Exercices 11
Cours d’introduction à la logique, semestre de printemps 2008 A rendre avant le vendredi 14 mars, 10 h
Nom(s):
Points obtenus (dans 4 questions avec un total de 20 points):
1. (4 points) Déterminez si les propositions suivantes sont valides à l’aide de la méthode des arbres : (a) “∃x∀y(Rxy)→ ∀y∃x(Rxy ”
(b) “
)
∀x(F x)→ ∃x(F x ” (c) “
)
¬∃y(P y) → ∀y(F y→ ∃xF x” (d) “
)
∀x(F x→(Gx∧Hx))→ ∀x((F x∧Gx)→Hx ”
2. (4 points) A l’aide de la méthode des arbres, trouvez des modèles pour les propositions suivantes : (a) “
)
∃x∀y(Rxy)∧ ∃x∃y(¬Rxy ” (b) “
)
∀x(¬Sxx)∧ ∃x∃y∃z(Sxy∧Syx∧ ¬Sxz ” (c) “
)
∀x∃y(Rxy)∧ ∀x(¬Rxx)∧ ¬∀x∀y(Rxy→Ryx ” (d) “
)
∀x∃y Rxy∧ ∀x¬Rxx∧ ∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryx ”
3. (6 points) A l’aide de la méthode des arbres, vérifiez la validité des propositions suivantes.Décrivez des structures dans lesquelles les converses de (b) et de (d) sont fausses.
(a) “
)
∀x(F x∧Gx)↔(∀x(F x)∧ ∀x(Gx ” (b) “
)) (∀xF x∨ ∀xGx)→ ∀x(F x∨Gx ” (c) “
)
∃x(F x∨Gx)↔(∃x(F x)∨ ∃x(Gx ” (d) “
))
∃x(F x∧Gx)→(∃x(F x)∧ ∃x(Gx ”
4. (6 points) Soient les abréviations suivantes :
“
))
” pour “
p ∀x∀y(Rxy→Ryx)” (“la relation est symétrique”)
“ ” pour “
R
q ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)” (“la relation est transitive”)
“ ” pour “
R
r ∀x∀y(Rxy→Rxx)” (“la relation est réflexive”)
“ ” pour “
R
s ∀x∃y(Rxy)” (“la relation est ‘ouverte’”)
“ ” pour “
R
t ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)” (“la relation est anti-symétrique”)
(a) Prouvez, par la méthode des arbres, la proposition suivante : R
(p∧q)→ (1)
(b) Montrez qu’il n’est pas possible de trouver un modèle pour la proposition suivante par la méthode des arbres :
r
¬((q∧s∧t)→ ∃x∀y(¬Ryx (2)
(c) Donnez un exemple d’une structure dans laquelle(2)est vraie.
))
