U NIVERSITÉ P IERRE ET M ARIE C URIE
Unité de Formation et de Recherche de Physique (UFR 925)
Rapport de stage
Modulation spatiale de la lumière
Stage effectué du 12 mai au 11 juillet 2014 par
Niccolò B ORGIOLI
&
Timothé R AMBOAZANAKA
sous la direction de
Quentin G LORIEUX
au sein du
L ABORATOIRE K ASTLER B ROSSEL
dans le cadre de la 2
eannée de la
Licence de Sciences et Technologies
mention Physique, parcours « Fondements de la Physique »
4, place Jussieu 75005 Paris - France
Version 1.0 imprimée pour le 2 septembre 2014
Le présent rapport est sous licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0). Pour accéder à une copie de cette licence, merci de vous rendre à l’adresse suivante :https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.fr.
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Résumé
Au sein du Laboratoire Kastler Brossel à Jussieu, les expériences de l’équipe«Optique Quantique dans les milieux semiconducteurs»portant sur les polaritons de cavité requièrent de pouvoir modifier à loisir la répartition de l’intensité d’un laser dans l’espace et de corriger les aberrations de son front d’onde, quels que soient les éléments optiques d’un montage.
Dans cette perspective, notre travail s’est axé autour de l’application de la diffraction de Fraunhofer pour répartir l’intensité d’un laser selon une figure de diffraction souhaitée. Nous avons mis en place un montage expérimental comprenant un analyseur de front d’onde et un modulateur spatial de lumière, ce dernier permettant l’usage d’hologrammes de phase comme obstacle diffractant au passage d’un laser monomode. Après une calibration du montage et l’étude de résultats préliminaires, nous avons développé un code sous MATLAB appliquant l’algorithme de Gerchberg-Saxton à la création de ces hologrammes. Enfin, en tirant parti de leur impact sur la phase du laser, nous avons recherché quelques méthodes de correction des aberrations de son front d’onde, que les aberrations soient induites par tout ou partie du montage expérimental. L’une de ces méthodes repose sur l’algorithme de Gerchberg-Saxton.
L’exposé des résultats obtenus au sein de ce rapport permettra à l’équipe de pouvoir mettre en application notre travail et de créer des potentiels désirés sur les cavités planaires.
Located at the Kastler Brossel Laboratory at Jussieu, the experiments of the research team "Semiconductor Quantum Optics" on the cavity polaritons require to modify at will the intensity distribution of a laser and to correct the aberrations of its wavefront, on any given optical setup.
Therefore, our work aimed at distributing the intensity of a laser through the use of Fraunhofer diffraction to obtain a desired diffraction pattern. We developed an experimental setup comprising a wavefront analyzer and a spatial light modulator, the latter allowing the use of phase holograms as a diffracting obstacle for a single-mode laser. Following the setup calibration and a study of preliminary results, we created a MATLAB code to generate these holograms, based on the Gerchberg-Saxton algorithm. By making use of the phase modulation caused by hologram, we finally researched some corrective methods for the laser wavefront aberrations, whether induced by a portion of the experimental setup or by the entire setup. One of these methods relies on the Gerchberg-Saxton algorithm.
The results presented in this report will allow the team to implement our work and thus create the desired potentials on planar cavities.
Remerciements
Avant d’entamer le corps du présent rapport, nous tenons à remercier l’ensemble des membres du Laboratoire Kastler Brossel pour leur accueil et ayant contribué à faire de notre stage une expérience enrichissante. Nous souhaiterions très sincèrement remercier notre responsable de stage Quentin GLORIEUX, pour la confiance qu’il nous a accordé et son suivi de ces deux mois de stage, et même au delà pendant la rédaction du présent. Nous souhaiterions également remercier Alberto BRAMATIet Elisabeth GIACOBINOpour nous avoir accueilli au sein de leur équipe, Sébastien pour ses suggestions quant au SLM, et Jérémie SAENdu service informatique du LKB pour son assistance salutaire.
Un grand merci également à Nicolas SANGOUARDpour sa pléthore de conseils pratiques, ainsi qu’à Salma AZIAM, Thomas BOULIER, Maëlle KAPFER, Hanna LEJEANNIC, Mathieu MANCEAUet Jean-Michel VILLAIN
pour les échanges scientifiques (ou non) que nous avons pu avoir, pour leur bonne humeur, leur sympathie et leur compagnie. À tou-te-s, bonne continuation pour la suite.
Nous ne saurions omettre quelques remerciements à l’égard de nos familles et amis pour leur soutien constant, ainsi qu’à Nicolas TREPSsans qui ce stage n’aurait pas eu lieu.
Sommaire
1 Introduction 1
2 Sujet du stage 2
2.1 Contexte . . . 2
2.2 Préambule théorique . . . 2
2.2.1 Diffraction de Fraunhofer et transformée de Fourier. . . 3
2.2.2 Algorithme de création d’hologrammes . . . 4
2.3 Instruments optiques mis en œuvre. . . 5
2.3.1 Modulateur spatial de lumière . . . 5
2.3.2 Analyseur de front d’onde. . . 5
3 Travail réalisé 7 3.1 Montage expérimental . . . 7
3.1.1 Éléments optiques . . . 8
3.1.2 Mise en place du montage . . . 9
3.1.3 Couplage de la fibre optique . . . 9
3.2 Calibration et résultats préliminaires . . . 10
3.2.1 Défauts de la figure de diffraction . . . 10
3.2.2 Impact des tailles et résolutions différentes du capteur CCD et du SLM. . . 10
3.2.3 Mesure de l’intensité du laser en entrée . . . 13
3.3 Code de l’algorithme de Gerchberg-Saxton . . . 16
3.3.1 Entrée . . . 16
3.3.2 Caractéristiques expérimentales . . . 16
3.3.3 Intensité du laser . . . 17
3.3.4 Initialisation . . . 18
3.3.5 Boucle . . . 19
3.3.6 Sortie . . . 20
3.3.7 Contrôle de la caméra CCD . . . 21
3.4 Correction des artefacts de la diffraction et résultats intermédiaires . . . 22
3.4.1 Modification de l’hologramme en temps réel . . . 22
3.4.2 Augmentation de la taille du faisceau . . . 23
3.5 Correction de la déformation du front d’onde. . . 26
3.5.1 Mise en place et calibration du Shack-Hartmann . . . 26
3.5.2 Observation de la déformation du front par un hologramme simple . . . 27
3.5.3 Correction de la déformation du SLM . . . 30
3.6 Discussion et bilan des résultats finals . . . 32
3.6.1 Perspectives de poursuite de la correction du front d’onde . . . 32
3.6.2 Perspectives d’amélioration de l’algorithme . . . 32
4 Conclusion 33 Annexes i A Ondes électromagnétiques . . . i
B Loi normale et fonction d’erreur de Gauss à deux dimensions . . . ii
C Photographies du montage expérimental . . . ii
Bibliographie iv
Chapitre 1
Introduction
Dans le cadre de la licence de Sciences et Technologies, mention Physique, de l’Université Pierre et Marie Curie (UPMC), nous avons effectué un stage en binôme en laboratoire de recherche destiné à nous faire découvrir la réalité et le fonctionnement du monde de la recherche. Si le stage initialement prévu au sein de notre parcours ne devait durer que deux semaines au cours de la troisième année de la licence, nous avons souhaité effectuer un stage anticipé à l’issue de la deuxième année afin de pouvoir travailler de façon plus autonome, de s’ouvrir à des domaines dans la continuité de nos études, en contribuant autant que faire se peut au travail de chercheurs en laboratoire.
Notre choix s’est porté sur le Laboratoire Kastler Brossel (LKB), au sein duquel le groupe de recherche œuvrant sur l’optique quantique dans les milieux semiconducteursa accepté de nous accueillir pour un stage de deux mois entre le 12 mai et le 11 juillet 2014, sur le campus Jussieu de l’UPMC.
Le LKB, membre de la fédération du Département de Physique de l’École Normale Supérieure (ENS), est l’UMR 8552 du CNRS, de l’ENS, et de l’UPMC. Sous la co-tutelle de ces deux dernières et du Collège de France, le LKB centre ses activités sur l’étude fondamentale des systèmes quantiques, autour d’axes de recherches couvrant entre autres les condensats de Bose-Einstein (transition de phase manifestant les effets de statistique quantique) ou la métrologie des systèmes simples et tests fondamentaux. Le groupe de recherche nous ayant accueilli concentre ses recherches sur l’optique quantique, et plus précisément sur l’optique quantique dans les milieux semi-conducteurs, interface entre optique quantique et physique des semi-conducteurs. Trois thématiques sont développées, dont les perspectives visent à explorer des pistes de développement technologique quant au traitement quantique de l’information et la cryptographie quantique : les nanocristaux à puits quantiques semi- conducteurs, les microcavités semi-conductrices décrites en terme de polaritons de cavité, et le développement d’un dispositif hybride couplant nanocristal et nanofibre.
Ce rapport présentera tout d’abord le sujet du stage, suivi de l’ensemble du travail réalisé et de ses résultats, dont l’exposé permettra à l’équipe d’accueil de pouvoir mettre en application notre travail pour leurs expériences relatives aux polaritons de cavité. Nous terminerons par un bilan du stage, de son déroulement et des résultats obtenus.
Chapitre 2
Sujet du stage
Avant de nous intéresser au travail réalisé pendant ces deux mois, il est nécessaire d’introduire différents concepts théoriques qui permettront de bien comprendre leur portée. Après une première partie exposant le contexte dans lequel s’est inscrit notre travail, seront exposés dans une seconde partie des rappels sur ces concepts ainsi que la présentation d’un algorithme reposant sur ceux-ci, suivi dans une troisième partie du fonctionnement de deux instruments optiques permettant l’application expérimentale de ces concepts.
2.1 Contexte
Les expériences de l’équipe d’accueil portant sur les polaritons requièrent de pouvoir modifier à loisir la répartition de l’intensité d’un laser dans l’espace et de corriger les aberrations de la forme de son front d’onde, quels que soient les éléments optiques d’un montage. Cette possibilité permettra de créer des potentiels désirés sur les cavités planaires, comme par exemple un faisceau carré à partir d’un laser quasi-gaussien.
Pour ce faire, la méthode retenue a été de faire usage du phénomène de diffraction de la lumière. S’il est possible de déterminer mathématiquement la répartition de l’intensité lumineuse au passage d’un élément diffractant, ou, si l’on peut déduire d’une figure de diffraction observée les caractéristiques géométriques de l’élément l’ayant engendrée, obtenir une figure de diffraction précise à partir d’une figure théorique est plus alambiqué. Pour ce problème et celui de la correction du front d’onde, diverses méthodes de résolution existent [1], l’une d’entre elles passant par l’usage d’un hologramme dit«hologramme de phase», généré par ordinateur à l’aide d’un algorithme.
En tant que stagiaires, notre tâche a porté sur l’application de cette méthode. À ce titre, il a fallu réaliser un montage expérimental permettant d’implémenter la méthode choisie afin de pouvoir la généraliser à d’autres méthodes. Le stage a ainsi abordé cette problématique par deux aspects complémentaires : l’utilisation d’un modulateur spatial de lumière (ou SLM pourspatial light modulator) permettant d’intégrer un hologramme sur le passage de la lumière, et l’élaboration d’un programme sous MATLAB implémentant un algorithme qui permet sa création. Mais avant de se pencher plus en détail sur ces points, il convient d’effectuer quelques rappels sur la diffraction.
2.2 Préambule théorique
L’hologramme étant un masque de phase, dont l’étude de l’impact se fait pour un front d’onde supposé plan, nous allons nous intéresser à la description d’un champ dans un plan d’onde normal à un axe optique donné.
Définissons un vecteur-positionrassocié à un point de ce plan plutôt qu’à un point quelconque de l’espace. En supposant que l’axe optique etk(aveckkk= 2πλ etλla longueur d’onde) soient dirigés selonzen coordonnées cartésiennes, toutes les grandeurs fonctions derne seront donc plus fonctions que dexety(voir figure2.1). Cela reste néanmoins approximatif en l’absence d’informations sur la déformation du front d’onde.
L’onde lumineuse du laser est engendrée par le champ électriqueEet le vecteur induction magnétiqueH, reliés par les équations de Maxwell ; on peut donc se restreindre à l’étude deE, et en déduireHsi besoin est.
D’autre part, si la cohérence temporelle de cette onde est considérée comme suffisante, l’étude de la diffraction et de la déformation du front d’onde peut se faire indépendamment det. En effet, selon nos hypothèses, l’onde est plane et harmonique, et toute variation detn’entraînera qu’un déphasage, qui n’intervient pas dans le calcul de son intensité.
Afin de faciliter les calculs, nous pouvons, si la polarisation des champs est identique en tout point du chemin optique (caractéristique à obtenir au préalable expérimentalement), approximer les deux champs comme scalaires, de telle façon à ce que seules leurs amplitudes et phases respectives suffisent à leur description par un nombre complexe.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE
Ainsi, l’équation du champ électrique s’écrit
E(r) =A(r)eiφ(r) (2.1)
avec|E(r)|2=A(r)2=I(r)son intensité.
2.2.1 Diffraction de Fraunhofer et transformée de Fourier
En ce qui concerne la diffraction, il s’agit un phénomène physique observé lorsqu’une onde (par exemple lumineuse) rencontre un obstacle dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la périodicité spatiale de l’onde (à l’instar d’un cheveu humain pour une onde lumineuse). Cet obstacle va répartir l’intensité de l’onde selon une distribution spatiale particulière appelée«figure de diffraction». Sa description part du principe de Huygens-Fresnel, selon lequel chaque point de la surface d’une source non ponctuelle d’une onde peut être considéré comme une source secondaire ponctuelle émettant une onde sphérique. Autrement dit, les mêmes perturbations de l’espace sont obtenues en remplaçant cette surface par de telles sources, au biais, par exemple, d’un obstacle dont les caractéristiques géométriques engendrent des sources que l’on peut considérer comme ponctuelles [2]. Dans notre cas, cet obstacle est un hologramme de phase affiché par le SLM (voir section2.3.1 pour une description de son fonctionnement).
Une nouvelle hypothèse simplificatrice peut être faite en étudiant ladiffraction de Fraunhofer, ou diffraction en champ lointain. Elle permet de simplifier l’expression du champ électrique diffracté en une somme d’ondes planes au niveau du plan d’observation. À grande distance de l’obstacle (i.e. en champ lointain), la courbure des ondes diffractées devient négligeable devant la distance parcourue, si bien qu’elles peuvent être approximées par des ondes planes. Si l’on ne dispose pas de suffisamment d’espace pour la mise en place d’un montage permettant cette diffraction, il est toujours possible d’utiliser une lentille convergente entre l’obstacle et le plan d’observation, qui devra être confondu avec le plan focal de ladite lentille. L’une ou l’autre de ces configurations permet à l’ensemble des ondes diffractées d’avoir la même phase au plan d’observation, de façon à ce que les expressions des champsEoutau plan d’observation etEinau plan de l’obstacle (tels que représentés sur la figure2.1) soient reliés par unetransformée de Fourier.
Plan«in» Lentille Plan«out»
Axe optique Obstacle
FIGURE2.1 – Schéma d’un plan d’un obstacle quelconque et du plan d’observation dans le cas d’une diffraction de Fraunhofer permise par une lentille convergente de focale f. Les points des plans sont repérés parret parρ.
Plan«in»: plan de l’obstacle. Plan«out»: plan d’observation.
Dans le cas d’une diffraction avec lentille de focale f, cette relation [2] peut s’exprimer par
Eout(ρ) = 1
λf eiφlentille(ρ) Z Z
Obstacle
Ein(r)e−i2πλfr·ρdr≡ T F[Ein(r)] (2.2a)
Ein(r) = 1 λf
Z Z
Obstacle
Eout(ρ)e−iφlentille(ρ)e−i2πλf r·ρdρ≡ T F−1[Eout(ρ)]. (2.2b)
Le terme λ1f est un facteur de normalisation, qui traduit l’impact de la distance focale f et de la longueur d’ondeλsur l’amplitude du champ au plan d’observation. Le termeeiφlentille(ρ)traduit quant à lui le déphasage systématique induit par la lentille. Si une transformée de Fourier ne comporte pas ce dernier terme, celui-ci n’a d’impact ni sur la forme du front d’onde (à l’inverse de la vergence de la lentille) ni sur l’intensité du faisceau.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE
Compte tenu de la finalité du problème, nous pouvons donc négliger son impact, et c’est pourquoi nous pouvons exprimer une relation d’équivalence entre les doubles intégrales et les transformées des équations (2.2a) et (2.2b).
Enfin, si l’on considère un système d’obstacles identiques et pareillement orientés, on peut appliquer à la diffraction de Fraunhofer lethéorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon. Pour un obstacle correspondant à notre hologramme de phase, la distribution du champ résultant (en intensité et phase) correspondra au produit de la transformée de Fourier de la phase de l’hologramme et de la figure résultant d’un ensemble de sources ponctuelles dans la même configuration. Dans le cas d’un faisceau ne couvrant pas l’ensemble d’un système d’obstacles, il reste possible, si les obstacles sont régulièrement répartis, de retrouver une même figure de diffraction quelque soit la position du faisceau. Nous constaterons à cet effet une application de ce théorème dans les sections3.2.2et3.4.2.
2.2.2 Algorithme de création d’hologrammes
Les hologrammes peuvent être créés en utilisant la méthode dite de Gerchberg-Saxton [3]. Cette méthode consiste en un algorithme itératif, qui, après une initialisation, répètepfois une série d’instructions. Sous sa forme classique, il nécessite la connaissance du champ électriqueElaserinitial du laser entrant (en amont du SLM) tel que
Elaser(r) =Alaser(r)eiφlaser(r). (2.3) Comme présenté sur la figure2.2,eiφlaser(r)peut être remplacé par une phase uniforme aléatoireeiφrand(r)si l’on ne peut la mesurer en amont du SLM. La phase peut également être nulle, auquel casElaser(r) =Alaser(r).
Pourn = 0, ce champ est défini comme le champ incident déphasé par un terme de phase arbitraire ou aléatoireφ0in, et aura donc pour expression
Enin(r) =Elasern (r)eiφinn(r). (2.4) Quelle que soit la phase choisie initialement, la phase finale obtenue convergera, ce qui justifie ce choix arbitraire.
Ensuite, pour toutnsupérieur ou égal à 0 et strictement inférieur àp, le champ du plan«out»est défini par Eoutn (ρ) =T F[Einn(r)] = Aoutn (ρ)eiφoutn (ρ). (2.5) Eoutn et ses composantes sont désormais fonctions d’un nouveau vecteur positionρdont la relation avecr dépend des caractéristiques du montage optique. On y substitue l’amplitude du champ sortant obtenuAout parAoutf , l’amplitude du champ donnant la répartition de l’intensité recherchéeIfout. On obtient donc un nouveau champ d’expression
Enout(ρ) =Aoutf (ρ)eiφoutn (ρ) (2.6) auquel on applique la transformation de Fourier inverse, de sorte à ce que
Einn(r) =T F−1[Enout(ρ)] =Ainn(r)eiφinn(r), (2.7) champ que l’on va une fois encore modifier en substituant son amplitude parElaserde façon à ce que
Enin(r) =Elaser(r)eiφinn(r). (2.8) On réitère ensuite les étapes précédentes à partir de l’équation (2.5) jusqu’à ce que n = p. Cela fait, on peut ensuite intégrer l’hologramme de phase correspondant àφnin(r), puis mesurer l’intensité effectivement obtenueIcout(ρ)et la phase correspondanteφoutc (ρ), à laquelle on peut associer un front d’ondeWcout(ρ).
Au lieu de définir manuellement le nombre d’itérations p, on peut également utiliser un critère d’erreur qui déterminera l’arrêt (ou non) de la boucle. La méthode la plus simple pour ce faire consiste, pour toutn, à comparerInoutouIcoutavecIfoutà l’aide, par exemple, d’une moyenne quadratique de la différence entre ces intensités [4]. Dans ce cas, la boucle effectuera d’autres itérations tant que le critère d’erreur n’est pas satisfait, mais leur nombre ne sera pas connu à l’avance.
La boucle peut aussi débuter soit par une transformation de Fourier directe (initialisation A de ladite figure), soit par une transformée indirecte (initialisation B), bien que les deux méthodes soient équivalentes [5]. La figure2.2représente l’algorithme dans le cas de la définition manuelle de p, avec les deux possibilités d’initialisation de l’algorithme.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE
2.3 Instruments optiques mis en œuvre
2.3.1 Modulateur spatial de lumière
Le cœur de notre montage expérimental est sans nul doute notre SLM, qui permet de«moduler»la lumière en réflexion en modifiant la phase du laser incident en affichant des hologrammes de phases. En effet, celui-ci comporte une grille (ou matrice) de nano-cristaux liquides, pouvant être assimilés à des miroirs montés sur des pistons dont la différence de longueur entraîne en réflexion un déphasage inégal de la lumière dans l’espace.
Après la réflexion, le laser déphasé va«interférer avec lui-même», engendrant ainsi un nouveau front d’onde et une nouvelle figure de diffraction.
Les hologrammes affichés sur le SLM sont représentés par des images en valeurs de gris allant de 0 à 255 (donc du noir au blanc), chacune étant ensuite traduite par le boîtier CTRL SLM en un phase allant de 0 à 2π.
Le SLM peut également fonctionner comme un simple miroir si l’hologramme qui y est affiché est représenté par une image totalement noire ; dans ce cas, on pourra indistinctement parler d’hologramme par défaut ou d’absence d’hologramme — mais pas d’absence de diffraction.
Diverses applications sont possibles, comme par exemple la création en usine un front de laser sortant pouvant découper des objets d’une manière bien déterminée (à l’instar de la société CAILabs) ou encore les pincettes optiques (optical tweezers) permettant de créer un front sortant qui piège des microparticules telles que des cellules afin de les déplacer de la manière souhaitée.
2.3.2 Analyseur de front d’onde
S’il existe plusieurs types d’analyseur de front d’onde, celui qui a été intégré à notre montage expérimental est l’analyseur dit«Shack Hartmann». Il est formé d’une matrice de microlentilles qui vont chacune focaliser une partie du faisceau en un point sur un capteur CCD dans le plan focal des microlentilles. La position de chacun de ces points par rapport à un emplacement correspondant à un front d’onde plat permet de visualiser la déformation du front d’onde mesuré, comme l’illustre la figure2.3. Le front peut ensuite être modélisé à partir de cette position par le biais d’un logiciel dédié, les groupes de pixels du CCD étant alors attribués à chaque microlentille. L’usage de ce type d’analyseur est très utile pour estimer l’aplatissement du front d’onde et pour observer ses déformations lorsque l’on applique un hologramme sur le SLM.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE
Fin
Début B
IFFT FFT
Boucle
Initialisation B
Initialisation A
Sortie Oui
Début A
Non
FIGURE2.2 – Organigramme de programmation de l’initialisation et de la boucle de l’algorithme de Gerchberg- Saxton. Celui-ci peut être initialisé en A au plan «in» (partie bleue) pour commencer sa boucle par une transformation de Fourier directe, ou bien en B au plan«out»(partie ocre) pour commencer sa boucle par une transformation de Fourier inverse.
CCD
Microlentilles
Front d’onde Mesure
(a) Front d’onde plat et points de référence.
Point d´eplac´e
Point manquant
(b) Exemple de front d’onde déformé.
FIGURE2.3 – Schéma du fonctionnement d’un Shack-Hartmann dans le cas d’un front d’onde plat et d’un front déformé, avec une illustration de la mesure enregistrée par le logiciel.
Chapitre 3
Travail réalisé
Les expériences réalisées au cours de ces deux mois de stage ont autant porté sur l’application des notions théoriques en optique de Fourier que sur la compréhension des phénomènes physiques associés par leur observation, grâce au SLM et à l’analyseur de front d’onde. À ce titre, ces instruments sont caractéristiques du travail réalisé. Nous allons donc porter notre attention sur le montage expérimental mis en place et ses contraintes vis-à-vis du fonctionnement de nos instruments, puis sur des résultats préliminaires pavant la voie vers les deux aspects parallèles et complémentaires du stage : la génération algorithmique d’hologrammes de diffraction et la correction des aberrations de la forme du front d’onde d’un laser. Chacun de ces deux aspects sera suivi d’une discussion sur les résultats obtenus.
3.1 Montage expérimental
Diode laser
P´eriscope Biprisme L1
L2 Filtre F1
F2 CCD
LF1
SLM
Fibre optique
Coupleur C1
C2
PC Ecran 1´
Diviseur DVI
CTRL SLM
Ecran 2´
Shack-Hartmann
2
LSH
Puissance-m`etre
LT2 LT1
LF2 Flip-mirror
FIGURE3.1 – Montage expérimental réalisé. Pointillés ocres : câble Ethernet. Lignes bleues : câbles DVI. Tirets ocres : câble USB 2.0. Pointillés et tirets noirs : câbles propriétaires pour le SLM. Le cas échéant, les flèches indiquent le sens de l’axe optique.
Au laser, au SLM et au Shack-Hartmann s’adjoignent plusieurs autres éléments optiques nécessaires à la bonne utilisation de l’algorithme et permettant une optimisation maximale du laser utilisé en amont du SLM.
Néanmoins, leur montage est assujetti à plusieurs contraintes [6], notamment d’espace et de surface.
3.1. MONTAGE EXPÉRIMENTAL
3.1.1 Éléments optiques
Diode laser Générant par des semi-conducteurs un faisceau laser à la fois gaussien et ellispoïdal, et de longueur d’ondeλ=830,0 nm (dans le proche infrarouge), elle doit être suivie par unbiprismepour obtenir au passage de ses différents dioptres un faisceau circulaire et gaussien.
Du fait de contraintes d’espace et de la nécessité de définitivement fixer la direction de l’axe optique à la sortie de la diode, lepériscopequi la sépare du biprisme, manuellement monté à l’aide de miroirs et de pieds, permet de ramener le faisceau à la hauteur des faces de ce dernier, en lieu et place d’un système plus commun de deux miroirs disposés à 45° par rapport à l’axe optique.
Fibre optique Elle permet, en y faisant pénétrer le faisceau, d’avoir toute latence pour le diriger (et contourner lesdites contraintes), mais surtout de«purifier»le signal obtenu en sortie, c’est-à-dire obtenir unlaser monomode dont la cohérence temporelle sera suffisante pour négliger la dépendance du champ électromagnétique vis-à-vis du temps.
Elle nécessite l’usage de deux miroirs à 45° ainsi que de deuxcoupleurs de fibreen entrée (C1) et en sortie (C2), chacun équipé d’une lentille convergente destinée à focaliser le faisceau aux extrémités de la fibre, et d’une autre lentille convergente L1 de distance focalefL1=100,0 mm. L’ensemble permet de minimiser les pertes en puissance à sa sortie.
SLM Pierre angulaire du montage, il permet comme énoncé d’afficher un hologramme provoquant la diffraction du faisceau lors de sa réflexion sur sa surface active. Le nôtre est un Hamamatsu WFS150-5C dont la surface mesure 16×12 mm, soit 792×600 px. Sa résolution est de 20×20 µm/px ou de 49,5×50,0 px/mm. Sa fréquence de rafraîchissement est de 60 Hz.
Il est toutefois nécessaire de modifier la polarisation la lumière du laser à l’aide de lalame λ2 afin de rendre la plus efficiente possible la diffraction et de pouvoir conserver une polarisation identique en tout point du montage, afin de pouvoir considérer le champ comme scalaire. De plus, puisqu’en sortie de C2 le faisceau est divergeant, le placement de la lentille convergente L2 (fL2=125,0 mm) s’impose pour le collimater, suivi d’un filtre(F1) pour éviter une saturation du signal au niveau du capteur CCD ou du Shack-Hartmann. Entre les deux s’intercale unflip-mirrorpouvant si nécessaire renvoyer le faisceau vers un puissance-mètre ou une photo-diode.
Ces derniers permettent de mesurer la puissance de laser en sortie de la fibre.
Le SLM est incliné par rapport à l’axe optique d’un angle inférieur à 10° afin de minimiser les pertes en puissance, mais aussi pour des contraintes d’espace. Le laser y est dirigé à l’aide d’un deuxième diptyque de miroirs à 45°, puis redirigé à l’aide d’un troisième diptyque vers un cube séparateurnon polarisant (dit
«NPBS») permettant l’usage parallèle d’une caméra CCD et du Shack-Hartmann. De plus, il est relié par des câbles propriétaires à un boîtier de contrôle de modèle Hamamatsu LCOS CTRL X104468 Series, que nous dénommerons«CTRL SLM».
Télescope inversé Dernier élément installé, et situé en amont du SLM, il est constitué d’une lentille divergente LT1 (fLT1=30,0 mm) et d’une convergente LT2 (fLT2=200,0 mm) dont les foyers objets sont confondus afin de pouvoir agrandir le faisceau d’un facteur de grandissementG=6,66. Ceci permet de couvrir l’ensemble de la surface du SLM, ce qui aura une influence sur la qualité des figures de diffraction obtenues et du front d’onde mesuré.
CCD Dénomme le type du capteur de la caméra servant à visualiser l’intensitéIcoutdu faisceau après réflexion sur le SLM, associée à l’amplitude Aoutc . Les hologrammes de ce dernier sont plus efficients et plus aisés à calculer si l’on se trouve dans le cas d’une diffraction en champ lointain, permise par l’usage de la lentille LF1 (fLF1=250,0 mm) ; la caméra se trouve ainsi dans le plan de Fourier de cette lentille.
Le modèle utilisé est une JAI CM-030 GE, de taille 4,9×3,7 mm soit 656×494 px pour une résolution de 7,4×7,4 µm/px ou de 135 px/µm, avec une fréquence de rafraîchissement maximale de 60 Hz. Le capteur est sensible au proche infrarouge et à la lumière visible mais la caméra filme en noir et blanc. Elle est équipée d’un cache et d’un filtre (F2) permettant d’obstruer la lumière visible autant que faire se peut.
Shack-Hartmann Il s’agit de l’analyseur de front d’onde, un modèle ThorLabs WFS150-5C, d’une taille de 800×600 px pour une résolution de 20×20 µm/px ou de 50,0 px/mm, et équipé d’une grille de 37 par 29 micro- lentilles. Il est également équipé d’une lentille LSH dont l’usage se limite à celui d’adaptateur pour un cache qui obstrue la lumière visible. L’ensemble permet de mesurer la déformation du front d’onde du faisceauWcout, associée à la phaseφcoutdu champ au plan du Shack-Hartmann. Son orientation est modifiable à l’aide de vis de réglage micrométriques. Une lentille convergente LF2 (fLF2=125,0 mm) peut être éventuellement placé de façon à ce que le Shack-Hartmann soit dans son plan focal, afin de retrouver la même configuration que pour la
3.1. MONTAGE EXPÉRIMENTAL
caméra CCD. Enfin, toutes les microlentilles sont de focale effective fML=3,2 mm, bien que cela soit sans grande importance.
Notons que l’intensité reçue par le Shack-Hartmann sur son capteur n’est pas répartie de la même façon que sur le plan de caméra CCD, du fait des microlentilles et de la lentille LSH, qui rendent l’analyseur inadapté à la mesure de l’intensité après réflexion sur le SLM.
PC Permettant de contrôler le SLM et de visualiser les données fournies par la caméra et le Shack-Hartmann, il est relié en DVI à l’écran 1, et à un diviseur DVI qui duplique l’affichage envoyé par la seconde sortie DVI du PC vers les deux éléments y étant branchés : l’écran 2 (résolution : 800×600 px, fréquence de rafraîchissement : 60,0 Hz) et le CTRL SLM. Le PC est également relié par un câble Ethernet au CCD, et par un câble USB 2.0 au Shack-Hartmann.
L’écran 1 (fréquence de rafraîchissement : 60,0 Hz) permet d’afficher l’interface de l’ordinateur, et notamment les logiciels associés au CCD, à l’algorithme et au Shack-Hartmann. L’écran 2 (résolution : 800×600 px, fréquence de rafraîchissement : 60,0 Hz) permet d’afficher l’hologramme voulu tout en le transmettant au CTRL SLM, reconnu par le PC comme un écran.
3.1.2 Mise en place du montage
L’ensemble de éléments a nécessité une installation minutieuse sur trois semaines, car, à l’inverse des travaux pratiques en optique réalisés jusqu’ici, les éléments de notre montage possèdent quatre degrés de liberté en termes de placement : trois relatifs à la position dans l’espace et un relatif à l’orientation par rapport à l’axe optique. Aligner ces éléments de façon à ce que le faisceau soit entièrement contenu dans leurs surfaces et centré autant que faire se peut avec les axes optiques propres à chaque lentille, qui plus est lorsque le chemin optique est invisible à l’œil nu, a pris un temps considérable.
D’autre part, la surface disponible pour le montage de ces éléments étant réduite, nous avons fait le choix d’un chemin optique qui intersecte avec lui-même (sans interaction) entre le filtre F1 et le cube séparateur. Cette même contrainte a pesé dans le choix du placement du SLM au sein du montage car il existe deux façons de l’y intégrer. La première, comme énoncé précédemment, est de l’incliner au maximum de 10° par rapport au chemin optique incident, et d’utiliser des miroirs et éléments optiques de taille réduite à proximité du faisceau réfléchi pour ne pas l’obstruer — qui plus est si celui-ci est agrandi par le télescope inversé. L’autre possibilité consiste à l’incliner de 45° par rapport au chemin optique, en conjonction de l’usage de plusieurs lentilles et miroirs destinés à minimiser les artefacts de diffraction induits par un tel angle. Cette dernière possibilité nécessitant un nombre accru d’éléments optiques, qui plus est assujettis à des contraintes géométriques incompatibles avec la surface disponible pour les placer [6], la faible inclinaison a prévalue.
Enfin, les surfaces réfléchissantes des miroirs, du cube séparateur et du SLM étant sujettes à des déformations en cas de changement de température, celle-ci a été fixée à 19◦C.
3.1.3 Couplage de la fibre optique
Une des parties les plus ardues du montage est le couplage de sa fibre optique. Afin d’obtenir un laser monomode, on peut faire passer le laser d’origine au sein de la fibre. La méthode la plus classique fait usage des vis de réglage fin du système de deux miroirs précédant le coupleur C1, associé à un puissance-mètre ou à une photo-diode en sortie de la fibre permettant de quantifier en permanence l’effet du réglage. Une autre méthode utilisée a été le couplage de fibre par laser contre-convergeant, qui consiste, à l’aide d’un branchement spécifique à fixer à l’extrémité de sortie de la fibre un deuxième laser, qui prend ainsi la direction opposée au premier en par la sortie de la fibre. Ensuite, il ne reste plus qu’à aligner les deux lasers grâce à la propriété du retour inverse de la lumière. Cette méthode, d’une grande précision, est économe en temps mais nécessite néanmoins d’être en possession de deux lasers, l’un devant pouvoir directement se brancher à la fibre. Malgré tout, le couplage a dû être régulièrement réitéré du fait du déréglage des vis ; la première tentative a nécessité quatre jours, les dernières ne nécessitant pas plus d’une heure en fin de stage.
En termes de puissance optique, le premier couplage fut désastreux : la méthode classique n’ayant permis qu’une transmission maximale de 1,5 µW sur les 30,0 mW du laser circulaire en entrée du coupleur C1, nous nous sommes tournés vers la seconde, et avons atteint approximativement 5,5 mW en sortie de la fibre, ce qui ne correspond tout de même qu’à une transmission d’approximativement 18,3 % du faisceau incident. Cette dernière proportion, qui aura été celle de référence à chaque couplage ultérieur, est relative à la puissance du faisceau incident au niveau du coupleur C1, qui est à la fois circulaire et gaussien.
Dans notre cas, ce faible rendement n’a pas posé de problèmes majeurs du fait, même dans de telles conditions, d’une saturation en intensité du capteur CCD et en puissance de l’analyseur de front d’onde — d’où l’usage des filtres F1 et F2.
3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
3.2 Calibration et résultats préliminaires
Une fois le montage achevé, mais avant d’écrire l’algorithme générant les hologrammes, il a fallu, afin de faciliter son développement, effectuer des mesures préliminaires relatives à la qualité des figures de diffraction et à la taille du laser.
3.2.1 Défauts de la figure de diffraction
Les figures de diffraction peuvent présenter six types de défauts, trois d’entre eux ne pouvant être corrigés par l’algorithme de Gerchberg-Saxton dans sa forme basique exposée à la section2.2.2, et trois autres pouvant l’être mais pour lesquels la correction expérimentale est plus aisée.
En premier lieu, toute mesure de l’intensité Icoutau niveau du plan de la caméra CCD comprend un spot lumineux au centre de l’image, correspondant à l’ordre zéro de la diffraction engendrée par le SLM, quelque soit l’hologramme y étant affiché. Si cet artefact ne peut pas être corrigé par l’algorithme de Gerchberg-Saxton dans sa forme basique, il permet néanmoins de repérer le centre du faisceau et des figures de diffractions. D’autres autres de diffraction parasites peuvent exister, comme illustré sur la figure3.2aoù ils prennent la forme de tâches, les plus lumineuses étant répartis sur quatre axes centrés autour de l’ordre zéro.
(a) Absence d’hologramme. (b)Ifoutasymétrique.
FIGURE3.2 – Fragment d’image acquises par la caméra CCD, correspondant à l’intensitéIcoutau plan focal de la lentille LF1 dans deux cas de figure différents.
De plus, comme on peut l’observer sur cette même image, les ordres de diffraction parasites (et avec eux l’intensité des figures de diffraction) diminuent rapidement en intensité en dehors d’une certaine zone ; leur position par rapport au cadrage de la caméra CCD et à l’ordre zéro est fonction de la position des deux miroirs précédent le télescope inversé et des deux miroirs précédant le cube séparateur. Enfin, les transformées de Fourier directe et inverse ne permettant d’obtenir que des fonctions impaires pour une fonction de deux variables, on verra apparaître une seconde figure de diffraction moins intense sur le plan de la caméra CCD, symétrique de celle recherchée par rapport à l’ordre zéro, comme le montre la figure3.2boù deux figures symétriques l’une de l’autre se superposent autour du centre de l’image.
Les trois autres défauts que présentent les figures peuvent être préférablement corrigés expérimentalement.
Le premier est un mauvais cadrage du centre de la figure de diffraction, donc de son ordre zéro, par rapport au centre du capteur CCD, et qui peut être causé par un élément optique décentré ou désaxé par rapport à l’axe optique ; la correction s’effectue en replaçant la lentille LF1, la caméra CCD ou les miroirs en amont de celle-ci.
Les mêmes causes peuvent également rendre la figure de diffraction floue, mais la correction de ce défaut passe par le replacement des lentilles L2 et LF1 et la modification de l’orientation de la lame λ2. Enfin, si le laser reste trop puissant malgré les filtres, la surexposition du capteur CCD peut être compensée par un temps d’exposition moindre.
3.2.2 Impact des tailles et résolutions différentes du capteur CCD et du SLM
Comme expliqué précédemment, on peut obtenir une figure de diffraction particulière au moyen de la diffraction par le SLM. La répartition correspondante de l’intensité sur le plan d’observation peut être définie à l’aide d’une fonction, mais il peut être plus commode de procéder avec une image matricielle. Une telle image possède donc une taille (ou une résolution) et représente la figure recherchée, qui couvre une proportion donnée de l’image. Pour plus de clarté, on parlera donc d’image«f»et de figure«f»pour désigner respectivement l’image représentant l’intensité recherchéeIfoutet la figure de diffraction associée, et de même pour l’intensitéIcout visualisée par la caméra CCD sous la forme d’une image dite«c».
Avant de développer l’algorithme, nous avons dévoué une partie du stage à modifier la taille de l’image«f» et la proportion de la figure«f»afin d’en observer les effets sur la figure«c».
3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
Algorithme
Mesure recherch´ee («f») Mesure obtenue («c») Image
Figure
FIGURE3.3 – Schéma des mesures«f»et«c»de l’intensité auxquelles correspondent des images pareillement dénommés, chacune ayant une figure de diffraction correspondante. Cette dernière n’occupe pas nécessairement l’ensemble de son image.
Préambule
En l’absence d’un algorithme développé, il a fallu faire usage de celui intégré au sein du logiciel du fabricant du SLM pour générer des hologrammes, puis du logiciel fourni par le fabricant de la caméra CCD pour enregistrer les figures de diffraction obtenues. Les deux logiciels ne traitent et ne produisent des images ne pouvant présenter que les caractéristiques suivantes :
Image«f»: en noir et blanc, carrée, de côté valant un multiple de 100 ou une puissance de 2 (en pixels), au format BMP 24 bits ;
Hologramme : de taille 792×600 px, en noir et blanc, au format BMP, composé d’un motif de même taille que l’image«in»;
Image«c»: de même taille que le capteur CCD (656×494 px), en noir et blanc, au format TIFF.
Ces restrictions justifient la création d’un algorithme plus flexible à l’usage en termes de définition de répartition de l’intensité recherchée.
En premier lieu, nous avons remarqué que fixer la taille de la figure«f»et ne faire varier que la taille de l’image«f»ne modifie que l’inclinaison (par rapport à la figure recherchée«f») et le cadrage de la figure«c» sans affecter sa taille. Celle-ci est systématiquement inclinée, sans que l’on soit parfaitement sûr de la constance de cette inclinaison. Il s’est alors avéré que l’inclinaison était autant imputable à la position du SLM sur sa monture qu’à une inclinaison inhérente au miroir en amont du cube séparateur, chose qui peut être compensée lors de la création de l’hologramme.
Notons que le logiciel distingue l’hologramme calculé — un motif de même taille que l’image«f»— de celui affiché sur le SLM — une mosaïque du premier de même résolution que le SLM. Le logiciel du fabricant applique semble-t-il le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon, permettant de couvrir l’intégralité de la surface du SLM tout en obtenant une figure de diffraction complète quelque soit la taille du faisceau et sa position sur la surface du SLM.
Enfin, nous avons mesuré le grandissement entre l’image«f»et l’image«c», en identifiant pour des figures
«f»asymétriques la figure«c»parasite, qui sera la moins lumineuse des deux figures«c»observées. Celle-ci et la figure«f»étant pareillement orientées, le grandissement est négatif. Une mesure de la taille de la figure«c» a permis ensuite de déterminer sa valeur absolue. Au final, le grandissement des hologrammes du logiciel du fabricant est de−1, si l’on mesure la figure en millimètres.
Impact de la proportion de la figure«f»
Méthodologie Les tests relatifs à la relation entre les tailles des figures de diffraction recherchées et obtenues ont été réalisés en fixant la taille de l’image«f»à 256×256 px, en ne faisant varier que la taille de la figure recherchée selon différentes proportions par rapport à la largeur de l’image«f»(entre 15 et 80 %) de la mire de calibration de la figure3.4b. Pour chaque mire créée, un hologramme a été calculé puis affiché à l’aide du logiciel du fabricant, à la suite de quoi une capture de l’image«c»de l’intensité a pu être enregistrée par la caméra CCD, avec un temps d’exposition fixé à 2095,0 µs.
Observations Comme l’on pouvait s’y attendre, et par analogie avec desoptical tweezers[4], plus la proportion de la figure«f»est élevée, et plus les détails de l’hologramme engendré sont petits, et donc plus la figure«c» obtenue est grande, et plus ses détails sont fins, tel que l’illustre la comparaison de la figure3.5. En termes de cadrage, la proportion optimale se trouve entre 45 et 52 %. En deçà, on constate que la figure«c»est trop petite par rapport à l’image«c»et donc non optimale car entachée de bien trop d’ordres de diffraction parasites.
3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
(a) Image«f»dont on a fait varier la taille.
(b) Image«f»dont on a fait varier la proportion de la figure.
FIGURE3.4 – Mires utilisées pour l’étude de l’impact des caractéristiques de l’image«f».
Au-delà, la figure«c»n’est pas totalement visible. De façon moins surprenante, plus la figure«c»est grande et plus son intensité est faible en chaque point, car, à puissance égale, la surface couverte est plus grande.
(a) Fragment d’hologramme pour 15 %.
(b) Fragment d’hologramme pour 30 %.
(c) Fragment d’hologramme pour 45 %.
(d) Fragment d’hologramme pour 60 %.
(e) Image«c»pour 15 %. (f) Image«c»pour 30 %. (g) Image«c»pour 45 %. (h) Image«c»pour 60 %.
FIGURE3.5 – Figures «c» de diffraction obtenues et fragments des hologrammes associés pour quelques proportions de la figure«f» lors de la diffraction par un hologramme généré par le logiciel du fabricant.
Les fragments des hologrammes ont été obtenus en rognant l’hologramme complet sur un rectangle de taille 198×150 px dans son coin supérieur gauche.
Impact de la taille de l’image«f»
Méthodologie De manière similaire à la partie précédente, nous avons ensuite fixé la proportion de la figure
«f»à 45 %, en ne faisant varier que la taille de l’image«f»entre 32 à 600 px de la mire de la figure3.4b, avec un temps d’exposition de 691,2 µs.
Observations Si la taille de l’image augmente, le temps de calcul de l’hologramme également ; ce dernier présentent proportionnellement plus de détails et laisse passer un plus grand nombre de photons sur l’image
«c»pour de plus hautes résolutions. Si son motif revêt toujours la même taille que celle de l’image«f», ses détails conservent toujours la même finesse.
On remarque également qu’entre les tailles 128×128 px et 200×200 px, l’image«c»n’est plus caractérisée par des carrés ou«pixels»dessinant la forme du motif, mais par des tâches lumineuses non uniformes en taille et en intensité. En deçà d’une résolution de 128×128 px, plus la résolution de l’image«f»est faible et plus les pixels formant le motif de l’image«c»seront petits et distants les uns des autres. Au-delà de 128×128 px, la répartition des tâches formant le motif fait apparaître un grain sur l’image«c»qui augmente en intensité avec
3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
(a) Fragment d’hologramme pour 64 px.
(b) Fragment d’hologramme pour 100 px.
(c) Fragment d’hologramme pour 200 px.
(d) Fragment d’hologramme pour 300 px.
(e) Fragment d’image «c» pour 64 px.
(f) Fragment d’image «c» pour 100 px.
(g) Fragment d’image «c» pour 200 px.
(h) Fragment d’image «c» pour 300 px.
FIGURE3.6 – Fragments des figures«c»de diffraction obtenues et fragments des hologrammes associés pour quelques tailles de l’image«f»lors de la diffraction par un hologramme généré par le logiciel du fabricant.
Les fragments des figures«c»et hologrammes ont été obtenus en rognant l’image«c»à une taille valant respectivement 199×150 px et 198×150 px, au niveau de la partie supérieure droite de la figure et du coin supérieur gauche de l’hologramme.
la résolution de l’image«f», remplaçant progressivement les pixels. Les quelques exemples de la figure3.6 illustrent ces deux cas de figure, et plus particulièrement l’effet de crénelage sur le bord de la figure qui diminue lorsque la taille de l’image«f»augmente.
Conclusions
Ces résultats préliminaires confortent la relation de proportionnalité inverse entre la taille d’une pupille (ici notre hologramme) et la taille de la figure de diffraction obtenue par celle-ci. En d’autres termes, plus grande sera la figure recherchée par rapport à l’image servant à calculer l’hologramme, plus les détails de ce dernier une fois calculés seront fins, et plus grande sera la figure obtenue.
De plus, l’application du théorème d’échantillonnage par le logiciel à des fins d’obtention d’une figure de diffraction complète entraîne deux effets notables : une«pixellisation»de cette figure lorsque la taille de l’image de départ diminue, et une augmentation des artefacts de diffraction lorsque la proportion de cette image qu’occupe la figure diminue. Il sera donc judicieux de calculer des hologrammes à l’aide d’images à résolution élevée et dont les figures occuperont un espace aussi grand que le cadrage de la caméra CCD puisse le permettre.
Enfin, la taille relative du motif de l’hologramme par rapport à celle du faisceau laser ne semble pas impacter la taille de la figure de diffraction. Il doit cependant exister une relation entre la taille de la figure de diffraction obtenue et les caractéristiques de sa répartition en intensité. La connaissance de la taille du faisceau est donc importante, d’autant que celle-ci est nécessaire à l’exécution de l’algorithme de Gerchberg-Saxton.
3.2.3 Mesure de l’intensité du laser en entrée
Deux données peuvent nous informer sur la taille du faisceau : l’intensité du laser incident et l’amplitude du champ l’ayant engendré. Puisque l’amplitude peut se déduire de l’intensité, la véritable tâche est donc de mesurer l’intensité du laser. Conformément à l’impact attendu du biprisme sur la forme du faisceau, nous avons constaté empiriquement que celui-ci avait une forme à la fois gaussienne et approximativement circulaire. Son intensité sur le plan«in»a ainsi pu en être déduite en calculant la puissance du laser en fonction de la positionr, en utilisant pour ce faire la méthode dite«de la lame de rasoir».
Sa première étape consiste à collimater le faisceau, que l’on envoie vers une photodiode reliée à un oscilloscope.
Ensuite, on obstrue partiellement le faisceau avec une petite lame de rasoir que l’on déplace le long d’un axe, afin de mesurer la puissance en fonction du déplacement de cette lame grâce à un oscilloscope, par rapport à une origine arbitraire. Connaissant la relation entre puissance et intensité et la fonction de répartition théorique de cette dernière, il est possible de procéder à un ajustement de courbe des données relevées pour en déduire les paramètres nécessaires à la modélisation de l’intensité : la valeur maximale de son pic et sa largeur (supposée identique selonxety).
3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
Il est possible de prévoir théoriquement quel sera le profil de la puissance d’un laser gaussien engendré par un champ électrique (toujours supposé polarisé selon une même direction) dont l’expression est
E(x,y,z) =E0 ω0
ω(z)e
−2x+y
ω(z) 2
(3.1) et où
— E0représente le champ électrique dans le plan d’onde à l’origine (arbitraire) des coordonnéesz;
— ω0est la largeur du faisceau à cette origine ;
— ω(z)est la fonction donnant cette largeur en tout plan d’onde repéré parz, et ayant pour expression ω(z) =ω0
r 1+zz
0
2
avecz0= πω02
λ .
Puisque notre faisceau est collimaté,ωne dépend plus dez, doncω0=ω(z). En conséquence, l’intensitéIde ce champ dans n’importe quel plan d’onde a pour expression
I(x,y) =I0e−2
x+y
ω0
2
. (3.2)
Par une double intégration de−∞à+∞selonxety, on en déduit l’expression de la puissance totalePtotdu faisceau, qui vaut
Ptot= π
2 I0ω02. (3.3)
En faisant translater la lame de rasoir selon l’axex, la puissance totaleP(x)transmise au-delà de la lame en fonction de son déplacementxcorrespond à la la puissance totalePtotà laquelle on aura retranché la puissance reçue par la lame, c’est-à-dire
P(x) =Ptot− Z +∞
x dx
Z +∞
−∞ dy I(x,y) (3.4)
=Ptot−I0 Z +∞
x dx
Z +∞
−∞ dy. (3.5)
Après une double intégration en coordonnées cylindriques et le changement de variableu2= 2xω2
0, on a donc P(x) = Ptot
2 −π 4 ω0 2
√ π
Z x q 2
ω0
0 e−u2du. (3.6)
On peut alors identifier la fonction d’erreur complémentaire, ce qui donne P(x) = Ptot
2 erfc x s
2 ω0
!
. (3.7)
Cette dernière expression permet, par ajustement de courbe sous MATLAB, de déterminer les valeurs dePtot
etω0, avec une moyenne arbitrairex0telle que six06=0 on aitx−x0en lieu et place dex; cette moyenne n’a toutefois que peu d’importance pour la suite. En reportant dans l’équation (3.2) la valeur deI0ainsi déterminable à partir de l’équation (3.3), on peut modéliser mathématiquement l’intensité du laser dans un plan d’onde quelconque.In fine, ce procédé permet de pouvoir simuler l’intensité reçue sur la surface du SLM, à défaut de pouvoir la mesurer sans effectuer de fastidieuses modifications au niveau du montage.
Expérimentalement et sans le télescope inversé, l’ajustement de courbe permet d’obtenirω0=1,79 mm pour une puissance totalePtot=3,31 V. Le graphe de l’ajustement de courbe est représenté sur la figure3.7tandis qu’une l’intensité modélisée à l’aide de la liste3.3est présentée sur les figures3.8aet3.8b. Une fois le télescope inversé mis en place, il suffit d’intégrer son grandissementGdans l’équation en substituant respectivement x×Gety×Gàxety; le résultat de cette substitution est représenté sur la figure3.8c.
3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
0 2 4 6 8 10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Déplacement x [mm]
Puissance P(x) [V]
Mesure de la taille du faisceau
Ajustement
Données expérimentales
FIGURE3.7 – Ajustement de courbe de la puissanceP(x)en fonction du déplacementxde lame, effectué sous MATLAB à partir de données expérimentalement acquises par la méthode de la lame de rasoir. L’incertitude surP(x)diminue au fil des mesures du fait d’un changement progressif du calibre. La moyennex0a pour valeur 6,98 mm.
0 5 10
0 2 4 6
x 105
Déplacement x [mm]
Intensité I(x)
(a) Intensité théorique du laserI(x)en fonction du déplacementxde la lame, en unités arbitraires.
(b) Intensité théorique du laser sur le plan du SLM sans télescope inversé.
(c) Intensité théorique du laser sur le plan du SLM avec télescope inversé.
FIGURE3.8 – Modélisation théorique de l’intensité du laser sur le plan du SLM à partir des données de l’ajustement de courbe de la puissanceP(x). Les zones blanches des figures3.8bet3.8ccorrespondent à une intensité proche de celle maximale (I0= 2Ptot
πω02), leurs zones noires correspondant à une intensité nulle.
3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON
3.3 Code de l’algorithme de Gerchberg-Saxton
Le montage ayant ainsi été calibré pour une mesure optimale de Icout, ne restait plus qu’à développer le code permettant d’utiliser l’algorithme de Gerchberg-Saxton. Celui-ci a été écrit sous MATLAB, langage de programmation et environnement de développement permettant notamment d’effectuer des calculs numériques.
Décrivons à présent les différentes parties de ce code, partie par partie.
3.3.1 Entrée
En premier lieu, la partieINPUTpermet de définir les données ou paramètres de l’algorithme : l’intensité recherchéeIfout(u,v)et le nombre d’itérationsp.
Pour la première, plutôt qu’une définition à l’aide d’une fonction de deux variables, nous avons opté pour une image matricielle représentant l’intensité recherchée, à l’instar de celle requise pour l’usage du logiciel de création d’hologrammes du fabricant du SLM. L’image étant matricielle et non vectorielle, MATLAB associe à chacun de ses pixels un coefficient ; nous repèrerons chacun d’entre eux par son indice de ligneyet son indice de colonnexsur le plan«in», et par les indicesvetusur le plan«out». Notons que cette notation permet une correspondance avec une représentation vectorielle de l’intensité, avec des points repérés en coordonnées cartésiennes par les couples(x,y)et(u,v).
Le pré-requis est ainsi la définition deIfout(u,v)par une image matricielle, créée par exemple à l’aide d’un logiciel d’édition d’images. À l’instar du logiciel du fabricant du SLM, elle peut être au format BMP, mais ce choix reste arbitraire.
LISTE3.1 – PartieINPUTde l’algorithme
1 close all;
2 clear all;
3
4 %% INPUT
5 % Every non-indented line is a user-defined data or parameter.
6
7 %Desired intensity
8 Iout_f = imread('Intensity.bmp','bmp') ; %Converts the ...
image corresponding to the desired intensity on the output plane
9 Iout_f = Iout_f(:,:,1) ; %Redefines the ...
intensity matrix as a n*n*1 (2D) sub-matrix of the original one (if needed)
10 Iout_f = double(Iout_f) ; %Is needed to ...
avoid errors relative to the extension/format of the input file
11 Iout_f = Iout_f ./ max(max(Iout_f)) ; %Scales all values ...
of the matrix between 0 and 1
12 Aout_f = sqrt(Iout_f) ; %Defines the ...
amplitude of the desired field as the square root of its intensity
13 Iout_f_h = size(Iout_f,1) ; %Measures the ...
length of the aformentionned matrix for further use
14 Iout_f_w = size(Iout_f,2) ; %Measures the ...
width of the aformentionned matrix for further use
15 %Input image must have a 1:1 ratio in order for the diffraction figure to
16 %not be distorted. The initial pattern of the hologram will have the same
17 %size as the input image.
18
19 p = 40 ; %Sets the number ...
of iterations of the for-loop
L’algorithme lit cette image en utilisant a fonctionimreadet y associe la matriceIout_f. En fonction de son format, il est possible que l’image d’entrée comporte trois ou quatre canaux (correspondant au rouge, vert, bleu et à la transparence) et entraîne la création d’une matrice tridimensionnelle, alors même que l’intensité mesuréeIcout(u,v)n’en comportera qu’un car la caméra CCD filme en noir et blanc. Il faut ainsi sélectionner arbitrairement un seul de ces canaux. Ensuite, il faut convertir les coefficients deIout_fau bon type (double) et au bon format afin d’éviter les erreurs de traitement de données, et calculer l’amplitude associéeAout_f, correspondant àAoutf (u,v). On associe également àIout_f_hetIout_f_wla hauteur et la largeur de l’image
«f».
Enfin, on définitpcomme le nombre d’itérations voulu de la boucle de l’algorithme.
3.3.2 Caractéristiques expérimentales
La partieEXPERIMENTAL SETUPliste ensuite toutes les caractéristiques du montage qui nous seront utiles.
