Physique Statistique

Paris 7 PH 402

–

Physique Statistique

EXERCICES

Feuille 5 : Distribution canonique

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Deux partiqules indiscernables (en souvenir de Pauline)

Le but est de voir Maxwell et Boltzmann dans leur œuvre d’approximation sur un gaz (partiqules indiscernables de masse m, dans une enceinte de volume V, en contact avec un thermostat `a la temp´eratureβ), lorsqu’on peut par ailleurs calculer la fonction de partition “exacte”.

1. Soit un gaz (tr`es rar´efi´e) de deux bosons identiques de spin 0.

i) ´Ecrire leur fonction de partition, Z0(β,V,2), en termes de sommes sur les ´etats stationnaires l1

et l2 de chacun des bosons.

ii) Montrer queZ0(β,V,2) = ¹₂z²(β,V) +¹₂z(2β,V), o`uz(β,V) est la fonction de partition d’un boson de spin nul.

iii) Retrouver l’expression dez(β,V).

iv) En d´eduire la condition que doivent satisfaire masse, volume, et temp´erature, pour que l’approximation de Maxwell et Boltzmann soit valide.

2. Mˆemes questions pour la fonction de partitionZ1/2(β,V,2) de deux fermions identiques de spin 1/2, en termes de la fonction de partition d’un fermion,z1/2(β,V) et de la fonctionz(β,V) pr´ec´edente.

3. Et pour trois bosons (¸ca se complique !) ? Et pour trois fermions (c’est de pire en pire...) ?

2

Cristal semiconducteur extrins`eque

On consid`ere un cristal semiconducteur extrins`eque de volumeV, maintenu `a la temp´eratureT par un thermostat. Ce cristal contientN pi`eges monoplaces, localis´es, identiques, etN ´electrons. Un ´electron ne peut ˆetre que “libre”, avec une ´energie positive, ou pi´eg´e, son ´energie ´etant alors ´egale `a−∆<0.

1. Imaginons d’abord le nombrenl d’´electrons libres fix´e. ´Ecrire la fonction de partition du syst`eme.

2. De fait, le nombre nl d’´electrons libres est une variable interne fluctuante. ´Ecrire la fonction de partition Z du syst`eme sous forme d’une somme sur les valeurs de nl. Quelle est la probabilit´e pour qu’il y ait np´electrons pi´eg´es ? En d´eduire la valeur de ce nombre la plus probable, n<sup>0</sup><sub>p</sub>. ´Etudier les cas limites `a basse et haute temp´eratures.

3. Quelle est la fonction de partition d’un ´electron ? Pourquoi ne peut-on en d´eduire simplement la fonction de partition du syst`eme de N ´electrons ? Montrer que cette difficult´e disparaˆıt si n⁰_p¿ N.

Retrouver dans ce cas les r´esultats de la deuxi`eme question.

3

Principe du refroidissement par d´esaimantation adiabatique

On consid`ere un cristal de sel paramagn´etique, constitu´e deNsites, suppos´es fixes, sur chacun desquels se trouve un atome de spin 1/2 et de moment magn´etiqueµ. On n´eglige les interactions entre ces mo- ments. Le cristal est en contact avec un thermostat `a la temp´erature T et est baign´e par un champ magn´etique externeB, uniforme et constant.

1. Calculer la fonction de partitionZ du syst`eme desN atomes.

2. En d´eduire l’´energie libreF du syst`eme.

3. i) Calculer l’´energie moyenneE(T , N, B) du cristal et sa capacit´e calorifique `a champ magn´etique con- stant d´efinie parCB(T , N, B) =∂E/∂T|<sup>B</sup>. Pr´eciser les valeurs limites `a basse et haute temp´eratures, et expliquer physiquement ces r´esultats. Tracer l’allure de CB en fonction de la temp´erature.

ii) Quelle est l’expression de CB(T , N,0) ? Expliquer ce r´esultat.

iii) D´eterminer le moment magn´etique moyenM(T, N, B) du cristal.

4. i) Calculer l’entropieS(T , N, B). Pr´eciser ses valeurs limites `a basse et haute temp´eratures.

ii) Tracer et discuter la courbe de S en fonction de la temp´erature.

iii) Repr´esenter sur le mˆeme graphe les courbes de S correspondant `a deux valeurs diff´erentes B et b < Bdu champ magn´etique appliqu´e.

5. On utilise en pratique ce genre de sel paramagn´etique pour obtenir des tr`es basses temp´eratures.

On part d’une situation o`u le cristal est aimant´e grˆace `a un fort champ magn´etique initial B. La temp´erature initiale Ti est suppos´ee d´ej`a relativement basse (pour que l’entropie magn´etique soit ef- fectivement la contribution dominante `a l’entropie totale du syst`eme). On r´eduit alors doucement le champ magn´etique `a une valeur finaleb aussi faible que possible, le syst`eme ´etant isol´e. Que peut-on dire de l’entropie totale du syst`eme si la transformation est suffisamment lente ? Quelle est alors la

2 Paris 7, Phy. Stat. 5 : distribution canonique.

temp´erature finaleT1?

6. On revient ensuite, `a temp´erature constante, au champ magn´etique initialB, et on r´ep`ete l’ensemble de ces deux op´erations. Cette technique est connue sous le nom de d´esaimantation adiabatique : elle permet d’atteindre des temp´eratures de l’ordre du milliKelvin `a partir de temp´erature de l’ordre du Kelvin. Serait-il possible, en r´ep´etant ces op´erations un nombre fini de fois, d’atteindre le z´ero absolu ?