1Divisibilit´e I.Arithm´etique

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On rappelle que l’on noteZl’ensemble des entiers relatifs (ou entiers), Nl’ensemble des entiers naturels et qu’un entier naturel diff´erent de0s’appelle un entier positif.

1 Divisibilit´e

D´efinition 1.1. Soientaetbdes entiers. On dit queadiviseb, ou queaest un diviseur deb, ou encore quebest un multiple deas’il existe un entierq tel queb=aq.

Exemple.

– Tout entier divise 0. Le seul multiple de0est0.

– Tout entier est multiple de1et de−1.

– Sinest un entier non nul, alorsnet−nsont des multiples et des diviseurs den.

– L’entier908070605040302010est multiple de9.

Lemme 1.2. Soitbun entier non nul. Siaest un diviseur deb, alors il existe un uniqueqtel que b=aq.

Démonstration. L’existence deq ∈ Z tel que b = aq est la définition même de divisibilité.

Montrons queq est unique. Supposons qu’il existe q1 etq2 tels queb = aq1 etb = aq2. On a alors0 = b−b−aq1−aq2et donca(q1−q2) = 0. Puisquebest non nul,aest non nul. Un produit d’entier non nuls ´etant non nul,q1−q2ne peut pas ˆetre non nul. On a doncq1−q2= 0 et doncq1=q2.

Lemme 1.3. Soitnun entier positif. Sidest un diviseur den, alors on a−n6d6n.

D´emonstration. Soitdun diviseur den. Il existe donc un entierqtel quedq=n. Sidest positif alorsqaussi. Il s’ensuitq−>0et donc quen−d=d(q−1)est positif ou nul, ce qui implique 0 6 d 6 n. Sidest n´egatif, alors -d- est un diviseur positif den, donc on a0 6 −d6 n, ou encore−n6d60.

On en d´eduit qu’un entier non nul n’a qu’un nombre fini de diviseurs. en particulier, les seuls diviseurs de1sont1et−1.

Lemme 1.4. Soienta, b, cdes entiers

–i)Siadivisebet sibdivisec, alorsadivisec.

–ii)Siadivisebet sibdivisea, alorsb=±a.

–iii)Siadivisebetc, alorsadiviseb+c.

Démonstration. Montronsi). Par hypothèse, il existe des entiersq1 etq2 tels que b = aq1 et c = bq2. En remplaçantbparaq1 dans l’expression dec, on obtientc = aq1q2et doncc =aq avecq=q1q2. L”entieraest donc un diviseur dec.

Montronsii). Par hypoth`ese, il existe des entiers q1 etq2 tels quea = bq1 etb = aq2. En remplac¸antbpar son expression dans celle deaon obtienta=aq1q2. Siaest nul alorsbl’est

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2 I. Arithm´etique

aussi et on a bienb=±a. Siaest non nul alors la relationa=aq1q2devient1 =q1q2. Dans ce casq1etq2sont des diviseurs de1. Comme seuls−1et1divisent1, on aq1 = 1ouq1=−1et doncb=±a.

Montronsiii). Par hypoth`ese, il existe des entiersq1etq2 tels queb=aq1etc=aq2On a alorsb+c=aq1+aq2=a(q1−q2). L’entierb+cest onc un multiple dea.

Proposition 1.5. Soit b un entier relatif. Si a est un entier, alors in existe des entiers q et r uniques tels quea=bq+ret06r < b.

D´emonstration. Commenc¸ons par l’existence des entiersq et r. Sia = 0, il suffit de prendre q =r = 0.

Supposonsa >0. Alors il existen∈Ntel quenb6a, par exemplen= 0. D’autre part, si n∈N, on an6bn, puisqueb>1. Il s’ensuit que tout entier naturelntel quebn6aest plus petit ou égal àa. Il n’y a qu’un nombre fini den ∈Ntels quebn 6a. Notonsq le plus grand d’entre eux. On a alorsbq 6a < b(q+ 1), c’est-à-dire,bq 6a < bq+bet donc06a−bq < q.

On poser =a−bq. On alorsa=bq+ret06r < q.

Supposonsa <0. D’après ce qu’il précède il existe des entiersq^′etr^′tels que−a=bq^′+r^′ avec 0 6 r^′ < b. Sir^′ = 0, les entiersq = −q^′ etr = 0 conviennent. Sir 6= 0, il suffit de prendreq=−(q^′+ 1)etr =b−r^′.

Démontrons l’unicité de ces entiers. Soientq1etr1des entiers vérifiant les conditions de la proposition ainsi queq2 et r2. On aa = bq1+r1 eta = bq2+r2, d’où bq1+r1 = bq2 +r2

et donc b(q1−q2) = r2 −r1. D’autre part, on a 0 6 r1 < b, donc −b < −r1 6 0. Mais on a aussi0 6 r2 < b. En ajoutant ces inégalités, on obtient−b < r2−r1 < b, c’est à dire

−b < b(q1−q2)< b. Commebest positif, on a−1 < q1−q2 <1. Il s’ensuitq1−q2 = 0et doncq1 =q2. Puisquer2−r1=b(q1−q2), on en d´eduitr1 =r2.

Définition 1.6. Dans la proposition précédente, l’entierq s’appelle le quotient et l’entier r le reste de la division euclidienne deaparb.

Soientaun entier etbun entier positif. D’après l’unicité énoncée dans la proposition di9- dessus,bdiviseasi et seulement si le reste de la division euclidienne deaparbest nul. Dans ce cas, le quotient de la division euclidienne deaparbs’appelle plus simplement le quotient de aparbque l’on note â_b.

Exemple.

– On a45 = 19×2 + 7donc2est le quotient et7est le reste de la division euclidienne de45 par19.

– On a−45 =−19×3 + 12donc−3est le quotient et12le reste de la division euclidienne de

−45par19.

2 Nombres premiers

Définition 1.7. Unnombre premierest un entierpsupérieur ou égale à2dont les seuls diviseurs positifs sont1etp

Exemple.

– Les cins premiers nombres premiers sont2,3,5,7et11.

– L’entier9123n’est pas premier : il est divisible par3.

– L’entier2¹³−1est premier.

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Définition 1.8. Soitnun entier supérieur ou égale à2. Un nombre premier qui divisens’appelle un facteur premier den.

Lemme 1.9. Tout facteur entier supérieur ou égal à2a au moins un facteur premier.

Démonstration. Soit n un entier supérieur ou égale à 2. Il existe un diviseur k de n tel que k >2, par exemplek=n. Soitple plus petit diviseur dentel quep >2. Siℓest un diviseur dep et siℓ > 2, alorsℓ divisen. Ce qui par définition dep donnep 6 ℓ. Tout diviseur dep supérieur ou égale à 2est donc donc égale à p. Il s’ensuit quep est un nombre premier. Orp divisen, par suitepest un facteur premier den.

Proposition 1.10. Il existe une infinit´e de nombres premiers.

Démonstration. Il existe au moins deux nombres premiers, par exemple2et3. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il n’y a qu’un nombre fini de nombres premiers, notésp1, p2, ..., pn. Considérons l’entier N = 1 +p1p2...pn. Puisque N > 2, il existe un facteur premier p de N. Comme p est premier c’est l’un des pi, par suite p divise p1p2....pn, donc p divise 1 = N −p1p2...pn. Mais ceci est impossible, puisque les seuls diviseurs de1 sont1 et−1et que l’on ap>2.

Proposition 1.11. Soitnun entier supérieur ou égame à2. Sinn’est pas premoer alors il existe un facteur premierpdentel quep6√n.

Démonstration. Soientkun diviseur dentel que1< k < netqle soutient denpark. Puisque n=kq, l’un des deux entierskouqest plus petit ou égale à√

n. Il suffit alors de prendre pour pun facteur premier de celui des eniterskouqqui est plus petit ou ´egale `a√

n.

Théorème 1.12. Soitnun entier supérieur ou égale à2. Alors il existe un unique entier positif ret des nombres premiersp1, ..., pr uniques tels quep16...6pretn=p1...pr

D´emonstration. Admise

3 Plus grand commun diviseur

Siaetbsont des entiers,1est diviseur deaetb. D’autre part, un entier non nul n’a qu’un nombre fini de diviseurs. Ces deux propriétés permettent d’introduire la définition suivante.

D´efinition 1.13. Soientaetbdes entiers non tous deux nuls. Le plus grand entier qui divisea etbs’appelle le plus grand commun diviseur d eaet debet se notepgcd(a, b).

Exemple.

– Siaest un entier positif, on apgcd(a,0) =a.

– Pour touta∈N, on apgcd(a,1) = 1.

– Siaest un entier et sibest un diviseur positif deaalorspgcd(a, b) =b.

– On apgcd(8,12) = 4,pgcd(12,15) = 3,pgcd(25,9) = 1,pgcd(16,6) = 2.

Proposition 1.14. Soient aetbdes entiers positifs. Si r est le reste de la division euclidienne deaparb, alorspgcd(a, b) = pgcd(b, r).

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4 I. Arithm´etique

Proposition 1.15. Notonsqle quotient de la division euclidienne deaparb. Il vienta=bq+r.

Si d est un diviseur de a et b, alors d divise a et bq, donc a− bq, c’est-`a-dire d divise r.

Réciproquement, siδ est un diviseur debetr, alorsδdiviser etbq doncbq+r, c’est-à-direδ divisea. On a ainsi démontré que les diviseurs deaetbsons exactement les diviseurs debetr.

En particulier, on apgcd(a, b) = pgcd(b, r).

La proposition ci-dessus permet de pr´esenter un algorithme de calcul du plus grand commun diviseur.

L’algorithme d’Euclide

Soientaetbdes entiers positifs tels quea>b. Notonsr1le reste de la division euclidienne deaparb. La proposition pr´ec´edente implique que l’on apgcd(a, b) = pgcd(b, r1).

Sir1est nul, alorspgcd(a, b) = pgcd(b,0) =b.

Sir1n’es pas nul, posonsr0=bet notonsr2le reste de la division euclidienne der0parr1. D’après la proposition précédente, on apgcd(r0, r1) = pgcd(r1, r2).

Sir2est nul, alors on apgcd(a, b) = pgcd(r0, r1) = pgcd(r1,0) =r1.

Sir2n’est pas nul, d´efinissons de proche ne proche les entiersrnde la mani`ere suivante : si n>3et sirn−1 >0, alorsrnest le reste de la division euclidienne dern−2parrn−1. Puisqu’on a

06rn < rn−1< ... < r2 < r1< r0,

il existe un entierN > 2tel querN >0et que le reste de la division euclidienne derN−1 par rN est nul. D’après la proposition précédente, on a alors

pgcd(a, b) = pgcd(r0, r1) = pgcd(r1, r2) =...= pgcd(r^N₋1, rN) = pgcd(r^N,0) =RN. Exemple. Calculons le plus grand commun diviseur de585et247. Il vient successivement

585 = 247×2 + 91 247 = 91×2 + 65

91 = 65×1 + 26 65 = 26×2 + 13 26 = 12×2 + 0

et le plus grand commun diviseur de585et247est ainsi ´egal `a13.

D´efinition 1.16. Soientaetbdes entiers non tous deux nuls. On dit queaetb sontpremiers entre euxsipgcd(a, b) = 1.

Lemme 1.17. Siaetbsont des entiers non nuls, alors le quotient deaetbparpgcd(a, b)sont des entiers premiers entre eux.

Démonstration. Posonsd= pgcd(a, b),a^′ = âd,b^′ = ^bd etd^′ = pgcd(a^′, b^′). On aa=da^′etd^′ divisea^′ d’oùdd^′divisea. De même, on ab =db^′etd^′diviseb^′ d’oùdd^′ divisebL’entierdd^′ est donc un diviseur commun deaetb. Commedest le plus grand commun diviseur deaetb, on add^′ 6d. Commed >0, on0< d^′61et doncd^′= 1.

Lemme 1.18. Soient nun entier positif et p un nombre premier. Alors ou bienp divise nou biennetpsont premiers entre eux.

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D´emonstration. Notons d le plus grand commun diviseur de p et n. En particulier d est un diviseur positif dep, par suited= 1oud=p. Sid= 1, les entierspetnsont premiers entre eux. Sid=palorspdivisen.

Proposition 1.19. Soientaetbdes entiers positifs.

– Tout diviseur deaetbest un diviseur depgcd(a, b).

– Pour tout entier positifn, onpgcd(na, nb) = pgcd(a, b).

Exercice 1.20. D´emontrer cette proposition.

4 Théorème de Bézout

Siaetbsont des entiers positifs, alors pour tous entiersxety,pgcd(a, b)diviseax+by. Il s’ensuit que si l’´equationax+by=ca des solutions enti`eres, alorscest multiple depgcd(a, b).

Nous a allons d´emontrer que r´eciproquement, si c est multiple de pgcd(a, b), alors il existe x, y∈Ztels quec=ax+by.

Th´eor`eme 1.21. Si aet b sont des entiers positifs, alors il existe des entiersu et v tels que pgcd(a, b) =au+bv.

D´emonstration. Admise.

En s’inspirant de l’algorithme d’Euclide, on peut `a partir de deux entiers a et b trouver u, v∈Ztels queau+bv = pgcd(a, b). Notonsr₋1=aetr0=b. En notantq1etr1le quotient et le reste de la division euclidienne der0parr₋1, on obtientr0=q1r₋1+r1. On note alorsq2

etr2le quotient et le reste de la division euclidienne der1parr0pour obtenirr1 =q2r0+r2. En continuant ainsi, à l’étapeion ari−1=qiri−2+ri. NotonsN l’entier tel querN = 0. Un telN existe d’après l’algorithme d’Euclide. L’idée est maintenant de cpnctruire deux suites ui etvi

pouri=−1,0, ..., Ntels queaui+bvi =ri. Commea=r₋1etb=r0, on au₋1 = 1,v₋1= 0, u0 = 0et v0 = 1. Supposons qu’on ait construitui−2, vi−2, ui etvi pouur i ∈ {1, ..., N}. On recherche alorsui etvi tels queaui+bvi =ri. Par construction deri, on ari−1 =qiri−2+ri

et doncri=ri−1−qiri−2. D’o`u

aui+bvi =ri−1−qiri−2

= (auⁱ₋1+bvi−1)−qi(auⁱ₋2+bvi−2)

=a(ui−1−qiui−2) +b(vi−1−qi+vi−2)

On pose alorsui =ui−1−qiui−2etvi =vi−1−qi+vⁱ₋2. CommerN = 0, on apgcd(a, b) =rN−1

et doncauN−1+bvn−1 =rn−1= pgcd(a, b). Il suffit alors de prendreu=un−1etv=vn−1. Exercice 1.22. D´eterminer des entiersuetvtels que585u+ 247v= pgcd(585,247).

Th´eor`eme 1.23. Si aet b sont des entiers positifs, alors aet b sont premiers entre eux si et seulement s’il existeuetvtels queau+bv = 1.

Exercice 1.24. Démontre ce théorème.

Th´eor`eme 1.25(de Gauss). Soienta,betcdes entiers positifs. Siadivisebc et siaetbsont premiers entre eux, alorsadivisec.

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6 I. Arithm´etique

Démonstration. D’après la proposition précédente, on apgcd(ac, bc) =cpgcd(a, b). Oraetb sont premiers entre eux, d’oùpgcd(a, b) = 1et concpgcd(ac, bc) =c. Puisqueadiviseaceta divisebcpar hypothèse,adivise lepgcddeacetbcqui estc.

Exercice 1.26.

1.Existe-t-il des entiersxetytels que161x+ 368y= 15? Si oui, les trouver tous.

2.Existe-t-il des entiersxetytels que161x+ 368y= 115? Si oui, les trouver tous.

Lemme 1.27(d’Eculide). Soientaetbdes entiers positifs etpun nombre premier. Si pdivise ab, alorspdiviseaoupdiviseb.

Démonstration. Supposons quepne divise pasa. D’après le lemme 1.18,petasont premiers entre eux. D’où, par le théorème de Gauss,pdiviseb.