Partie A 1/ Soit g la fonction définie sur Par : . Déterminer le signe de 2/ Soit h la fonction définie sur Par : a) Dresser le tableau de variation de h. b) En déduire le signe de h.

(1)

Série n° 7 d’exercices non corrigés sur la fonction logarithme

EXERCICE 1

A) Soit f la fonction définie sur l'intervalle] 1; [par : ( ) 2 ln( 1) 1

f x x x

 x  



1) Calculer f x( ), étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f.

2) Calculer f(0) . Montrer que l'équation ^{f x}

 

^⁰ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par  ,appartient à



0, 72 ; 0, 71



.

3) Donner le signe de ^{f x , pour}

 

^x^{  }^] ^1; ^[^.

B) Soit g la fonction définie sur l'ensemble ^D^{ }



^{1; 0}



^^]^{0 ;}^^[^{par :}

 

2

ln(x 1) g x x



1) a) Calculer les limites de

 

0

lim

x

g x

 et

 

0

lim

x

g x



b) Calculer

 

1

lim

x _g x

 et ^lim

 

x g x



2) a) Calculer ^{g x}^

 

b) Montrer que

 

¹

2 ( 1)

g    

 .

En déduire une valeur approchée de g( ) en prenant 0, 715. 3) a) Dresser le tableau de variation de la fonction g.

b) Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormé



O i j ^{; ;}



i 2cm et j 1cm

4) Soit h la fonction définie sur D par :

 

2

ln( 1) 1

( 1) x

h x x

x x

  

 a) Déterminer des fonctions u et v telles que

^{h x}

 

⁼^{u x v x}^

       

^. ⁺^{u x v x}^. ^

et en déduire une primitive de h.

b) Déterminer une primitive de la fonction 1 ( 1) x x x c) Déduire des questions précédentes, une primitive de g.

EXERCICE 2

Partie A

1/ Soit g la fonction définie sur IR_ Par : ^{g x}

  

^{ }¹ ^x



^ln^x^^x . Déterminer le signe de ^{g x}

 

2/ Soit h la fonction définie sur IR_ Par : ^{h x}

 

^^ln^x^^x

a) Dresser le tableau de variation de h.

b) En déduire le signe de h.

Partie B

Soit f la fonction définie sur IR_^ Par : ^{f x}

 

^^{ln ln}^x⁽ ^x^^x⁾^.

On désigne par

 

^C^f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



Montrer que f est dérivable sur IR_^ et que ^f

 

^x ^{g x}^{( )} ^{h( )}^x

x

  

(2)

Dresser le tableau de variation de f.

Etudier les branches infinies de

 

^C^f ^.

a) Déterminer le point d’intersection de

 

Cf avec l’axe des abscisses.

b) Déterminer une équation de tangente T à

 

^C^f au point d’abscisse 1 c) Vérifier que le point A(e,-e+1) est un point d’intersection de

 

^C^f ^{avec T.}

5- Construire

 

Cf et T.

Soit ]0;1[et D la partie du plan limitée par

 

^C^f ,l’axe des abscisses et les droites d’équations xetx1.

Calculer à l’aide, d’une intégration par parties : ¹ln²x dx



 ^et



¹^x^ln^{x dx}^.

En déduire, à l’aide de  , l’aire A( ) de D.

Déterminer :

0

(

im )

l A

 _ 



a) Monter que f réalise une bijection de IR_^ sur un intervalle J à préciser.

b) Tracer dans le même repère la courbe de

 

Cf¹ . EXERCICE 3

Partie A

Soit f la fonction définie sur



^0;^



^{\ 1}

 

^par

 

¹ ¹

f x ln

x x

 

On désigne par

 

^C^f la courbe de f dans un repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



1- Calculer

0

lim ( )

x _ f x

 ;

1

lim ( )

x _ f x

 ;

1

lim ( )

x _ f x

 et lim ( )

x f x

 Interpréter géométriquement les résultats.

2- a) Montrer que f est dérivable sur



^0;^



^{\ 1}

 

^{par :}

 

²

2

1 1

ln f x

x x x

  

b) Dresser le tableau de variation de f.

3- Soit h la restriction de f sur

 

^0;1 ^.

a- Montrer que h réalise une bijection de

 

^0;1 sur un intervalle J que l’on précisera.

b- Montrer que l’équation ^{h x}

 

^⁰ admet dans ]0;1 [ une unique solutionet que ^0,5  ^{0, 6} .

c- En déduire que

 

^C^f coupe l’axe des abscisses en un seul point que l’on précisera.

4- Tracer

 

Cf .

5- Tracer dans le même repère la courbe représentative de la fonction h 6- a) Montrer que : h( )  ₃¹



   

b) Montrer que h^¹est dérivable en 0 et exprimer

 

^h^¹ ^

 

⁰ en fonction de.

Partie B

Soit g la fonction définie sur



^1;^



par : ^{g x}

 

^²^{f x}⁽ ²⁾^.

On désigne par

 

Cg la courbe de g repère



^{O i j .}^{; ;}



1- Vérifier que pour tout^x^{ }



^1;



,

   

2

1 2

f x g x

x x

   2- En déduire la position relative de

 

Cf et

 

Cg sur



^1;^



^.

(3)

3- Soit^x^



^2;^



, on désigne par M et N les points respectifs de

 

^C^f ^et

 

^C^g d’abscisse 𝑥.

Pour quelle valeur de x , la distance NM est-elle maximale ?.

EXERCICE 4 PARTIE A

On considère la fonction g définie sur



^0;^



^{par :}

 

¹ ^ln

2 1

g x x x

x

  



1. Etudier le sens de variation de g

2. Montrer que l’équation ^{g x}

 

^⁰ admet une unique solution  dans



^0;^



Donner un encadrement de  d'amplitude 0,1 3. Déterminer le signe de ^{g x sur}

  

^0;^



PARTIE B

On considère la fonction f définie sur



^0;^



^{par :} 2

( ) 2 lnx f x  x x



On note C_f la courbe de f dans un repère orthonormé



O i j ( unité 2 cm ). ^{; ;}



1. Etudier les limites de f en 0 à droite et en 

2. Montrer que pour tout x0 ,

 



²



²

2 2 1

( ) x ( )

f x g x

x x

   



En déduire le signe de f x( )

3. Dresser le tableau de variation de f et montrer que



²



( ) 2 1

f 

 

 4. Tracer la courbe C_f et préciser la tangente à C_f au point d'abscisse 1 PARTIE C

1. a) Déterminer une primitive sur



^0;^



de la fonction x ^ln^x x b) Montrer que pour tout x1 , ( ) ^lnx

f x  x . 2. Soit F la primitive de f sur



^1;^



qui s'annule en1

Sans chercher à calculer F(x), montrer que pour toutx1,

 

¹

 

²

2 ln F x  x . EXERCICE 5:

Soit f la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

 

² ¹^{2 ln}

 

4

f x  x  x

1) a) Dresser le tableau de variation de f

b) Montrer que l’équation ^{f x}

 

^⁰ admet dans



^0;^



exactement deux racines dont l’une



^{3 ; 4}





c) vérifier que 2 .

2) Soit g la fonction définie sur



^3;^



^{par :}^{g x}

 

^ ^{1 8ln}^ ^x

a) Montrer que ^{g x}

 

^³^{et que}⁰

 

⁴

g x 9

  ;  x [3; [

3) Soit la suite réelle

 

un définie sur IN par : ⁰1

   

3

n n

u

u _ g u n IN

 

   



a) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



un ³ b) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^; 1

4

n 9 n

u _   u 

(4)

c) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^; ⁴

9

n

un    ^{ }

 

d) En déduire que

 

un est convergente et calculer sa limite.

e) Trouvern pour que : ₀ u_n₀  10^² EXERCICE 6:

Soit f la fonction définie, sur]0 ;[ , par : ^{f x}

   

^ ^ln^x ²^^{2ln – 3}^x ^.

On désigne par

 

C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



1) a- Calculer lim

 

x f x

 . b- Calculer

 

0

lim

x

 f x

 et en déduire une asymptote à

 

^{C .}

2) Déterminer les abscisses des points d’intersection de

 

^C avec l’axe des abscisses.

3) a- Calculer ^f^

 

^x et dresser le tableau de variations de f.

b- Vérifier que

 

2

f x 2lnx x

   ; montrer que

 

^C admet un point d’inflexionIet écrire une équation

de la tangente

 

^{d à}

 

^{C en}^I^.

4) Tracer la droite

 

d et la courbe

 

^{C .}

5) a- Démontrer que la fonction f admet sur [1;[ une fonction réciproque g et déterminer le domaine de

définition de g.

b- Vérifier que^A

 

^5;^e² est un point de la courbe représentative

 

G de g et écrire une équation de la

tangente à

 

^{G en A.}

6) Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du réel m, le nombre des racines de l’équation

 

^ln^x ²^^2ln^x^^m^.

7) La courbe (T) ci-dessous est la courbe représentative, sur[1;[, d’une primitive F de la fonction f.

Calculer l’aire du domaine limité par la courbe

 

^C , l’axe des abscisses et les droites d’équations 1

x et xe. EXERCICE 7:

Soit f la fonction définie sur l’intervalle



^1;^



^{par :}

 

^ln ¹

f x x ln

  x .

 

^C^f sa courbe représentative et

 

^ la courbe d’équation ylnxdans un repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



(5)

1. Etudier les variations de la fonction f ; et calculer

 

1

lim

x _ f x

 et ^lim

 

x f x

 .

2. a. Déterminer ^lim

  

^ln



x f x x

  et interpréter graphiquement cette limite b. Préciser les positions relatives de

 

^C^f ^{et de}

^{ }

^ ^.

3. On se propose de chercher les tangents à la courbe

 

Cf passant par le point O a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle



^1;^



^.

Démontrer que la tangente

 

Ta à

 

Cf au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si ^{f a}

 

^^{a f}^

 

^a ^⁰^.

4. Soit g la fonction définie sur l’intervalle



^1;^



^{par :}^g

 

^x ^ ^{f x}

 

^^x^f^

 

^x ^.

a. Montrer que sur



^1;^



, les équations ^{g x}

 

^⁰^et



^ln^x

 

³^ ^ln^x



²^^ln^x^{ }¹ ⁰ ont les mêmes solutions.

b. Apres avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par ^{u t}

 

^{   }^t³ ^t² ^t ¹^montrer

que la

fonction u s'annule une fois et une seule sur IR.

c. En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe

 

^C^f passant par le point O.

d. Tracer cette tangente et la courbe

 

^C^f ^.

5. On considère un réel m et l'équation ^{f x}

 

^^mx d'inconnue x

Par lecture graphique et sans justification, donner suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle

 

^1;10 ^.

EXERCICE 8:

PARTIE A :

Étude d’une fonction auxiliaire g est la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

 

2 ²



²



2 ln 1

1

g x x x

 x  



1) Démontrer que sur l’intervalle



^1;^



, l’équation^{g x}

 

^⁰admet une solution unique α et donner pour α un encadrement d’amplitude10^¹ .

2) Préciser le signe de ^{g x}

 

sur l’intervalle



^0;^



^.

PARTIE B :

Étude d’une fonction f est la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

^{ }  

 

ln 1 2

0 0 0

x

f x si x

x f

  









1) a) Quelle est la limite de

   

⁰

x

f x f

 

 

 

 quand x tend vers 0 ?

b) En déduire que f est dérivable en x0 et trouver une équation de la tangente T en x0 à la courbe C_f .

2) a) Vérifier que pour tout réelx0 ; ^{f x}

 

^2ln^x⁺¹^{ln 1} ¹₂

x x x

 

    . b) En déduire la limite de f en +∞.

3) a) Démontrer que pour tout réel x0;

   

2

f x g x

  x . b) En déduire les variations de f.

c) Construire T puisC_f . On prendra comme unités :1 cm sur les abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées.

(6)