f (x) = 1/x f (x) = x²

Vérifier si une fonction est paire ou impaire permet de diviser en 2 le domaine d’étude.

(3)

2.2 Sens de variation d’une fonction 2.2.1 Définitions

Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles et définies sur des intervalles de ℝnon réduits à un point. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ_.

On dit que f est :

croissante sur I ssi : ^∀

(

^{x x}¹^, ²

)

^{∈ ×}^I ^I^{tels que}^x1^≤^x2on a ^{f x}

( )

1 ^≤ ^{f x}

( )

2

f a toujours le même effet sur la relation d’ordre : l’ordre qui existe entre 2 réels se retrouve dans l’ordre de leurs images. C’est-à-dire que la variable et la fonction varient dans le même sens.

Pour une fonction strictement croissante, les inégalités de l’encadré deviennent strictes.

décroissante sur I ssi : ^∀

(

^{x x}1^, 2

)

^{∈ ×}^I ^I tels que x₁≤x₂on a ^{f x}

( )

1 ^≥ ^{f x}

( )

2

Dans ce cas, la variable et la fonction varient en sens contraires.

Pour une fonction strictement décroissante, les inégalités de l’encadré deviennent strictes.

fonction croissante fonction décroissante

Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle y est croissante ou alors décroissante.

Une fonction

strictement monotone est une bijection.

Exemple 1 : ∀ ∈x ℝ, E(x) est la partie entière de x, unique entier k∈ℤ_{tel que}_k_{≤ < +}_x _k ₁_. E(2,6) = 2 ; E(p) = 3 ; E(0,25) = 0 ; E(10) = 10 ; E(1,95) = 1 ; E(-4,3) = -5 ; E(-0,25) = -1 ; etc.

La fonction partie entière est croissante sur ℝ, mais elle n’y est pas strictement croissante car elle est constante sur chaque intervalle

[

^{k k}^; ⁺¹

[

^.

Exemple 2 : Une fonction affine est monotone sur ℝ. Soit f (x) = ax + b.

f est constante ssi a = 0

f est strictement croissante ssi a > 0 f est strictement décroissante ssi a < 0 Exemple 3 : Soit la fonction carré, d’expression f (x) = x².

Pour tous x et x’ positifs et tels que x < x’ ; on a xx < xx’ < x’x’, c’est à dire x² < x’² Donc la fonction f est strictement croissante sur ℝ^*₊.

Or cette fonction est paire, puisque f (-x) = f (x), ce qui nous suffit pour conclure qu’elle est strictement décroissante sur ℝ^*₋.

2.2.2 Extremums d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. On dit que f admet :

• un maximum M si l’ensemble f (I) admet un plus grand élément M : Il existe x0 dans I tel que ^{∀ ∈}^x ^I^, ^{f x}

( ) ( )

^≤ ^{f x}0 , noté M .

• un minimum m si l’ensemble f (I) admet un plus petit élément m : Il existe x0 dans I tel que ^{∀ ∈}^x ^I^, ^{f x}

( ) ( )

^≥ ^{f x}0 , noté m .

(4)

Exemple :

Sur l’intervalle I = [-1 ; 4], la fonction f d’expression

( )

^x

f x = x

+ ² 3

1 admet : un maximum : ^f

( )

¹ ⁼³₂

un minimum : ^f

( )

^{− = −}¹ ³₂

2.2.3 Tableau de variations d’une fonction

Le tableau de variations est un résumé des renseignements que nous avons sur la croissance d’une fonction. Dans tout tableau de variations :

On repère sur la première ligne la variable x parcourant son ensemble de définition.

On découpe Df en autant d’intervalles sur lesquels la fonction est monotone.

On signale d’une flèche montante la croissance de la fonction, descendante la décroissance de la fonction, et horizontale la constance d’une fonction

Si elles existent, on peut noter les valeurs du maximum ou du minimum de la fonction f sans oublier les valeurs de x en lesquels ils sont atteints.

Voici par exemple la courbe et le tableau de variations de la fonction f : x → 2x³ – 3x² – 1

x -1 0 1 2

-1 3

-6 -2

f

Variations de cette fonction sur [-1 ; 2] :

La fonction f est strictement croissante sur [-1 ; 0[, strictement décroissante sur ]0 ; 1[, strictement croissante sur ]1 ; 2].

Son maximum est 3, atteint lorsque x = 2

Son minimum est -6, atteint lorsque x = -1

-1 est maximum local en x = 0 -2 est minimum local en x = 1

(5)

3 Dérivation

3.1 Approche du nombre dérivé

Le mathématicien et physicien anglais Newton et le mathématicien et philosophe allemand Leibniz (auquel on doit le nom de fonction), au tournant des XVII^ème et XVIII^ème siècles, ont étudié les caractéristiques des variations des fonctions ainsi que les propriétés des tangentes aux courbes.

C’est ainsi qu’est apparue la « dérivation ».

Une grandeur « y », exprimée en fonction d’une (ou plusieurs) autre « x » qu’on appellera « variable », n’évolue pas forcément à vitesse constante lorsque sa variable le fait. C’est la recherche de cette vitesse de variation qui a donné mathématiquement la notion de dérivée de la fonction.

On définit la vitesse de variation de y entre deux points A et B d’une courbe comme étant le rapport de la variation de y par celle de x. y

V x

=∆

∆

Cela porte aussi le nom de taux de variation pour la fonction considérée, et de pente pour le segment [AB]

(ce qui définit également la tangente de l’angle

( )

ⁱ^,AB dans un repère orthonormé).

Lorsque deux points A et B sont choisis, cette vitesse V, ainsi définie, est la vitesse moyenne de variation de y lorsque sa variable évolue de x jusqu’à x+∆x.

On peut se demander quelle est la vitesse instantanée de variation de y, pour une valeur x fixée, c’est à dire quelle est la pente de la courbe au point A, limite de V (si elle existe) lorsque ∆x tend vers 0.

Le nombre dérivé de la fonction en x est cette vitesse instantanée au point A, et il dépend de x.

Une dérivée nulle pourra donc signaler, entre autres, un sommet de la courbe, c’est à dire un maximum ou un minimum pour y. Le calcul des dérivées trouve de nombreuses applications :

• Recherche d’optimums, approximation locale d’une fonction d’expression ardue par une fonction dont l’étude est connue et rapide (par exemple : remplacement d’une courbe par sa tangente) :

« développements limités », qui sont utilisés par nos calculatrices pour calculer un sinus par exemple.

• Études des mouvements mécaniques : vitesses, accélérations…

• Études économiques : coût marginal, élasticité, etc.

• Intensité instantanée de courant électrique : lim

0 t

i q

∆ → t

= ∆

∆ qui est la dérivée de la quantité d’électricité transportée en fonction du temps.

(6)

3.2 Dérivée d’une fonction 3.2.1 Définition

Soit f une fonction réelle d'une variable réelle x définie sur un intervalle ouvert I de

ℝ

et a ∈ I.

On dit que f est dérivable en a si son taux de variation entre a et x admet deux limites finies lorsque x tend vers a en lui étant inférieur et en lui étant supérieur, et si ces deux limites sont égales.

Cette limite est alors appelée nombre dérivé de la fonction f en a, :

( )

_lim

( ) ( )

x a

f x f a f a

x a

→

′ = −

−

L’expression précédente donne la valeur de la dérivée, quel que soit a. Cette dérivée prend donc le statut de fonction d’un réel x : la fonction dérivée f ’ de la fonction f est donnée par :

( )

_lim

( ) ( )

h

f x h f x

f x

→ h

′ = + −

0

Nous avons ici changé de notation pour passer d’une définition ponctuelle sur un réel a à une définition générale quel que soit le réel x (voir ci-dessous les deux schémas qui illustrent les deux définitions ci-dessus).

Dans le cas d’une fonction dérivable en x, notons que lorsque ∆x, donc h, tend vers 0, il devient une dimension infinitésimale et on peut le noter dx : différentielle de x. De même, la variation infinitésimale associée de y est la différentielle de y : dy. Ainsi, on admettra cette notation que la physique a adoptée : ^f

( )

^x ^y

′ =dx d .

3.2.2 Interprétation graphique de la dérivée

Dérivée et tangente :

(7)

3.2.3 Liens entre dérivée et variations d’une fonction

De l’interprétation graphique de la dérivée, on déduira aisément les propriétés suivantes : (I représente un intervalle de ℝ₎

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) > 0 ⇔ f est strictement croissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) < 0 ⇔ f est strictement décroissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) = 0 ⇔ f est constante sur I.

• Pour un unique a ∈ I, f ’(a) = 0 ⇔ La courbe de f admet un sommet (f (a) est un minimum ou un maximum) ou un point d’inflexion. Voir ci-dessous :

En d’autres termes, lorsqu’on veut étudier les variations d’une fonction, chercher à résoudre f ’(x) = 0 n’est d’aucune utilité (puisqu’une dérivée nulle en un point signifierait qu’on se trouve dans l’une des quatre situations ci-dessus sans savoir laquelle).

Il convient d’étudier le signe de la dérivée, en résolvant f ’(x) > 0 ou f ’(x) < 0 (au choix).

3.3 Expressions de dérivées de quelques fonctions 3.3.1 Dérivée d’une constante

( ) (

0

) ( )

0 0

f x =k⇒∆ =y f x + ∆ −x f x = − =k k et ce ∀x₀et∀∆ = −x x x₀. Donc, pour tout x0 nous avons : lim

0

x x

y

→ ∆ =x

∆ La dérivée d’une valeur constante est nulle

3.3.2 Dérivée de la fonction identité

( ) ( ) ( )

f x =x⇒∆ =y f x0+ ∆ −x f x0 = + ∆ − = ∆x0 x x0 x et ce ∀x₀et∀∆ = −x x x₀^. Donc, pour tout x0 nous avons : lim

0

1

x x

y

→ ∆ =x

∆

La fonction identité admet une dérivée égale à 1

(8)

3.3.3 Opérations usuelles sur les dérivées

Soient u et v deux fonctions dérivables dont les dérivées respectives sont u’ et v’.

• Dérivée d’une fonction multipliée par une constante :

( )

^λ^u ^′⁼^λ^.^u^′

• Dérivée de la somme de deux fonctions :

(

^u⁺^v

)

^′ ⁼ ^u^′⁺^v^′

• Dérivée du produit de deux fonctions :

( )

^{u v}^. ^′⁼ ^{u v}^′^. ⁺^{u v}^. ^′

• Dérivée d'une puissance réelle d'une fonction :

( )

^uⁿ ^′⁼^{n u u}^{. .}^′ ⁿ⁻¹

• Dérivée de l’inverse d’une fonction : ^v

v v

′ ′

  = −

   ² 1

• Dérivée du quotient de deux fonctions : ^u ^{u v} ^uv

v v

′ ′ − ′

  =

   ²

3.3.4 Bestiaire de dérivées

f (x) f ’(x) (f o u) (x) (f o u)’ (x)

k (terme constant) 0

x 1 u u’

kx k ku ku’

x² 2x u² 2u’u

x³ 3x² u³ 3u’u²

x^α_,α∈ℝ

α

.x^α⁻¹ ^u^α α ^u’u^α^{- 1}

x 1

2 x u

2 u

u

′

1

x ²

−1 x

1

u ²

−u′ u

3.3.5 Equation de la tangente à la courbe

Si un réel a se trouve à l’intérieur d’un intervalle où la fonction est continue et dérivable, alors on définit une unique droite, appelée tangente à la courbe de f, contenant le point ^A

(

^{a f a}^,

( ) )

et de pente ^f^′

( )

^a ^.

L’équation de la tangente en a est :

^y ^{= −} ( ^{x a f a} ) ( ) ( ) ^′ ⁺ ^{f a}

^.

(9)

4 Etude de fonctions spécifiques

4.1 Fonctions constantes

^{f x}

( )

⁼^k

Une fonction constante est définie sur ℝ et l’image de tout réel x est le même nombre, k.

Dérivée : f ’(x) = 0

Limites : _x^lim_→+∞^{f x}

( )

⁼_x^lim_→−∞^{f x}

( )

⁼^k

Tableau de variations : x

f ’(x) 0

f

Représentation graphique : droite horizontale d’équation y = k

4.2 Fonctions affines

^{f x}

( )

⁼^{ax b}⁺

^avec ( )

^{a b}^, ^∈^ℝ²

Dérivée : f ’(x) = a Limites : limite infinie en l’infini, dépendant du signe de a Tableau de variations :

f est strictement croissante ssi a > 0 x

f ’(x)

+

f

( )

xlim f x

→+∞ = +∞^et_x^lim_→−∞ ^{f x}

( )

^{= −∞}

f est strictement décroissante ssi a < 0 x

f ’(x)

-

f

( )

xlim f x

→+∞ = −∞^et_x^lim_→−∞ ^{f x}

( )

^{= +∞}

Représentation graphique : Droite d’équation : y = ax + b

a est appelé pente ou coefficient directeur de la droite.

Il mesure l’accroissement (éventuellement négatif) de la valeur f (x) correspondant à un accroissement de la valeur x égal à 1

La droite coupe l’axe des ordonnées en

y = b (ordonnée à l’origine) +1

+3

∞

∞ +

−

y = 3x - 2

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

(10)

Fonction identité : ^{f x}

( )

⁼^x ^f^′

( )

^x ⁼¹ Fonction opposé : ^{f x}

( )

^{= −}^x ^f^′

( )

^x ^{= −}¹

Fonction Valeur absolue : ^{f x}

( )

⁼^{| |}^x

C’est une fonction affine par morceaux.

( )

xlim f x

→−∞ = +∞^et_x^lim_→+∞ ^{f x}

( )

^{= +∞}

x > 0 ⇔ f (x) = |x| = x x < 0 ⇔ f (x) = |x| = -x x ≥ 0 ^⇔

( )

^x ²⁼^x ^x^{∈ ⇔} ^x ⁼ ^x

ℝ 2

4.3 Fonction carré et fonctions du second degré

f (x) = x² f ’(x) = 2x Fonctions du second degré : f (x) = ax² + bx + c (a non nul) f ’(x) = 2ax + b

Les courbes représentatives de ces fonctions sont les paraboles d’axes de symétrie parallèles à (Oy) d’équation b

x= − a 2 , de

sommet ;

2 4 S b

a a

− −∆

 

 

 ^.

Ces fonctions présentent un extremum pour b x= − a

2 (minimum si a > 0 et maximum si a < 0).

(11)

4.4 Fonction racine carrée

( )

x→f f x = x

( )

¹² ¹ ¹² ¹

2 2

f x x x

x

′ −

 

′ =  = =

 

Tableau de variation

x 0

f ’(x)

+

f

0

La fonction n’est pas définie pour x < 0

( )

xlim f x

→+∞ = +∞

+∞