Th ´e oriedelaDoublePes ´e e

Activit´e de math´ematiques

Th´ eorie de la Double Pes´ ee

On consid`ere unebalance de Roberval compos´ee de deux plateaux reli´es `a l’axe par des tiges de longueurLg etLd :

L_g L_d M_g M_d

A l’´equilibre, on a la relation Mg×Lg =Md×Ld. Sur une balance ordinaire on s’arrange pour que les bras de levier L_g etL_d soient ´egaux ainsi on obtient M_g =M_d. En r´ealit´e L_g et L_d ne sont jamais parfaitement ´egaux et la mesure est donc impr´ecise, la m´ethode de ladouble pes´ee permet de rem´edier `a ce probl`eme.

Double pes´ ee de Gauss

1. On r´ealise les pes´ees suivantes :

M 81g 64g M

En ´ecrivant les relations d’´equilibre avec les bras de levier L_g etL_dpuis en exprimant de deux fa¸cons diff´erentes le rapport ^L_L^g

d, calculer la masseM. 2. On r´ealise les pes´ees suivantes :

M m1 m2 M

En utilisant la d´emarche de la question pr´ec´edente, calculer la masseM en fonction des masses m1 etm2.

Double pes´ ee de Borda

On utilise une tare de masseMT inconnue sup´erieure `a la masseM cherch´ee.

1. On r´ealise les pes´ees suivantes :

M 22g MT 69g MT

En ´ecrivant les relations d’´equilibre avec les bras de levier L_g etL_d, calculer la masseM.

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Activit´e de math´ematiques Th´eorie de la Double Pes´ee

2. On r´ealise les pes´ees suivantes :

M m1 M_T m2 M_T

En utilisant la d´emarche de la question pr´ec´edente, calculer la masseM en fonction des masses m1 etm2.

Triple pes´ ee

Nous avons vu que pour peser pr´ecis´ement une masse, il faut r´ealiser au moins deux pes´ees.

Nous allons montrer que pour peser deux masses, il suffit de r´ealiser seulement trois pes´ees.

1. On r´ealise trois pes´ees successives :

MaMb 361g 400g MaMb Ma Mb49g

(a) En utilisant les deux premi`eres pes´ees, calculer M_a+M_b ainsi que le rapport ^L_L^g

d. (b) En utilisant `a pr´esent la troisi`eme pes´ee, calculer M_aet M_b en r´esolvant un syst`eme

de deux ´equations d’inconnuesMa etMb. 2. On r´ealise trois pes´ees successives :

MaM_b m1 m2 MaM_b Mam3 M_b

En utilisant la d´emarche de l’exemple pr´ec´edent, exprimerM_a etM_b en fonction de m1, m² etm³.

Probl` eme ouvert

Quel est le nombre minimum de pes´ees permettant de d´eterminer trois masses Ma, Mb et Mc? D´ecrire pr´ecis´ement la m´ethode associ´ee.

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