Physique Statistique

Paris 7 PH 402

–

Physique Statistique

EXERCICES

Feuille 3 : Distribution microcanonique

1

D´efauts de Frenkel

LesN atomes qui constituent un cristal parfait sont r´eguli`erement dispos´es sur lesN “sites” du r´eseau cristallin. Lorsqu’un atome se place dans un interstice de ce r´eseau, en laissant un site vacant, on dit qu’il y a un “d´efaut de Frenkel” dans le cristal. L’´energie n´ecessaire pour cr´eer un d´efaut de Frenkel estε >0, et on appelleN⁰ le nombre de positions interstitielles dans le r´eseau (NetN⁰sont du mˆeme ordre de grandeur).

Consid´erons un cristal pr´esentant n d´efauts de Frenkel (avec n ¿ N). Calculez le nombre d’´etats accessibles du syst`eme et en d´eduire sa temp´erature microcanonique T^∗. Montrez que la relation entreT^∗ etnpeut s’´ecriren≈√

N N⁰ exp(−ε/2kT^∗).

2

Oscillateurs harmoniques

Rappelons-nous : les niveaux d’´energie d’un oscillateur harmonique `a une dimension sont de la forme εn = (n+ 1/2)¯hω, avecnentier positif ou nul, et ils ne sont pas d´eg´en´er´es.

Consid´erons un syst`eme de N oscillateurs harmoniques `a une dimension, discernables, faiblement coupl´es, de pulsationω. Le syst`eme est isol´e et son ´energie vautE. Un ´etat du syst`eme est enti`erement d´etermin´e lorsqu’on connaˆıt l’ensemble des valeurs des nombres quantiques ni caract´erisant l’´etat de chacun des oscillateurs. On pose Q^df=PN

i=1n_i.

1. Calculez le nombre d’´etats accessibles Ω(E, N) pour le syst`eme ´etudi´e.

2. En vous pla¸cant dans le cas o`u N À 1 et Q À 1, calculez l’entropie S^∗ et la temp´erature T^∗ en fonction deE.

3. Calculez la probabilit´e Pⁿ pour qu’un oscillateur donn´e soit dans l’´etat d’´energieεn (n ¿ Q). En utilisant la relation entreQ/(N+Q) et exp(−¯hω/kT^∗), exprimez Pⁿ en fonction deT^∗.

4. Quelle est l’´energie moyenneεd’un oscillateur donn´e ?

3

Electrons pi´^´ eg´es sur des sites

Un solide contient N sites (discernables, forc´ement) et N ´electrons pi´eg´es sur ces sites. Chaque site est susceptible de pi´eger :

— soit un ´electron dont le spin est dans l’´etat↑, d’´energieε_↑ =ε₀,

— soit un ´electron dans l’´etat↓, ´energieε_↓=ε₀,

— soit une paire d’´electrons d’´etats de spins oppos´es, d’´energieε_↑↓= 2ε₀+g,

o`u ε₀ est une constante n´egative et g une constante positive repr´esentant l’interaction entre deux

´

electrons situ´es sur le mˆeme site. On n´eglige les interactions entre ´electrons situ´es sur des sites diff´e- rents et on consid`ere que le syst`eme est isol´e.

1. Montrez que lorsque l’´energie E du syst`eme est fix´ee, les nombres de site occup´es par 0, 1 ou 2

´

electrons (respectivementn₀,n₁etn₂) sont d´etermin´es. Entre quelles limites peut-on choisir la valeur de l’´energie impos´eeE?

2. Calculez le nombre d’´etats accessibles du syst`eme quand son ´energie estE. (Contrairement aux sites, les ´electrons sont indiscernables.)

3. Calculez la temp´erature microcanoniqueT^∗ du syst`eme (pourn1 et n2pas trop petits). Repr´esentez les allures des courbes Ω(E),S^∗(E),β^∗(E) et enfinT^∗(E). Discutez et interpr´etez les variations deT^∗ avecE.

4. Calculezn0,n1 etn2 en fonction deT^∗. Repr´esentez les allures des courbes n1(T^∗) etn2(T^∗).

4

Cristal paramagn´etique. Temp´eratures de spin n´egatives

On consid`ere un syst`eme de N porteurs de spin 1/2 fix´es aux nœuds d’un r´eseau cristallin plac´e dans un champ magn´etique uniforme et constant B. Supposant les porteurs immobiles et n´egligeant les interactions entre moments magn´etiques, on ne prend en compte que l’´energie des moments magn´etiques avec le champ. Les valeurs propres d’une composante du moment magn´etique d’un porteur sont not´ees±µ. L’ensemble est suppos´e isol´e.

1. Calculez l’entropieS^∗ et la temp´eratureT^∗du syst`eme en fonction de son ´energieE.

2 Paris 7, Phy. Stat. 3 : description microcanonique.

2. Etudiez le signe de´ T^∗ et tracez la courbe repr´esentant T^∗en fonction deE.

3. Calculez, en fonction deT^∗, les nombresn+et n₋de moments magn´etiques dans les ´etats “parall`ele”

et “antiparall`ele” au champ. En d´eduire l’aimantation du syst`eme et sa susceptibilit´e magn´etique.

4. Calculez la probabilit´e p₊ qu’un porteur donn´e ait son moment magn´etique parall`ele au champ.

Exprimer p₊ en fonction deµ,B,T^∗. Quelle est l’´energie moyenne d’un porteur ?

5. Calculez la chaleur sp´ecifique C= dE/dT^∗ du syst`eme et donner l’allure de la courbe C(T<sup>∗</sup>). (Cette courbe pr´esente un maximum caract´eristique d’un syst`eme `a nombre de niveaux fini, que l’on appelle anomalie de Schottky de la chaleur sp´ecifique.)

5

Contact thermique entre deux syst`emes de spins

On consid`ere un syst`eme compos´e des deux sous-syst`emes plac´es dans un champ magn´etiqueB : – le sous-syst`eme (a), constitu´e de 3 particules de spin 1/2, moment magn´etiqueµ, pi´eg´ees sur 3 sites ; – le sous-syst`eme (b), constitu´e de 2 particules de spin 1/2, moment magn´etique 2µ, pi´eg´ees sur 2 sites.

Ces sous-syst`emes n’´echangent ´eventuellement d’´energie qu’entre eux.

1. Les deux sous-syst`emes ´etant isol´es l’un de l’autre, on mesure leurs moments magn´etiques. On trouve ma =−3µ et mb = 4µ respectivement. Calculez les entropies microcanoniques de chacun des sous- syst`emes et du syst`eme.

2. Les deux sous-syst`emes sont en contact thermique. Calculez l’entropie microcanonique du syst`eme.

Calculez la probabilit´eP(ma) pour qu’`a l’´equilibre le moment magn´etique de (a) prenne la valeurma. Calculez les valeurs moyennes des moments magn´etiques de (a) et de (b).

6

Gaz parfait “classique”

1. Calculez l’entropie, la temp´erature, la pression et le potentiel chimique d’un gaz “parfait” deN atomes discernables (!) dans une caisse de volumeV, dans le cas o`uN et V sont macroscopiques.

2. Calculez, dans l’approximation classique de Maxwell-Boltzmann, l’entropie, la temp´erature, la pression et le potentiel chimique du mˆeme gaz parfait compos´e d’atomesindiscernables.

7

Contact thermique entre deux gaz parfaits et entropie de m´elange

1. Deux gaz “parfaits” (1) et (2) sont situ´es dans deux parties d’un r´ecipient s´epar´ees par un piston

“diatherme”, coulissant “parfaitement”. Ils sont constitu´es de N1 (resp. N2) mol´ecules “libres”, ing´enument suppos´ees discernables, de massem1(resp.m2). Le r´ecipient, de volumeV, est “isol´e” de sorte que l’´energie totaleE est fix´ee.

i) D´eterminer les valeurs les plus probables des variables internes E1, V¹, E2 et V² en fonction des param`etres ext´erieurs fix´es.

ii) Calculer l’entropie microcanonique partielle maximale du syst`eme. En d´eduire, dans l’approxima- tion o`u les variables internes fluctuantes sont quasi certaines, l’entropie microcanonique du syst`eme en fonction des param`etres ext´erieurs fix´es.

iii) En d´eduire la temp´erature et la pression microcanoniques du syst`eme en fonction desetc.

2. On consid`ere maintenant un m´elange des deux gaz d´ecrits pr´ec´edemment : les mol´ecules sont r´eparties dans le r´ecipient de volumeV.

i) D´eterminer `a l’´equilibre les valeurs les plus probablesE<sub>1m</sub> et E<sub>2m</sub> des ´energies E<sub>1</sub> et E<sub>2</sub> des gaz (1) et (2) en fonction des param`etres ext´erieurs E, V,N₁ etN₂.

ii) Calculer, comme pr´ec´edemment, l’entropie microcanonique du syst`eme en fonction desetc.

iii) Calculer la temp´erature et la pression microcanoniques du syst`eme en fonction desetc.

3. On veut ´etudier le processus de m´elange des gaz parfaits. Les deux gaz sont initialement s´epar´es par une cloison, comme dans la premi`ere partie, et le syst`eme est `a l’´equilibre. On retire la cloison et on attend le nouvel ´etat d’´equilibre qui est celui ´etudi´e dans la deuxi`eme partie.

i) Calculer la variation de l’entropie microcanonique du syst`eme entre l’´etat initial et l’´etat final.

Expliquer son signe.

ii) Calculer la variation de temp´erature entre l’´etat initial et l’´etat final, puis celle de la pression.

4. Qu’en est-il si les mol´ecules des types (1) et (2) sont identiques ?